Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1. Рассматривать тело и жидкость как единую механическую систему с шестью степенями свободы. Кинетическая энергия этой системы представляется формулой (15.8), в которой величины 0г (й = 1, 2,..., 6) представляют собой обобщенные скорости, равные проекциям на подвижные оси векторов поступательной и угловой скорости твердого тела. Располагая формулой для кинетической энергии системы н данными об элементарной работе внешних к системе тело— жидкость сил, действующих на твердое тело (предполагаем, что подобные вне~няне силы на жидкость не действуют), можно составить уравнения Лагранжа второго рода и с их помощью ставить и решать различные задачи. Получающаяся при этом система уравнений аналогична уравнениям движения свободного твердого тела, однако она имеет более общий вид, так как инерция системы (тело †жидкос) задается матрицей)т;а+А;4, имеющей более общую природу, чем специальная матрица ~тЦ для свободного твердого тела.
Если написать уравнения движения системы тело— жидкость в целом и уравнения движения твердого тела отдельно, то после этого из сравнения этих уравнений легко выделить суммарную силу н суммарный момент воздействия к<идкости на тело. 2. Можно прямо с самого начала рассматривать уравнения движения твердого тела, в которых учитываются суммарная сила Л н суммарный момент Фа воздействия жидкости на тело. В этом случае необходимо воспользоваться формулами А = ~ри сЬ и йа = ~р(т хн)гЬ, (16.1) где бя — момент гндродинамических сил относительно некоторой произвольной фиксированной подвижной точки О, скрепленной с телом неизменно.
Единичный вектор и и радиус- вектор т' определены так же, как и в формуле (15.3). В прило- 1 16. Снам воздействия идеальной яидкостн на тело 201 Нестрогие, ыо верные допущения для вассмот реяпя бесвонечвои массы жидкости как механической системы ~ реет = 11ш ~ рвет, Ю '9 Ю где й„— конечная область, ограниченная поверхностью тела Х и поверхностью Х„, устремляющейся всеми своими точками в бесконечность; в зависимости от свойств последовательности )кениях в качестве точки О можно брать центр масс твердого тела, центральную точку или какую-либо другую точку тела.
Интегралы (16.1) можно вычислить, когда распределение давлений по поверхности тела известно. Этот способ рассмотрения пригоден и в тех случаях, когда жидкость имеет другие границы, кроме Х, и когда движение жидкости не потенциально. Замечательно, что для потенциальных движений несжимаемой жидкости, занимиощей все пространство, выешнее к поверхности Х, интегралы (16.1) для любой данной формы тела, задаваемой поверхыостью Х, с помощью интеграла Коши — Лагранжа можно выразить через компоненты 77о и 1с и их производные по времени. Соответствующие формулы для тела произвольной формы и любого вида двия~еыня, легко написать, если воспользоваться следующими двумя положениями, справедливость которых будет обоснована ниже.
Л. Ьескоыечную массу жидкости можно рассматривать как механическую систему с суммарным количеством движения Д и суммарным момеытом количества движения лх, определенными в предыдущем параграфе формулами (15.3) . В. Суммы всех внешних сил и внешних моментов, действующих на бесконечную массу жидкости, по условию покоящуюся в бесконечности, равны векторам — А и — бйо (16.1). Условие об исчезании потенциала ю и йгаб Т в бесконечности моя<но рассматривать как накладываемую дополнительную внешнюю связь, которая могла бы, вообще говоря, стать источником внешних сил реакции. В действительности такие внешние силы реакции отсутствуют. Эти положения существенны, так как, например, количество двиа<ения бескоТрудности в определении и момента количества печной массы жидкости, определенное движения бесковечпой массы жидкости интегралом '1ри дт, вообще не имеет смыс ла, так как зтот интеграл сходится условно из-за того, что подынтегральная функция при М = 0 в (12.24) в бесконечности имеет порядок 1/Во.
В самом деле, рассмотрим предельное соотношение Гл. УШ. Гидромеханика где производная ого/Й определяет изменение вектора (у по отно|пениго к инерциальной системе отсчета, а производная И'Я/й взята по отногпению к подвижнной системе координат, скрепленной с телом неизменно. Формула (16.2) определяет суммарную силу воздействия жидкости на тело, так как согласно (15.3) вектор 9 выражается через )ч„и би по фор- муле О = р ~ гро17' ' дс = ~х~~ )чсО*э, (16.3) в о.=ь 2,...,о л='ь'1, з где э" — векторы базиса в подвияспойсистеме (э' .=- с, эо = —,1, а' = гс).
Для получения уравнения, определяющего момент сил, действующих на тело, обратим внимание на то, что центр моментов (точка О) — подвижная точка. Введем неподвижную точку О, и радиус-вектор и, проведенный из точки О, в точку О. Пусть К, и К вЂ” моменты количества движения жидкости соответственно относительно точек О, и О. Очевидно, что между .К, и К имеется следующая связь: .К, = .К + г Х 9. Обозначим еще через %т и бйо суммарные моменты гидродинамических сил, действующих на тело, относительно точек О, и О. Наряду с равенством (16.4), очевидно, имеет место равенство бйу = ййо + о' Х 1 = бйо — т' Х вЂ”, , дЯ сг (16.
5) .ь„этот предел может вообще не существовать, или если он существует, то зависит от вида поверхностей Х„. Для вектора момента количества движения жидкости, определяемого интегралом у (и Х рп) Нт, при ߄— ~,л) дело обстоит еще хуже, мо так как этот интеграл вообще расходится. При действиях в рамках способа 1 необходимо иметь дело только с кинетической энергией яоидкости, в этом случае нет затруднений, связанных со сходимостью интеграла для кинетической энергии. Однако и в этом случае требуется обоснование отсутствия прптока энергии к жидкости из бесконечности за счет условий ~р =- О и (дгао ~р) = О. На основании положений ~Л и В можно Общие формулы „написать для гидродинамической силы и момента —.1= ~'~ =~ — 'л+иХВ (16.2) ~й ~й 1 $6. Силы зоздействвя идеальной жидкости яа тело 203 Уравнение моментов количества движения жидкости относи- тельно неподвижной точки О, с учетом (16.4) можно написать в виде — %,= — „, = — „, +1)ХК.~-77,х9+г Х вЂ” „,; (16.6) здесь использовано очевидное равенство (Тп = Нг!й.
Из (16.6) и (16.5) следует окончптельная формулп: — %о = ~, + 11 х 7~ -р 1г, х О. (16.7) Эта формула дает искомое выражение для вектора %, момента гидродинамическнх снл, действующих па тело. В эту формулу для Я можно подставить его выражение из (16.3), а для Х вЂ” на основании (15.3) следующее выражение: К = Р ~Ф,О' 6 Ж = ~~'.~ Х;з~зО'э'. (16.8) Е 1,2, ..., б г=-ч, г,з Обоснование еделаююых допущений И Г и' Г И вЂ” Л -)- Рв — ) бгад~Рдт = — Р ~~Риде+ — Р 1 ЧигЬ, а) а Ю и Е„ а — %г+ %л = „— р ~ (мг Х дгай ф) Ус = ,е„ Ы Г Ы = — Р ) ~Р (г, Х и) Нс + — Р ~ ~Р (гт Х и) ~й. (16.9) Формулы (16.2) и (16.7) показывают, что задача об определении суммарных сил сводится к выяснению коэффициентов присоединенных масс Цю Коэффициенты Х;ь и все силы пропорциональны плотности жидкости р.
Теперь в порядке обоснования предположений А и В дока>кем справедливость формул (16.2) и (16.6), в которых 4 и %, определены формулами (16.1), а Я и зх, — формулами (15.3) (в обоих случаях в качестве центра для вычисления моментов берем одну и ту же неподвижную точку О,). Для доказательства применим теоремы о количестве двигкення и о моменте количества движения к мысленно выделенному из бесконечного объема л) конечному индивидуальному объему я<идкости Ю„, ограниченному подвижной поверхностью Х и поверхностью з,'„. Имеем Гл. Ч111.
Гядромехаввиа Здесь на основании интеграла Коши — Лагранжа в неподвиж- ной системе координат Р Рп Р дсд Рп дс 2 можно написать = р 1 — пс(а+ р 1 —,исй Г дсе Г пс и Э дС тйссппи Р ) у(т'сХп)сй+ Р ) 2 (тсХп)сй, (16.10) Г дср п2 и и так как интегралы по 2'„от постоянного слагаемого ре равны нулю. Далее, Р |Й, — 1 рсрпсй =1сш — ( ~ ср'и'сса' — ~ суп сса) = сп Ьс л' ви = р ~ —,исй + 1пп Р, ( ~срисса — ~ срп<й) = ви 2 Е и п = Р ~ — исй+ Иш — ~ йгас)сР с(т=Р ~ — псй+ Р ~ тсвисй, Г дср р Г Гдр д дс „,,лс )дс п п Еп где Ал), — объем между Х;, и Х„, причем для малого элемента объема Ат имеем с(т = ии сй Ж.
Аналогичным путем получим формулу СС Р ~ ф(ндХП) Сй = Р ~ дС (У'СХИ)па + Р ~ (ПСХ тС) ССп(Са. вп п — А = —, + р (тссс — — и1с(а сСКс Г г пп1 + Р ~ )'(АХ ) пи — (исХИ) — 1сй. (16.11) С помощью этих преобраэованнй, с учетом (16.10) н определений (д и Хс (15.3) уравнения (16.9) приведем к виду $16. Силы воздействвя идеальной жвдкостн ва тело 21о О, и +Л 4 +Лзе(Г/ 1) / ~ )+ вй1в в1г/в 21 1з + Лвз(2'Й' + (Лзз — Лы)ГУ'П'. — ˄— „, — ˄— „, +Лез(Г/'й~ — Г/~1)')— а1вв а1/в — Лаза а — (й,зз — Лы) Г/зГз.
(16.13) Интегралы по поверхности Х„в этих формулах не зависят от выбора поверхности Х„и, следовательно, от выбора объема Кв. Это следует из того, что остальные члены в этих формулах не зависят от выбора Х„. На основании асимптотического разложения для потенциала (12.24) при ЛХ + 0 ясно, что при удалении точек Ев в бесконечность подынтегральные величины в первом и втором равенствах (16А1) имеют порядки 1/гв и 1/г' соответственно. Отсюда следует, что для любой удаляющейся в бесконечность поверхности Х„эти интегралы точно равны нулю.
Обращение в нуль этих интегралов можно получить с помощью формальных выкладок на основании асимптотической формулы (12.24) и с применением формулы Гаусса — Остроградского к области, внешней к поверхности Хв, в которой потенциал скоростей регулярен. Таким образом доказана справедливость уравнений (16.2) и (16.6). Поэтому конечные векторы 9 и .К, определенные равенствами (15.3), можно рассматривать как количество движения и момент количества движения бесконечной массы жидкости.
Одновременно с этим установлено, что условие о покое жидкости в бесконечности не связано с введением отличных от нуля сил реакции или притоков энергии из бесконечности. На основании уравнений (16.2), (16.7) 1влролвнамвчесвне силы и формул (15.14) для проекций на подвижные оси координат силы А н момента действующие на тело в щения 8й„действующих со стороны жидкости на движущееся в ней тело вращения, легко получаем аГ/з Аа = — Лы — — Лз. ф'Г/' — 1)'Х/') + Лез (1)" + 1)") ~ -4в = — Лзв — — Лзз -,1- — Лзз(/ 1) + Лзз1) Г/ — Лзз() 1) .~гГв лов з з з з ввв Ж 1 А, = — Л„""'+ Л„'"'*+ Л„(/ аз Л„Г/за' — Л,ва'а' Ю й (16А2) Гл.
7ПП Гидромехавика Эти формулы дают явное выражение для гндродннамических сил и моментов через проекции скорости центра моментов, лежащего на осн х, совпадающей с осью вращения, и проекции угловой скорости тела вращения на подвижные оси. Если центр моментов совпадает с центральной точкой, то в формулах (16.12) и (16.13) необходимо положить Х.,з =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
