Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В частном 1 11. Потенциальные течении идеальной жидкости 153 случае, когда подвижная система движетсяпоступательно с постоянной скоростью 1' вдоль оси х, интеграл Коши — Лагранжа (11.7) представится в виде др(», д,,ь, О др (аг д р)"- „,, дс д» 2 В частном случае для несжимаемой жидкости, когда У =- р/р, интеграл Коши — Лагранжа (11.8) имеет вид — — — 'т'+ + — — Я = ~(1). (11.9) д(р йр , (лгад ~р)т р дс д» 2 р Наличие потенциала скоростей существенно облегчает решение математических задач гидродинамики и в то же время потенциальные течения представляют собой очень важный физический класс течений.
О сохраняеноети В $ 7 гл. т'1 были изложены теоремы о нотеициальных течений свойствах вЕктора вихря 1 ю = — го1п 2 в случае непрерывных баротропных течений идеальной жидкости в поле потенциальных массовых сил. В частности, была доказана теорема Лагранжа о сохраняемости потенциальности течения во времени. Многие движения можно рассматривать как движении, возникающие из состояния покоя, когда в начальный момент времени и = О, а следовательно, и еь = — О.
Такие движения должны быть потенциальными и во все последующие моменты времени. В приложениях движения жидкостей и газов во многих задачах рассматриваются как потенциальные. Таковы, например, волновые движения воды, движения воздуха в случае распространения акустических (звуковых) волн, различные непрерывные движения жидкостей и газов, вызванные движением в них твердых тел, струйные движения жидкости и многие другие. Подчеркнем, что изложенные в т 7 гл. Ъ~1 теоремы основаны на определенных допущениях о свойствах среды и о характере процессов. Невыполнение сформулированных при етом условий может привести к нарушению свойств потенциальности течений. Например, наличие вязкости может оказаться источником возникновения вихрей.
В идеальном газе могут появляться поверхности разрыва скорости и нарушаться баротропность течения вследствие разрывов и т. д. Гл. У1П. Гвдромеханнка Динамическая ннтернретацня потенцнала скоростей; задача Днрнхле о данженнн идеальной несжнмаемой жвдкостн нод действием импульсивных дав- лений Дадим теперь динамическую интерпретацию потенциала скоростей в случае потенциальных движений идеальной несжкмаемой жидкости.
Пусть на некоторый объем идеальной несжимаемой жидкости в течение малого промежутка времени т действовали бесдавления р', импульс которых за бес- конечно большие конечно малое время конечен н равен р, = 1пп 1 р'Ж. т ) l с Напишем уравнения Эйлера в виде Ые 1 — = К вЂ” — огай р, (11.10') 1с р проинтегрируем (11.10') по времени от 0 до т и воаьмем предел прн т, стремясцемся к нулю. В результате, так как интегралы от нуля до т от обычных конечных сил давления и массовых сил в пределе обратятся в нуль, получим и' — и = — 11ш ~ — ксавер М, Г 1 э Р о (11.10) где п и и' — скорости однойитойжечастицыжидкости доипосле действия импульсивных давлений соответственно.
Скорость частицы за бесконечно малое время т изменится ка конечную величину, если импульс сил давлении конечен. В пределе при т — ьО смещение частицы отсутствует и скорости и'и и являются значениями скорости в фиксированной точке пространства. Скорость частиц изменяется скачком, мы имеем течение жидкости, которое возникает в результате удара. Поменяв в (11.10) последовательность выполнения операций градиента по точкам пространства и интегрирования по времени для индивидуальной частицы жидкости, что в пределе возможно, так как координаты частиц во время удара не изменяются, получим и — н = — огай — = йтаб ~Р, Р Р~ Р (11.11) где (11.12) Рс = — Р'р. Если начальное состояние было состоянием покоя, то в результате удара возникает потенциальное поле скоростей.
Соответствующий потенциал скоростей ~р (х, у, г) и импульс давления связаны равенством (11.12). Это равенство можно рас- 1 11. Потенциальные течеияя идеальной жидкости 155 сматривать как динамическую интерпретацию потенциала скоростей. Для несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности п1ч тг - — — О следует, что потенциал скоростей ф (х, у, ц 1) удовлетворяет уравнению Лапласа (11. 13) Лф =О.
Функция ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. Решение уравнения Лапласа в некоторой области Ю определяется заданием значений функции ф на поверхности Х, ограничивающей область Ю. Задача об отыскании гармонической в области Ю функции по ее значениям на границе области Я называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления р, = — рф.
Приведенное истолкование потенциала скоростей с помощью понятия импульса давления существенно связано со свойством несжимаемости жидкости и, в частности, с мгновенностью распространения всяких изменений давления на всю массу несжимаемой жидкости. Рассмотрим теперь некоторые вопросы общей теории потенциальных движений. Основными уравнениями потенциальных течений идеальной жидкости в случае баротропных процессов (р = 1 (р)) являются: уравнение неразрывности Потенциальные течения идеаяьяых жидкости и газа яри иаличии баротроиии — — -(- йч (дгаг(ф) = О о ог и интеграл Коши — Лагранжа дф 1 д + 2 (кгай ф)'+ У (р) — М = О. (11 14) (11.15) Для дифференциала функции давления У = ~ — имеем г ЯР л) (Р) йУ = ~~ = — с(р, Р Р г я'Р ! где а 1/ — .
Следовательно, оР 1 ор 1 о'оз р ег оз яг — — — — а = а(У). 156 Гл. Ч1П. Гидромеханика Систему уравнений (11.14) и (11.15) можно переписать в виде —,— + А~у=О, 1 аа <Й дд + (ягааф)'+ ~ ду 2 (11,16) — а —,+Ар=6, ) 1 дда да ~++я-а=о, ) Неиавестными в этой системе являются функция давления У и потенциал скоростей у. В общем случае эту нелинейную систему дифференциальных уравнений проинтегрировать трудно. Однако существуют важные классы движений, для которых методы решения системы уравнений (11.16) подробно и хорошо разработаны.
Перечислим такие классы потенциальных движений жидкости. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. В этомслучае аа =-(Ыр/Ир) -э эо и первое уравнение системы (11.16) сводится к уравнению Лапласа Лр =О. Второе уравнение системы (11 16) служит в этом случае для определения давления. В такой постановке рассматриваются такие важные задачи, как задачи о движении воды, возникшем при перемещении вней твердых тел, задачи о волнах яа поверхности воды, задачи о струйных течениях воды н многие другие. Ниже подробно будет рассмотрена задача о движении твердого тела в несжимаемой жидкости.
Движения сжимаемой жидкости или газа, представляющие собой малые возмущения некоторого известного сос т о я н и я р а в н о в е с и я и л и д в и ж е н и я. Такие движения изучаются, например, в акустике (задачи о распрост. ранении звуковых волн) и в некоторых задачах аэродинамики тонких тел с плавными «обтекаемымн» обводами. При решении задач о движении среды с малыми возмущениями предполагается, что скорость, плотность, давление и их производные по координатам и по времени представляют собой известные функции плюс неизвестные малые добавки. Если пренебречь малыми величинами порядка вьппе, чем первый, то система уравнений становится линейной. Если движение представляет собой малое возмущение около состояния покоя, то система уравнений (11.16) с точностью до малых первого порядка может быть записана в виде 12.
Потенциальные дзижсиии несжимаемой жидкости 157 где аз =- сопз1 — значение производной г(р/г(р, вычисленное для невозмущенного состояния покоя. Из этих двух уравнений можно получить одно уравнение для ф, которое, если потенциал массовых сил не зависит от времени, имеет вид Аф- — ' — ",. (11 17) дс Это линейное уравнение называется волновым уравнением. Если жидкость несжимаемая, то ас -э.
сс и волновое уравнение (11.17) переходит в уравнение Лапласа. Установившиеся движения сжимаем о й ж и д к о с т и. Наибольшее развитие в этом случае получила теория плоскопараллельных течений, когда искомые функции зависят лишь от двух переменных х и у. Уравнения движения в этом случае специальной заменой переменных и искомых функций также удается преобразовать к линейным. Это преобразование было предложено и использовано в 1902 г. С. А. Чаплыгиным в его знаменитой работе «О газовых струях»').
Эта работа стала основной для развития многих современных теорий в газовой динамике. Одномерные неустановившиеся течен и я. В этом случае все параметры движения зависят только от одной пространственной координаты г и времеви й На поверхности г = сопз1 все характеристики движения одинаковы. Это — движения сплоскими, цилиндрическими и сферическими волнами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
