Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Максимальные значения скорости при потенциальном движении несжимаемой жидкости всегда достигаются на границах потока. При обтекании тел безграничным потоком максимальное значение величины скорости достигается на поверхности обтекаемых тел. При установившемся обтекании согласно интегралу Бернулли максимальной скорости в потоке соответствует минимальное значение давления. Следовательно, точка с минимальным давлением находится на поверхности тела. Кавитация впервые возникает в области, близкой к минимуму давлений, поэтому кинитация иозиикает вблизи поверхности обтекаемых тел.
Минимальное значение скорости может возникать как на границах, так и внутри потенциального потока. В частности, критическая точка со скоростью, равной нулю, может находиться во внутренних точках потенциального потока. Например, во внутренней точке х = у = г = О для течения. с потенциалом я = — (х' + у') — г' скорость имеет минималь- 2 нос значение, равное нулю. Выведем формулы Грина, представляющие Февитаы 1Рипа 11ииети собой простые полезные следствия из форческая аиергия жидкости мулы Гаусса — Остроградского. Пусть в некотором конечном объеме У, ограниченном регулярной поверхностью Я, даны три функции Р, Д, й, однозначные и непрерывные внутри у вместе со своими частными производными первого порядка.
Формулу Гаусса — Остроградского можно написать в виде ~ (Рсоа (та, х) л- ~ соя (и, у) —,' гт соз (та, г)) ос= = ~( — -~- ~ -(- — ) дт, (12.1б) где сов (та, х), соз (та, у), соз (и, г) — компоненты единичного вектора внешней к объему У нормали и к поверхности о. Подставим в (12.13) Р, Ч, Л, определенные форааулами где ~р (х, у, г) и1р (х, у, г) — произвольные однозначные ф; нкции, ба Гл. 7Н1. Гидромеханииа непрерывные вместе со своими производными до второго порядка включительно внутри 1'. После подстановки получим первую формулу Грина ~ ф Л~р е(т + ~ дгад ~у йгаб ф е(т = ~ ф — е/э.
(12.14) Вторая формула Грина легко получается иа первой. Для этого в (12.14) поменяем местами у и ~р и вычтем результат из первоначальной формулы, тогда получим Пусть <~ — потенциал скоростей течения идеальной несжимаемой жидкости, из формулы (12.14), если положить ф .= ~р, получим 2 ) )Игао 7 ~ Зт 2 ~~Г д ееэ. (12.16) 1 1 Очевидно, что величина Е равняется кинетической энергии жидкости в объеме е'. Формула (12.16) показывает, что кинетическая энергия жидкости в объеме е' представляется поверхностным интегралом по граничной поверхности Я.
По смыслу формулы (12.16) существенно предположение об однозначности потенциала у. Ксли объем Г, в котором потенциальное движение регулярно, односвязный, то однозначность потенциала ~р получается автоматически. Если Р— многосвязный, то предположение об однозначности ~р существенно. Коли на замкнутой поверхности Я вЂ” границе конечного объема г' функция у равна нулю или производная д~р/дп равна нулю, или на одних частях этой поверхности ~р =- О, а на других д~р/дп = — О, то иэ (12.16) следует, что Е = О, поэтому в этих случаях имеем) дгае( ~р ! =: О, или д~р/дх =- д<р/ду = д~р / дг = О внутри К; отсюда ~р = сонзц т.
е. жидкость покоится. Пусть дана некоторая область Я, ограниНадачи Дирихле, ченная поверхностью Х. Задача об опреНеймана и смешанная делении гармонической функции у (х, у, з), регулярной внутри Ю, по заданным значениям функции у на границе Х называется задачей Дирихле. Задача об определении гармонической функции ~р (х, у, г), регулярной внутри Х, по заданным значениям нормальной производной дфдп на Х вЂ” границе Ю называется задачей Неймана.
Задача об определении гармонической функции у (х, у, з) в Й. называется смешанной, когда на одних частях границы 1 $2. Потенциальные дзижеиия несжимаемой жидкости 165 Х задана функция ф, а на других — нормальная производная дф!дя. Задачи называются внутренними, когда внутри области У не содержится бесконечно удаленная точка, в противном случае задачи называются внешними, В случае внешней задачи необходимо задавать добавочные условия в бесконечно удаленной точке. В качестве такого условия можно принять требование об исчезании скорости, т. е. (12.17) )дгабф( = О ) )дгайф!з сИ (12.18) существует. Единственность решения нарушается в классе решений, для которых этот интеграл не существует, за счет усложненных свойств решения вблизи границы Х.
Для доказательства единственности внешних задач на основе формулы (12.16), кроме условий о поведении решения вблизи Х, необходимо еще учесть, что область Х содержит бесконечно удаленную точку, и необходимо показать, что добавочное требование о регулярности и конечности потенциала вблизи бесконечно удаленной точки гарантирует сходимость интеграла (12.18), распространенного на бесконечную область интегрирования Ю. Для решения этого вопроса ниже мы в пределе при удалении в бесконечность по любому пути. Теперь легко доказать единственность реЕдиистзеииость Решения шений указанных выше внутренних завнутренних задач дач о потенциальном движении несжимаемой жидкости в предположении, что потенциал ф однозначен и что кинетическая энергия конечна, область Ю может быть многосвязной. В самом деле, пусть две однозначные гармонические функции ф, и ф, дают два решения рассматриваемой задачи.
Рассмотрим гармоническую функцию ф = — фь — ф,. Очевидно, что для однозначной функции ф получается та же задача, что для функций ф, и ф.„но только с нулевыми значениями на границе Е. С помощью формулы (12.16), примененной к функции ф = ф,— — фз, получим, что ф =- сопз$. Для задачи Дирихле или для смешанной задачи ф = О. В задаче Неймана постоянная может быть отличной от нуля, но движение жидкости определяется однозначно.
Полученные выводы о единственности решения опираются существенно на формулу (12.16); справедливость этой формулы основана на допущении, что интеграл (66 Гл. ЧП1. Гидромохавика рассмотрим более подробно поведение регулярной гармонической функции ф в бесконечности для пространственной задачи. Заметим еще, что для многосвязной области Я задача Неймана и некоторые смешанные задачи наряду с единственным однозначным решением для потенциала могут иметь еще решения с неоднозначным потенциалом ф. В случае неоднозначных функций ф в многосвязных областях единственность решения не имеет места. В этом случае для выделения единственных неоднозначных решений требуется выставлять дополнительные условия, фиксирующие периоды неоднозначпости— циркуляции по контурам, не стягиваемым в точку внутри многосвязной области й).
С помощью второй формулы Грина можно Функция Грина. дать формулу, выражающую однозначГармоническая функция ную гармоническую функцию ф (х, у, г) как сумма иотонциааоа внутри объема у через значения ф и дф/дл простого и двойного слоя на границе Я этого объема. Возьмем в качестве функции тр (хо уо, хю х, у, з) некоторую гармоническую функцию по переменным х„у„го и по переменным х, у, х, имеющую при х = х„у = уо г = го такую особенность, что вблизи этой точки верна асимптотическая формула ( 1 о)о + Ь (хо, у„, г„х, у, х) = — + Ь, )Г(х — хо)о -(. (у — уо)о + (о — оо)о (12 19) где Й вЂ” регулярная гармоническая функция по каждой тройке своих аргументов в объеме У. Дальше при использовании формулы (12.15) будем подразумевать, что переменные интегрирования обозначены через х„ уо, хо.
Так как функция тр имеет особенность в ьтал точке г = О, то будем писать формулу (12.15) применительно к объему У, иа которого удалена внутренность весьма малой сферы Я, радиуса е с Рис. 69. Область интегрирования центром в точке г = О для получоппя потенциала. (рис. б9). Так как ф н ф — по условию регулярные однозначные функции в объеме 1',, то по формуле (12.15) получим ~тр — — ф — )) сЬ+ т (т(о — — ф — ~ Иа = О.
дф дф, (' I дф дф т дл дл! 2 дл дл ~ ьо в 1 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 167 Интеграл по сфере Я, вычислим, устремляя радиус сферы е к нулю и используя асимптотическую формулу (12.19). При е-~ О будем иметь 1 11ш ~ (ф — — ~р — — ) ~й = Пш ( — 1 — ~й —,' 1 ~Р— азу.о) = да дп), ' е д да ' э де Я~ зс о = — 4яр(х, у, г), (12.20) поэтому ср (х, у, г) = 4— ) ~ф д — ср д ) сЬ.
(12.21) Эта формула даст решение внутренней задачи Дирихле, если принять, что поверхность Я совпадает с Х и что ф = О на Х. Эта же формула даст решение задачи Неймана, если гармоническая функция ф определена условием д~р~дп = О на Х. Две различные функции ф, определенные такими условиями, называются функциями Грина для задачи Дирихле или для задачи Неймана. Гармонические функции ф (х„ у„ г„ х, у, с) имеют особенности внутри Х; соответствующие условия на Х для регулярной гармонической функции Й имеют вид 1 1 да й = — — или и да дп (12.22) Таким путем решение общих задач Дирихле и Неймана для функции у с произвольными граничными данными сводится к решению частных задач Дирихле и Неймана для функции й с граничными условиями (12.22).
Очевидно, что таким же путем можно строить функцию Грина для смешанной задачи. Если положить ф = 1/г, т. е. 6 = О, то формула (12.21) принимает вид 1 <р (х р, з) = — ~ — — ~й — — ~ ~р — Ж. (12.23) 1 Г 1 д<р 4лд т да 4л З,да в Здесь можно принять, что Я вЂ” любая поверхность внутри области регулярности функции ~р или что Я совпадает с Х— границей области Ю.
Формула (12.23) дает представление потенциала ~р в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя. гл. Ч111. гвдромехаввка гаэложекве потенциала Теперь можно показать, что гармонвчеудалекной областл в ряд в бесконечно ская функция гс, удовлетворяющая условию (12.17), вне всякой сферы достаточно большого радиуса, охватывающей все границы Х области й, может быть разложена в ряд вида ЛХ + сгх+ сгт+ сгг .ь ..Ух(х, и, г) (12 24) с-гс*,г'-, *,с, „„ъ — * ° .~.— г породный гармонический колином степени и и М= ~ — с(т Г де дл причем Хг — любая замкнутая поверхность, охватывающая один раз внутренние границы области .'б, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
