Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 43
Текст из файла (страница 43)
1) было показано, что в сжимаемых средах скорость распространения конечных возмущений (скачков) больше соответствующей скорости звука а = У(др!др)„но тоже конечна. Возмущения, посланные из точки г =- О, доходят до некоторой точки г + 0 только через определенное время. Поэтому решения вида (17.5) называются запаздывающимн потенциалами.
С помощью решений (17.4) нли (17.5) можно строить другие решения волнового уравнения. Например, если гр (х, у, г, г) является решением волнового уравнения, то зг (х — х„у — у„ г — г„( — (о), где х„уо, го, Го — некоторые произвольные постоянные, также будет решением волнового уравнения. Таким образом, например, функция гр (х, у, г, г)— О (ио Π— го) — )г(х — хо)г + (у — уо)' + (г — го)') 4:г )Г(х — хо)г + (у — уо)г + (г — го)г Запаздывагощпе потснцнааы. Способы конструврованпя решений волнового уравнения (17.6) будет решением волнового уравнения (17.1).
Это решение прп условии, что функция г,г (аог) определена графиком рис. 80, соответствует источнику, который в момент го начинает действовать в точке с координатами хо, у„го. Волновое уравнение (17.1) является линейным уравнением, поэтому сумма решений волнового уравнения также является его решением. Пользуясь этим, можно строить новые решения волнового уравнения с помощью сложения решений вида (17.6), в которых х„уо, г„го принимают различные значения. Можно рассматривать совокупность точек х„уо, го, в которых в разные моменты времени го вспыхивают н некоторое время продолжают действовать различного вида источники с постоянной нли переменной интенсивностью гго,.
(Функция г, г, помимо аргумента, указанного в (17.6), может зависеть еще как угодно от параметра го.) С помощью слоягения потенциалов таких источников возмущения можно конструировать решения различных задач аэродинамики тонких тел, когда применима теория малых возмущений. Например, можно рассмотреть кривую хо = х, (го), Уо = Уо (го)г го = го (го) представляющую собой траекторию движения тонкого снаряда, и моделировать движение снаряда с помощью источников, вспыхивающих в каждой точке этой кривой в момент г, прохождения черев нее снаряда и продолжающих действовать в этой точке некоторый малый промежу- $17. Движения газа с малыми возмущопппмп 217 ток времени.
В некоторых случаях закон движения х, = х, (то), у, = уо (го) и зо = зо (го) тела — возбудителя возмущений можно отождествить с законом движения подвижного источника. При этом потенциал возмущенного дви женин сжимаемой среды можно определить формулой 'р = )'г аго, о Распрострапеппе коз- мущеппй ет источника, двпжущегооп вдоль врпмой с постоянной дозвуковой скоростью. Эффект Довплера где ~ро определено равенством (17.6).
Возмущения, возбуждаемые в каждой точке х„уо, го, через которую снаряд проходит в момент 1 =- го, в последующие моменты времени о ) то распространяются в пространстве. Граница каждого такого возмущенна в момент времени 1) 1о представляет собой поверхность сферы радиуса г = ао (о — 1,) с центром з точке хо уо1 зо. Рассмотрим болео подробно задачу о распространении возмущений от источника, движущегося вдоль прямой с постоянной скоростью 77о. Весьма важно, что картина распространения возмущений будет существенно различной в случаях движения источника с дозвуковой (Уо с. а,) и со сверхзвуковой (С'о) ао) скоростью.
Остановимся сначала на изучении поля возмущений от источника, движущегося в бесконечной массе жидкости вдоль прямой с постоянной дозвуковой скоростью Уо(ао(рис. 82, а). Пусть в некоторый начальный момент гог источник находится в точке М„с координатой хоп все возмущения от него в этот момент времени также сосредоточены в атой же точке М,.
Возьмем некоторый другой момент времени 1 = го ) топ Источник за промежуток времени тоо — 1о, продвинется на расстояние (1оо — 1ог)Уо и попадет в точку Мо с координатой хо,. Возмущения от источника, находивагегося в момент гог в точке Мм за вРемЯ го, — Гщ РаспРостРанатсЯ До поверхности сферы радиуса гд — — (1оо — оог) а„с центром в точке М, и обгонят источник (г, ) М,М, = хоо — хщ). Отметим следующие особенности рассматриваемой картины распространения возмущений от источника, движущегося вдоль прямой с доавуковой скоростью.
Во-первых, возмущения от источника обгоняют сам источник, и он движется по уже возмущенной среде; среда перед источником возмущена. Во-вторых, возмущения, посланные источником из его предыдущих положений, всегда обгоняют возмущения, посланные из его последующих 'положений, и если источник двигался бесконечно лго, то есл среда перед и аа источником еозмуп(ена. 218 Гл.
У111. Гядромззаннка В-третьих, картина распространения возму1цений от подвижного источника, в противоположность картине распространения возмущений от неподвижного источника (см. рис, 81), несимметрична; очевидно, что впереди источника звук имеет ббльшую частоту, чем за ним (см. рис. 82, б). Последнее обстоятельство объясняет так называемый аффект Допплера, ноторый заключается в том, что наблюдатель 1, стоящий впереди б,1 е) Рнс.
82. Распространенно возмущений от источника, движу- щегося с постоянной дозвуковой скоростью. приближающегося подвижного источника звука, слышит звук более высокого тона, чем наблюдатель 1У, стоящий позади удаляющегося источника звука. Аналогично подвижный, удаляющийся от Земли источник света (например, звезда) дает отклонения в сторону красных спектральных линии, соответствующих световым волнам большей длины, в то время как приближающийся к Земле подвингный источник света дает отклонения в сторону фиолетовой части спектра, соответствующей более коротким световым волнам. По величине отклонения спектральных линий можно определить величину скорости движения звезды относительно Земли. Изучим теперь картину распространеРаспрострапонне воз- ния возмущений от источника, движущемущеннй от псточнпка, тося вдоль прямой со сверхзвуковой скодвзонУщегосн вдоль Ростью бгз ) аз (Рис.
83). ПУсть, как прямой с постоянной и в первом случае, источник в момент времени 1 д находится в точке Мь с коорДинатой хвп В момент вРемени 1 = 1зз) гзь источник бУДет находиться в точке Мз с координатойхзз — — хзь+Пз (ззз Сзь). Возмущения от источника, распологггенного в момент 1зь в точке М„в момент времени 1з достигнут поверхности сфеРы РадиУса гг = ао (1зз — 1ш) с центРом в точке мю В силУ 17.
Дзкжсввк газа с малики зозмущекккмк 218 того, что Ув ) а„путь, пройденный источником за время 1«» — 1«ю будет больше г,, Возмущения, посланные источником в моменты времени 1», большие»»» и меньшие»в„в момент ц» достигнут, очевидно, Ркс. 83. Распрестракекке зозмущеккй ог источника, дзкжу- щвгоск с нос»сявкой сверх»куковой скоростью.
поверхностей соответствующих сфер радиусов г = (1»» — 1»)а», йм <.„1 с" 1««, с ЦентРами в точках дУ (х«) (ха» ( хо < х»«) (см. рис. 83), и все зти возмущения будут оставаться позади источника. Таким образом, среда впереди источника, двилсущегося со сверхзвуковой скоростью, остается иевозмущепной; наблюдатель А, стоящий впереди двик»ущегося со сверхзвуковой скоростью источника, «не знает», что к нему приближается источник возмущений; он не может слышать звуковых сигналов, посылаемых движущимся со сверхзвуковой скоростью источником. Таким образом, имеется фундаментальное различие между распространением возмущений от источников, движущихся со сверхзвуковой и дозвуковой скоростями. Очевидно, что все возмущения от источКонус и угол Маха ника, начавшего двигаться с постоянной сверхзвуковой скоростью бесконечно давно, в произвольный момент времени 1»»будут заключены внутри кругового конуса, вершина которого находится в точке М«, а боковая поверхность является огибающей сфер радиусов г = а«(с«« — 1»), где 1««1»«.
Этот конус, отделяющий возмущенную область от невозмущенной, называется конусом Маха. Синус и — половины угла раствора конуса Маха — равен обратной величине числа Маха М = У»/а». Действительно, и аа 1 э1па = — = — =— Мгйу» Ч«а« Гл. У1П. Гидромехаввка Этот угол а навывается углом Маха. Заметим, что если сверхзвуковое движение источника началось, например, в момент гзп то в момент 1з, все возмущения от источника будут расположены внутри области, ограниченной частью поверхности конуса Маха Я и частью сферы Я радиуса г, = аз (зш — 1зД с центром в точке М,. На поверхности х' конуса Маха сопрягаются два решения волнового уравнения, соответствующие состоянию покоя, ~р= О, и состоянию возмущенного движения, ~р = ~р (х, у, г, 1). Подобные поверхности сопряжения решений с различными аналитическими свойствами называются характеристическими поверхностями уравнений с частными производными.
Характеристическая поверхность — конус Маха является в общем случае поверхностью разрыва возмущений; в рамках рассматриваемой теории эта поверхность будет поверхностью, на которой разрывы скорости, давления и других величин невелики. В пределе такие поверхности соответствуют слабым разрывам, на которых искомые функции непрерывны, но их производные по координатам вообще терпят разрыв. Очевидно, что скорость распространения поверхности характеристического конуса по неподвижной среде, нормальная к его поверхности, точно равна скорости звука. Если на течение, изображенное на рис.
83, наложить постоянное поле скоростей в сверхзвуковых потоках — П„то среда, заполняющая все пространство, будет двигаться с постоянной сверхзвуковой скоростью Ю„вдоль отрицательной оси х, а источник возмущений будет покоиться. Возмущения от источника, расположенного в точке М„в сверхзвуковом потоке будут сказываться только внутри поверхности конуса Маха с вершиной в точке М„расширяющегося вниз по потоку, а перед этим конусом Маха будет иметь место поступательное невозмущенное движение среды с постоянной скоростью ~7ю Параметры движения среды в произвольной точке сверхзвукового потока могут изменяться только от возмущений, возникающих в точках, лежащих внутри поверхности конуса Маха с вершиной в рассматриваемой точке и расвхиряющегося вверх по потоку. 5 (8. Распространение плоских волн конечной амплитуды (волны Римана) В предыдущем параграфе рассматривалось распространение слабых возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
