Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Попробуем воспользоваться течением от диполя с осью, параллельной оси х, расположенного в начале координат О. Положим 1 »3. Задача о движении сферы 183 сферы зависит от времени, то для потенциала скоростей это проявится талы»о через функции р' (»), $'в (»), ув (1). Если сфера вращается около некоторой оси, проходящей через ее цесггр, то, очевидно, нормальные составляющие скорости сферы на ее поверхности будут равны нулю.
Поэтому при таком вращении идеальная жидкость не будет возмущена. В общем случае при произвольных движениях сферы как твердого тела потенциал скоростей представляется формулон (13.6), в которой 'т'ы У», Ув являются компонентами скорости центра сферы в подвижных осях. Для определения распределения давлений по поверх- Р 72 Рнс. 72. Линии тока нрн движении ности сферы следует восполь- сферы в идеальной жндкоетн. зоваться интегралом Коши— Лагранжа. При поступательном движении вдоль оси х, когда функция ср (х, у, х, с) определена в подвижной системе координат (см. (11.7)), имеем Рсзс РРзх) Р 2 ду, дср (нтас1 с»р (13, 7) где функция 7 (») уже определена на основании данных в бесконечно удаленной точке, в которой принято, что ср = О, )йтас) ср) =0 и р = р .
Зная распределение давления по поверхности Х, монино найти силу, действующую со стороны жидкости на сферу Х. Рассмотрим теперь задачу об обтекании Постановка задача неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости. Пусть скорость потока в бесконечности равна — Х' и направлена параллельно оси х. Движение жидкости в этом случае можно назвать «относительным». Именно такую картину течения жидкости будет видеть наблюдатель, движущийся вместе со сферой. Потенциал скоростей (обозначим его сре„) должен всюду вне сферы удовлетворять уравнению Лапласа сьср = О и следующим граничным условиям: в бесконечности (вегас(ср „) = — р' Гл.
тШ. Гидроиеханика и на поверхности Х сферы Потенциал относительного движении Рис 73. Линни тока нри обтекании сферы идеальной жидкостью. ранее движение жидкости наложится поступательный поток, параллельный оси х, потенциал которого трь =- — Кх. Потенциал полученного таким образом течения дв ев ~ тр = — — $' — — $'х = — Ф'созО ~г+,— ) (13.8) отк З гв згв,) будет гармонической функцией, удовлетворяющей как условию в бесконечности ар, Огат) тр„„= — е = — У', эл так и условию на поверхности сферы ( — ) = — втсозО(1 — — ",) = О. Таины образом, формула ($3.8) дает решение поставленной задачи. Линии тока этого течения начерчены на рис.
73. Поверхность сферы в атом случае является поверхностью тока. Для того чтобы получить решение этой задачи, воспользуемся решением предыдущейзадачио движении сферы в неподвижной жидкости. Легко видеть, что мы получим решение задачи об обтекании сферы, если всей системе жидкость плюс сфера в предыдущей задаче сообщим скорость — Р, где вг — скорость движения сферы. Сфера при этом остановится, а на имевшееся 1 13. Задача о движеяви сферы Очевидно, что как в абсолютном, так и в относительном движении при неустановившемся движении линии тока в любой фиксированный момент времени г! будут совпадать с линиями тока установившргося движения, соответствующего скорости У = 'г' (!!).
Картрна линий тока связана с вектором скорости центра сферы, с!(стема координат в общем случае может быть повернута относительно вектора скорости и соответствующего поля скоростей иа любой угол. Найдем распределение относительных Распределение относительных скоростей во пе- скоростей по поверхности сферы верхяести сферы !! =( О™! ) = ( — '"' ) = —. УшпО.
(13.9) Таким образом, д точках А и П (см. рис. 73), где О = 0 и О = я, скорость а =- О, зто — критические точки. Самая большая 3 скорость достигается при О =- я!2 и О = —: я, т. е. в точках больх шого круга, плоскость которого ортогональна У, напри- 3 мер в точках В и С. Эта скорость равна †. У, т. е. в полтора раза больше скорости набегающего потока.
Зная распределение скоростей по поверхности сферы, мон;но вычислить распредедзя сферы ление давлений. Если скорость У не зависит от времени, то движение установившееся и можно пользоваться интегралом Беркулчи: ррс! й р = р + ~ (У! — о') = р —, — ~1 — — з1псО~.
(13.10) Обратимся теперь к вопросу о вычислении силы, действующей со стороны жидкости на движущуюся в ней со скоростью У сферу. Если скорость У постоянна, то распределение давлений на сфере одинаково в абсолютном и относительном движении (см. (13.7)) и его поясно вычислятьпо формуле(43.10). Из формулы (13.10) следует, что давления в симметричных точках, например Е, Е', Р и Р', одинаковы. Отсюда ясно, что суммарная сила, действующая со стороны жидкости на обтекаемую сферу, точно равна нулю.
Сфера не испытывает сопротивления. Подъемная сила также равна нулю. Выше уже было показано (см. з 8), что этот результат, известный под названием парадокса Даламбера, справедлив не только для сферы, но и для любого конечного тела произвольной формы, движущегося с постоянной скоростью в идеальной жидкости при отсутствии отрыва от поверхности тела и при ус- Гл.
Ъ'|П. Гидромеханика Сопротивление сферы, движущейся с переменной скоростью д~р асов О ар так как остальные члены дают части давления, одинаковые в симметричных точках Ь', Ь"' г', Р' (те яае давления, что и при установившемся движении с рассматриваемым мгновенным значением скорости). Разбив поверхность сферы на элементарные полоски(рис. 74) с площадью проводя интегрирование по всей поверсилы сопротивления получим следующее Рис. 74.
К вычислению силы сопротивления при движении сферы с ускорением. Ы о = 2яа' з1п Ос(0 и хности сферы, для выражение: Х = — (р сов О~й = — рави — ~созаО з1пОЫО = — —. яаво — „, . ап э (13.11) Составим уравнение движения шара массы т нод действием некоторых сил г'е и силы сопротивления, будем иметь о"т' лз — р язв р ап " 3 ' ас' Обозначив -яа'р через р, перепишем зто уравнение в виде оУ (т+ р) — = и„, ш лозин, что скорость жидкости в бесконечности равна нулю. Парадокс объясняется тем, что в действительности безотрывное потенциальное движение жидкости вокруг сферы не осуществляется. С поверхности сферы сходят вихри, картина течения видоизменяется и нарушается симметрия в распределении давления по передней и задней частям поверхности сферы. Рассмотрим теперь случай, когда центр сферы движется в жидкости прямолинейно вдоль оси л с переменной скоростью.
В этом случае движение жидкости неустановившееся, для определения распределения давлений можно пользоваться интегралам Коши — Лагранжа в форме (13.7), а для потенциала скоростей жидкости — формулой (13.5). Нетрудно усмотреть, что при вычислении суммарной силы в формуле (13.7) необходимо использовать только член с 1 14. Кинематическая задача о дзижеинн твердоготела з ншдкостн 18Т Присоединенная масса Отсюда следует, что шар в жидкости будет свреры двигаться'под действием некоторых сил г', так же, как он двигался бы в пустоте, еслибы его масса иаменилась на р.
Величина р называется присоединенной массой шара. Она равна половине массы жидкости, вытесненной сферой. Присутствие внешней среды (жидкости) сводится только к увеличению инерции шара. 5 14. Кинематическая задача о движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости Пусть в неограниченном объеме Ю идеальной несжимаемой жидкости движется одно конечное твердое тело произвольной формы. Поставим задачу об определении непрерывного возмущенного движения жидкости, возникающего из состояния покоя под действием заданного движения твердого тела, Для описания абсолютного движения жидкости относительно неподвижной системы координат, в которой жидкость в бесконечности покоится, выберем подвижную сопутствующую телу декартову систему координат х, р, з, через з,,т', втс обозначим единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей этой подвижной системы координат.
Скорость вТ любой точки твердого тела в случае его произвольного движения, как известно, определяется формулой Эйлера Распределенно скоростей а твердом теле П = Гс -(з зв хо', (14.1) где Гс — скорость некоторой точки О твердого тела, 1в — мгновенная угловая скорость вращения тела, ат' — радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку твердого тела, скорость которой определяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
