Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнения движения были линейными и сводились к волновому уравнению. 1 18. Распространенно плоских волн 2$1 Решенно Рамена свстепы уравнений одномерных баротропвых лввжеппй пдеальпого газа с плосюпеп еолвавв В случае плоских волн мы рассмотрели решения волнового уравнения, зависящие только от х .+ а г, что соответствовало прогрессивным волнам, которые без изменения своей формы распространяются вдоль оси х с постоянной и одинаковой для всех возмущений скоростью а,. Скорость, плотность, давление (а также и другие характеристики движения) в такой волне являются функциями только х + а ги, следовательно, могут быть выражены как функции друг друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координат, ни времени (например, и =- и (р), р = р (р) н т. д.). Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов.
Она состоит из уравнения Эйлера ди ди 1 до — +и — + — — =О, д~ дх р дх (18.1) уравнения неразрывности др ди др — -'-р — + и — = О д~ ' дх дс (18.2) н условия баротропностн (18.3) которое в случае адиабатических процессов в совершенном газе имеет вид р= Ар", (18,4) где А — постоянная, одинаковая для всех частиц газа. Система уравнений (18.1) — (18.2) с учетом условия баротропностя течения (18.3) представляет собой систему двух уравнений для определения плотности р и скорости и в зависимости от координаты х н времени й Проводимые ниже рассуждения справедливы, вообще говоря, при любой зависимости (18.3) р от р. Случай адиабатических движений совершенного газа (18.4) мы будем рассматривать'далее для,'иллюстрации полученных выводов только в качестве частного примера.
Выписанная система уравнений движения газа (18А)— (18.3) не имеет решений, зависящих только от х +. ас1, но оказывается возможным найти решение этой системы, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида ~ (х +- ас1), которые имеют место для приближенных линейных уравнений. Гл. У1Н. Гвдромехавика Будем искать такие частные решения системы уравнений (18Л) — (18.3), для которых скорость и является функцией только плотности р, т.
е. и = и(р), (18. 5 ) где р = р (х, с). Такие частные решения системы уравнений (18.1) — (18.3) носят название решений Римана; соответствующие зтнм репсениям движения называются волнами Римана. В результате сделанного предположения (18.5) систему уравнений можно переписать в виде Ыи др 1 сСи 1 Нр~ др сСр ВС (, Нр р сСр) дх (18. 6) дС ~, сСрС дх Очевидно, что зти два уравнения будут согласовываться между собой, если будет выполнено равенство 1 Н,.Р Ни р Ир р — = сСр ии др (18.7) (18.3) Для определения плотности р (х, С) можно использовать уравнения (18.6), которые в силу (18.7) сводятся к одному нелинейному уравнению. Это уравнение после обозначения — "' = а (р) (18ЛО) др и использования пока только одного из решений (18.9) может быть переписано в виде — + (и -с. а) — = О. ВР др дс Вх (18Л1) Равенство (18.7) обязательно должно выполняться для того, чтобы сделанное выше предположение о существовании решений вида и = и (р) выполнялось.
Таким образом, согласно (18.7) имеем — =~1 (18.8) и, следовательно, скорость и как функция р в случае волн Римана может быть найдена независимо от интегрирования уравнений движения (18.1) — (18.2). Для скорости и (р) будем иметь 1 1з. Распространение плоских волн Введем в рассмотрение величину (1842) с = и +а, которая имеет, очевидно, размерность скорости и на основании уравнения (18.11) может быть истолкована как сноростьраспространссьия постоянных знамений плотности р. В самом деле, уравнение (18.11) можно переписать в следующем виде: др(х, 0 др дх др = — + — — '=0 ~й дс д8 дс где Аналогично можно рассмотреть и скорость с, равную и — а.
Согласно (18.9) и (18.10) величина с для баротропных процессов является известной функцией плотности р. Для опрсделения плотности р (х, г) имеем нелинейное уравнение др , др —,', +'(р) —,=О. (18.18) Подсчитаем величину с = и + а для случая адиабатических движений совершенного газа. Из (18.4) получим ае = — = Аур' — г Ыр др и — и — — 1 и(р) = ~~)~ Аур ' йр = ~ 1(Ау — р( — зуе+сопз1, с (р) = и+ а = К Ау ~1 + — ~ р~м — п/з -', сопз1.
(18Л4) 2 т — 1 — = с (р) = и т а. ("',..= Отсюда после интегрирования получим х = Ес (р) + Р(р), (18Л5) Отсюда видно, что скорости а и с являются монотонно возрастающими функциями плотности р. Аналогичное исследование характера зависимости а и с от плотности р можно провести для произвольной зависимости р от р (18.3). Так как постоянные значения плотности р и скорости и=и (р) перемещаются в пространстве со скоростьго с, можно написать, что Гл. Ч!П. Гндромеханнка где Р (р) — произвольная функция плотности, а функция с(р) = и +а (18.16) определяется, например, равенством (18.14).
Формулы (18 15), (18 16) и (18.14) дают решение Римана. В этом решении функция г" (р) произвольна, атой функцией можно распорядиться и удовлетворить некоторым добавочным частным условиям. В полученном'.решении Римана плотность,а следовательно, и другие параметры течения найдены как неявные функции от х и й Для каждого определенного значения р имеем х = е 1+ сю где е, и св — постоянные, т. е. точка, в которой скорость и плотность имеют фиксированные значения (фазовая характеристика состояния), передвигается в пространстве с постоянной скоростью. В этом смысле построенное решение представляет собой волну.
Скорость перемещения возмущений в пространстве равна с = и + а или с = и — а; скорость распространения возмущений по частицам равна+а илн — а. Два знака соответствуют двум разным решениям для волн, распространяющихся относительно частиц газа либо в положительном, либо в отрицательном направлениях оси х. Найденные частные движения получены как точные решения нелинейных уравнений движения; соответствующие движения часто называют пров>лыжи волнами. Пусть в некоторый фиксированный моловской волны сжатня ям~~~~ рвиа мент времени 1 профиль распределения плотности р от х в распространяющейся вправо (с =- и + а) волне) Римана имеет вид, изображенный на рис. 84, а. Слева от точки М плотность р растет с ростом х и мы имеем волну разрежения, а справа от точки М плотность р убывает с ростом х и мы имеем волну сжатия. Скорость с распространения определенных значений плотности р зависит от величины плотности р, поэтому профиль распределения плотности р будет жеиятьея с течением времени.
Рассмотрим случай, подобный адиабатическому движению совершенного газа >), когда скорость с растет с ростом р и убывает с уменьшением р. Волна сжатия, т. е. та часть волны Римана, в которой плотность р при распространении волны возрастает, так как точки >Ч, и )Ч будут сближаться, становится все короче, а профиль волны сжатия становится все круче, в то время как волна разрежения, т. е. те части волны Римана, в которых плотность при распространении волны убывает, так как >) Для укрощслня рассуждений примем, что постоянная в (18Л4) положительна нлк равна нулю.
Прнбввленкс любой постоянной к с (р) нв может квмоннть всех последующих выводов. т 18. Распространение плоских волн точки )т'; и )тв' раздвигаются, удлиняется, а профиль волны разрежения становится все положе (см. рис. 84, 6). С математической точки зрения возможно наступление такого момента времени с„когда в некотором месте х будет наблюдаться несколько значений плотности р (см. рнс. 84, в), что физически недопустимо. Ясно, что однозначное непрерывное решение, соответ- 1 ствующее волне Римана, может существовать только до момента времени 1, когда профиль распределения плотности р от х се 9 с д) роспределеное рея) В явпеит ~ С а) распределеиоес ат х д уписорвеаиивс ивиеит дрепеио С и д) Уарушение вднвиот осто распределения плвтиоппо и) итоиеит дсинтиадптн сивина уплотнетт д) днонан уплвтиеион Рис. 84, Опрокидывание рииановской волны сжатии.
приобретает вертикальную касательную (см. рис. 84, г). Начиная с этого момента времени, непрерывное решение Римана теряет силу. Как показывают опыт и теория, в этом случае непрерывное решение Римана должно быть заменено более 3 л. и. седов, том 2 Гл. ЧП1. Гндромеханнка общим разрывным решением со скачком упзоптнзнил (рис. 84, д). Опрокидывание волны сжатия приводит к появлению скачков уплотнения. Таким образом, если в решении Римана имеются участки волны сжатия, в потоке идеальной (невязкой) среды обязательно будут возникать скачки уплотнения.
Разрывы не будут образовываться, если плотность в волне Римана монотонно возрастает в направлении распространения волны на всем ее претил<енин, как, например, в случае волны, возникающей при непрерывном выдвигании поршня из заполненной газом длинной трубы. Скачки уплотнения могут, а скачки разрежения ие могут возникать, так как профиль волны разрежения становится все более пологим. При использовании второго решения со знаком минус все выводя сохраняют свою силу после изменения направления оси а на противоположное. Предыдущие выводы существенно связаны с видом Функции р = 1(р). Можно поставить задачу об отыскании такой зависимости р = 1 (р), прн которой не будет иметь место эффект опрокидывания волны сн<атяя Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
