Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 39
Текст из файла (страница 39)
5) В теории движения абсолютно твердого тела вводятся живая сила Ее, количество движения До и момент количества двия>ения Хе твердого тела. Они связаны аналогичным (15.4): Энергия, количество движения и момент количества движения твердого тела соотношением, 2Е» — — Оо'77» + Ха 1) = Х л»»»О О Ч, » причем а = ~ тдУ» (7>:= 1, 2, 3), (15.6) а К,» = Яи>>»У' (7» == 4, 5, 6). >-1 7 Л.
и. Саков, том 3 Матрица коэффициентов т>„характеризует свойства инерции твердого'тела и в общем случае, когда начало координат взято в некоторой произвольной точке О тела, имеет следующий 194 Гл. ч'Ш. Гэдромеханака специальный вид: и О О О иг" — ту' О т Π— шг* О шх т шу* шу '~х — тх' — Р, Π— Р» — тх' ΠΠΠΠ— тг* шг" Π— шу* тх (15.7) †.0 — Р, где т — масса тела, хэ, у*, гэ — координаты центра масс тела, У„, Ую У, — моменты инерции тела относительно осей координат, а Р„, Р„, Р, — центробея ные моменты инерции. Например, У,,== ~ (у»сиг')йп и Р„= ')угйп, дн» дн;1 Х» — Х» =о ~(гр — — ф»= — -~да=О.
1 ,1( ' дп дп~ Полная кинетическая энергия системы тело плюс жидкость представится в виде 2 (Е + Е„) =,Я (и;» + Х;„) ГЪ" ». (15.8) Х, » —.1 Величины )»»» называются коэффициентами присоединенных масс. Матрица присоединенных масс»Х;Д, характеризующая более сложные, чем овойства инерции твердого тела, свойства инерции жидкости, имеет более общий, чем матрица (15.7), вид. Очевидно, что для системы координат, неизменно скрепленной с телом, величины Х~» (см. (15.5)) не зависят от времени, а аависят только от выбора такой системы координат и от геометрических свойств поверхности Х тела.
Число независимых, отличных от нуля элементов симметричной матрицы ((Х7Д, равно с общем случае двадцати одному. Симметричная матрица Коэффициенты прксо- Матрица (15.7) симметрична, матриуа едикевных масс и ш (15.5) ((),»» д таклее симл»етричиа, так как на основании второй формулы Грина (12.15), примененной к двум гармоническим функциям гр» и ~р», каждая из которых исчезает в бесконечности как 1/г», получим з5. Основы теории присоединенных масс 195 Оз = ~'с+1)х(га,— з'о), Й' = Й. Нетрудно усмотреть, что коэффициенты Лгп Л.з.
Лзм Л и Л,з зависят только от направления осей координат, а остальные коэффициенты зависят как от направления осей координат, так и от положения в теле точки 0 (т. е. от компонент вектора т'оз — з'о). При поступательных движениях твердого тела его количество движения (гз — — тзус направлено по скорости движения, причем масса тела не зависит от направления движения тела. Количество движения нсидкости и скорость поступательного движения тела вообще не параллельны. Величины Л;ь (Л й = = 1, 2, 3) образуют симметричный тензор второго ранга, поэтому существуют три взаимноперпендикулярных главных направления таких, что при поступательных двиясениях тела вдоль этих направлений векторы количества движения жидкости и поступательной скорости тела параллельны, в других случаях такой параллельности вообще нет.
Если декартовы оси координат направлены по главным направлениям, то Лы = Л,з = = Л„= О, причем вообще Главвыо направления дввжевня н центральная точка тела Лы+ Лаз+ Лзз+ Лы (15.9) Таким образом„коэффициенты присоединенных масс зависят от направления поступательного двинсения тела. Матрица (15.7) для твердого тела сильно упрощается, если точка 0 совпадает с центром масс за = рв =- го = О. С этим связана особая динамическая роль центра масс твердого тела. Возьмем систему координат, оси которой направлены вдоль главных направлений. Нетрудно проверить, что три компоненты вектора го — го, определяющие положение точки Ое, можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства Лйз Лззт Лгз Лаз~ Лаа Лзз' (15.10) Точка О*, для которой выполняются эти равенства, называется центральной точкой.
7е )т;ь~ (15.7) содержит только десять независимых и вообще отличных от нуля элементов. Формулы преобразования элементов матрицы 1Л;ь) при переходе от одной системы координат к другой легко получить с помощью формулы (15.4) и формул преобразования компонент векторов 1Т и (з. В частности, при изменении направления осей координат и полон.ения в теле точки 0 будем иметь Гл. У111.
Гпдромехзввка Если оси координат направлены по главным направлениям, а начало координат (центр моментов) совпадает с центральной точкой, то согласно (15.9) и (15.10) симметричная матрица «Х,д1 содержит только пятнадцать неэависимых элементов. Если поверхность твердого тела 2 обКоэффвцкевты правое- ладает некоторыми свойствами симметрии, дкпвявььх масс дзя теа то часть коэффициентов присоединенных с плоскостями симметрии масс )ь;ь обращается в нуль. В самом деле, пусть поверхность тела Х допускает плоскость симметрии, которуюмыпримемза плоскость ху (рис.
75). Можно написать, что дфз и,+ге где Х и Хз — симметричные части Х. На основании соотношений (14.13), (14.14) и (14.16), (14.17) очевидно, что в симметричных точках поверхности Х (ь=1,2,б, )в=3,4,5). Следовательно, "ьз = )ьз = 0 (1 = 1 2 6 Й = 3 4 5) (15 11) Если поверхность Х симметрична относительно плоскости хг, то )ьз=Хз,— — 0 (1.=1,3,5, й=2,4,6). (1512) Если поверхность Х симметрична относительно плоскостей ху и хз, то только следующие коэффициенты присоединенных масс отличны от нуля: 1'ьз~ )ьзз )ьзз "'вь~ )ььь~ Х вв~ )ь зв~ )~зь. (15 13) Для поверхности Х, обладающей тремя плоскостями симметрии ху, хз и уз, например, для эллипсоида, в атой системе координат будут отличны от нуля только следующие шесть коэффициентов присоединенных масс: ььзь, )ьзз, Хзз, Хвв, Хьз, Хвв.
Когда поверхность 2 является поверхКоэффяцяеяты прясоедкностью вращения около оси х, иэ симтрааъная точка тела метрии дополнительно получаем з з вращения = )ьзз ььь = "вв и )ьвв = О. Так как при вращении тела около оси х жидкость не воэмущается~ то ув = О. Кроме этогоь )ьзв 2. Так как при вращении около оси х или около оси у с одинаковыми угловыми $15. Основы теории присоединеннмх масс 197 скоростями проекции количеств движения на ось у в первом слУчае ьгз = Хзз(зз и на ось л во втоРом слУчае гг, = гьзьйз отличаются только знаком.
Таким образом, при движении в жидкости тела вращения для соответствующих компонент количества движения и момента количества движения жидкости имеем Ох = ) 1121 ~22 = )"225 + )ьзФ К = )ьгг~' )2221г, К, = О, К„= — ).„и'+)ь,,ьа', К, = Х„и'+ )ь,аз, (15,14) а для кинетической энергии жидкости 2Е )2 Цг + )ь (сгз~+ ьгз~) т ь (ьзз~+ьгз ) г 22 (ьгзьгз ьгзьгз) (15.15) зг 1 221 ( 2 уз ь)з~ (ггз ггз щ Коэффициенты присоединенных масс для новой системы коор- динат согласно (15.4) будут связаны с коэффициентами присое- диненных масс для старой системы формулами: )чг 511 й22 й22 (15 16) )ььь = )ььь+ 22222 — 2)"звзе йзв = )ьгв ) зззе Центральная точка лежит, очевидно, на осн х, ее координата $о определяется формулой Формула длн (ь, удобная для вычисления г,в„ Установим теперь для количества движения жидкости (с следующую формулу, справедливую при произвольном двинесжимаемойжидкоститвердого тела любой женин в идеальной формы: (15.17) 9 = — ррах" — 4ярс, где 17' = — ~~бь)т, вг — скорость движения любой точки твердого тела, У вЂ” его объем, с = сгб + сД + сз7с, с„сз и с, — коэффициенты однородного полинома первой степени, входящего в разложение Если перенести начало координат вдоль оси х на величину $, то для проекций скорости нового начала будем иметь 198 Гл.
УИ1. Гэдромехавиаа (12.24) потенциала ф течения жидкости в окрестности бесконечно удаленной точки. Иэ первой формулы (15,3) имеем (с р )фида р ~ф ~й, де (15.18) где г = х$ + уу' + ггс. Введем сферу Е э с центром в некоторой точке О тела, охватывающую поверхность Х тела, и к конечному объему жидкости неладу Х и Х, применим вторую формулу Грина для функций ф н т. Танкан ф и г в области между Х н Х, — гармонические функции, получим Поэтому согласно (15.18), так как на Х выполняется условие дф/ди = У„, будем иметь Я р '1и7У„~Ь вЂ” р )'(ф 1 д )Пс.
(15.19) дг дф~ Е, Г 'дг1Гх дгУэ, дел, ~ тС„1; = — )~( — * 1- — + — ~ )т = ~~ П )т = Лт . дс д~ дс (15.20) Радиус сферы Хг устремим в бесконечность. При вычислении в (15.19) интеграла по сфере Хь можно пользоваться разложением (12.24) для потенциала ф, при этом в связи с тем, что С = М = О, только член РазложениЯ (сГг + с,У + сээ)/Аэ бУ- дет существенным, так как остальные члены убывают как 1Яэ. Заметим, что на сфере Хь дф дф 2с„ дл дй А" сК с„ ф яа дз ~ и, следовательно, сс тьс„—., = 8 ~'~'с.~1ээ, Б в Вектор скорости точек тела ГГ определен внутри объема аб- солютно твердого тела, ограниченного 2 .
Пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского, получим 15. Основы теории присоедииоивых масс 199 где Я вЂ” сфера единичного радиуса, концентрическая Хт. Интеграл по Я преобразуем по формуле Гаусса — Остроградского: Следовательно, ~гр — — т — ~ аЬ = 4яс. Г-- дт д<р ~ дп дп~ и~ (15.21) Для получения формулы (15.17) достаточно подставить вычисленные интегралы (15.20) и (15.21) в равенство (15.19). Если известен потенциал скоростей, то обычно легко определить векторе, а следовательно, по формуле (15.17) и (д. С помощью формулы (15.17) удобно также определять коэффициенты присоединенных масс.
Таким путем можно вычислить все коэффициенты )с; а при 1 ( 4 и )а любых или при й ~ 4 и 1 любых. Например, в случае подробно рассмотренного выше движения в жидкости сферы радиуса а потенциал имеет вид ~р = — аЧ7'х~2га, т. е. с, = — аЧ7'/2, с, = с„= О, из-за полной симметрии сферы 9 =- 1т,й == )ст,ать, где согласно ('15.17) 9иоа й=р — "з 17', и поэтому присоединенная масса сферы, как выше было непосредственно получено, равна сипае р$' где т' — объем сферы. Остальные Х,а равны нулю. Коэффициенты присоединенных масс ).,„= ~рт — 1и др„ в дп можно определить как теоретически, так и экспериментально, Как было покааано вьппе, для тел специальной формы неко- торые из коэффициентов Хта обращаются в нуль.
Га. Ч111. Гвдромехаввка б 16. Силы воздействия идеальной жидкости иа тело, движущееся в безграничной массе жидкости В проблемах, связанных с движением тел внутри жидкости, необходимо рассматривать движение жидкости н учитывать силовые взаимодействия между жидкостью и телом. При решении задач о движении абсоЛва способа РассмотРениЯ лютно твердого тела в безграничной дого тела в жидкости массе идеальной несжимаемой жидкости можно действовать двумя способами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
