Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так будет, например, если скорость с получается постоянной, т. е. ас/ар = О. В этом случае на основании (18 8), (18.10) и (18.12) для определения вида зависимости р от Р будем иметь следующее простое дифференциальное уравнение: Связь р = Г (Э) прн которой нолна Римана перемещается посту- пательно †,, у 1'(р) + †„, )1) (р) После интегрирования (18.17) найдем (18.17) р=1(р) = .4 —— В э (18Л7') где А и  — произвольные постоянные. Уравнение (18.17') можно рассматривать как уравнение процесса с некоторым подходящим притоком тепла для совершенного газа или вообще другой среды. Уравнение (18.17') можно рассматривать также как уравнение прямой, касательной к адиабате.
Таким путем можно задавать адиабату приближенно, но при таком приближении теряется важная тенденция к опрокидыванию волн, Теоршо простых волн Римана можно при- 0 волнах Рнмана менять непосредственно в некоторых э других моделях других сложных моделях сплошнои среды для движений с плоскими волнами, когда деформированное состояние определено одним переменным параметром, связанным одноаначно с плотностью, и когда напря- $18.
Распространение плоских волн 227 жение на плоскости фазы волны перпендикулярно к атой плоскости и определено деформированным состоянием, т. е. плотностью. В частности, теория волн Римана непосредственно применима в нелинейной теории упругости для движений с плоскими волнами, перпендикулярными к оси х, когда перемещения параллельны оси х.
В зтих приложениях нет необходимости использовать плотность как основную неизвестную величину, вместо плотности можно взять в качестве искомой величины любой другой параметр, связанный известным способом с плотностью. Соответствующие видоизменения решения Римана очевидны. Как узнать, когда и где необходимо воспользоваться решением Римана при концентрированные волны Романа струировании решений задач о движении сплошной среды? Из постановки задач с помощью теории размерности можно установить случаи, когда имеет место автомодельность искомого решения.
Легко видеть, что в автомодельных движениях (см. гл. Ъ'11, т. 1) с плоскими волнами, когда переменные аргументы х и Г входят только в комбинации хаас, т. е. когда имеют место формулы и = и..г'( — *) и р = радар ~ —,~ . будет и = и (р). Следовательно, такие автомодельные движения являются волнами Римана или кусочно гладкими комбинациямн решений Римана, но автомодельные волны соответствуют случаю, когда в формуле (18 15) функция Р (р) равна нулю.
Соответствующие решения, называются центрированными волнами, так как в плоскости хг па каждой прямой, проходящей через начало координат, х — = сопзВ, с величины и и р постоянны. В общем случае при и и р постоянных соотношение (18 15) также определяет прямую, однако если Р (р) + О, то и и различных и и р прямые етого семейства не проходят через начало координат. Очевидно, что вдоль каждой такой прямой решение Римана можно склеивать непрерывно с иокосм или с лоступаглелькым боижениен среды.
(Поступательные движения также являются простейшими примерами решения Римана.) Таким образом, эти прямые являлггся характеристиками, н решения 8Ф Гл. 7И1. Гндромеханвка Римана мох<но определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик. Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана.
В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при г ) О с постоянной скоростью иа цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при ~ -- О поршень и газ покоились, а при г ) О движение газа адиабатично или вообще баротропно. В различных приложениях существует очень много задач, при точном или приближенном решении которых необходимо опираться на рассмотренную выше теорию простых волн Римана.
$ 19. Движение шара внутри вязкой несжимаемой жидкости Првблюкевная постановка Стокса — — О (19.1) дс + дз + дс рйи = —, рйп = —, рюш= -9-. (19.2) др др др Эффективная разрешимость задачи о движении тела в идеальной несжимаемой жидкости обеспечивается условием о потенциальности дви1кения. При атом для определения потенциала скоростей получается линейная задача. В аналогичных задачах для вязкой несжимаемой жидкости движение непотенциально, требуется интегрировать нелинейную систему уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности.
В точной постановке задача о движении тела в вязкой жидкости математически очень трудна. При аналитических исследованиях получение соответствующих решений всегда связано с введением дополнительных предполопгений. В частности, многие теории связаны с линеаризацией уравнений движения. Простейшим примером такой линеаризации, пригодной только для очень малых чисел Рейнольдса й = 04с (П— скорость тела, Ы вЂ” характерный линейный размер, т == )г/р— кинематический козффициент вязкости), является приближение Стокса, когда в уравнениях Навье — Стокса пренебрегается нелинейными конвективными членами. В атой приближенной постановке система уравнений установившегося движения в декартовых координатах имеет вид 1 19. Движение шара внутри вязкой жидкости 229 При постоянном коэффициенте вязкости р в рамках системы уравнений (19Л), (19.2), условий прилипания на поверхности тела и условия об исчезании абсолютных скоростей жидкости в бесконечности можно решить ряд конкретных задач.
Рассмотрим задачу об установившемся обтекании неподвижного тела набегающим потоком жидкости с заданной скоростью Г1 при заданном давлении ре в бесконечности. Для тела заданнои геометрической формы все размеры тела определяются через характерный размер Ы, который мо'кот быть различным для геометрически подобных тел. Очевидно, что в постановке Стокса (система уравнений (19.1) и (19.2)) глобальные характеристики потока в целом зависят только от следующих параметров '): Формула для силы, действующей на тево со стороны вязкой ишдкости р о ~ сс р рс где а, () — углы, определяющие ориентацию тела относительно набегающего потока. Очевидно, что постоянная р„— давление в бесконечности — входит в решение для давления аддитивно и является несущественной при определении суммарной силы Л, действующей со стороны жидкости на тело. Из изложенной в гл.
ЧП теории подобия и размерности следует, что для тела любой формы должны иметь место формулы вида А'= св (и, Р) Г~ рс(, (19,9) (19.4) Лр = О. 1) Здесь и дальше считаем, что коэффициент вязкости р не зависит от координат. где А' — проекции силы, а Ув — проекции скорости на декартовы оси координат, сс — отвлеченные коэффициенты компоненты постоянного тензора, зависящие от формы тела. В общем случае векторы силы А и скорости Г не коллинеарны.
Возникают подъемная сила и боковые силы воздействия потока жидкости на тело. Для определения постоянных сс необходимо решить математическую задачу или произвести соответствующие измерения в опытах. Рассмотрим теперь в приближенной поЗавача о Расвдеделевив становке Стокса решение задачи об обдвваеыий при текании шара вязкой несжимаемой жидкостью. Из уравнений (19.2) и (19.1) вытекает, что Гл. Ч111. Гидромехаиика Следовательно, р — гармоническая функция.
Рассмотрим свойства функции р (х, у, г) в предположении, что Р обращается в нуль в бесконечности. При Р = рэ ~= О достаточно к найденному решению с р = О прибавить рэ. Так как задача линейная, то в случае произвольного направления набегающего потока очевидно следующее равенство: Р = ~ Ръ + (1 Рг + (1 Рг (19.5) где рх (х, у, г), р, (х, у, г) и р, (х, у, г) — функции, аналогичные потенциалам ~р,, ~р„~рз, введенным в г 14. Поместим начало декартовой системы координат в центр шара, тогданз осевой симметрии каждой из задач для Р~ (х у г) следует, что Р,=Р,(х, УУ'+ г'), Рг-:Р,(У, Угг ~-х'), р. = Рг(г,у хг+ уг). (19.
6) с другой стороны, соображения, приводящие к формуле (14.18) для потенциалов ~р;, в этом случае также применимы и дают Р,, =-1(х, Кг'-,"- У'-) (19,7) Из равенства Рг(У, Уг-'+ х') =1(х, )/гг+ У') следует, что Р(у, уг'+ х') = д(х, у'г"'+ у'), где Р,=ру н ~=у у'г', у-'. (19.8) Функциональное соотношение (19.8) может удовлетворяться только в том случае, когда Р = д = К (Г х' -'; у'+ г'), (19.9) где у, (г) — некоторая функция радиуса г = ~/хэ + уг + гэ. В самом деле, при у = О, х = $ и г =- т) имеем у(у.,ц) Р(О, У~ +ц) ~(й +Ч). Отсюда, полагая $ = х и т1 = У гг + у', получим (19. 9) .
Таким образом, для Р; (х, у, г) верны формулы следующего вида: 1 где положено 1(= — ф (г). 1 19, Движение шара внутри вязкой жидкости 231 Так как давление удовлетворяет уравнению Лапласа, то легко усмотреть, что единственно возможной функцией ю)ю (г) является функция ф(г) = — р — + Ь, где аг и Ь вЂ” постоянные; знак минус и множитель )з приписаны для упрощения последующих выкладок.
Дальше, не ограничивая общности, примем, что скорость набегающего потока в бесконечности параллельна оси х. В атом случае для давления получим следующую формулу: Р=Рю+ — ах. (19.11) Задача об определении поля скоростей Подставляя выражение для давления (19.11) в уравнения (19.2), получим простые уравнения Пуассона с известной правой частью для компонент скорости и, г, ш. Обозначим через Л радиус обтекаемого шара и положим а аг1ю де — — + —, + и, = — =, и„ 2г Зг' да (19. 12) Первые члены в формулах (19.12) соответствует потенциальному движенизо с потенциалом ср, определенным формулой а а аяюх Ф= — — —,+ 2 г бг' (19.19) Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона л'Р= — „, = — „(Р— Р ).
(19.14) Для определения добавочных членов в формулах (19.12), обозначенных через им т и шы по (19.2) имеем следующие условия: лп,= л,=л =о, т„е. из (х, у, з), в (х, у, з) и кгд (х, у, з) — гармонические функции. В бесконечйости на основании (19.12) имеем следующие условия: из= у, аз= шз — — О. (19.15) а/1 2(гю а ~1 2 ~.гю —,„)ха Вю' — — -) ") де ху+пг — — д +ум ду д~р ха+ ш, = — +шы дю Гн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
