Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Поставленная задача решена для многих контуров, например, для труб круглого, треугольного, прямоугольного, эллиптического поперечных сечений, для труб, поперечное сечение которых ограничено двумя концентрическими и не- концентрическими окружностями, и т. д. По известным компонентам вектора скорости и (О, О, ш) можно легко вычислить компоненты тензора скоростей дефор- маций 1 20. Движение жидкости в цилиндрических трубах 2ЗУ Зная компоненты тензора скоростей деформаций, с помощью закона Навье — Стокса тм = 2реы легко вычислить компоненты тензора сматриваемой задаче будем иметь напряжений. В рас- д~ ди т„=.
т',т = т„= т„= О, т„= р,—, тз, = )з —. (20.14) дв ' - ду Отсюда ясно, что т;; не зависят от г и что компоненты тензора вязких напряжений ты и т,з выаваны градиентом скорости ю. Скорость движения жидкости ю не зависит от з. Кансдый элемент жидкости при установив|немея движении будет двигаться с постоянной скоростью, без ускорения с(п/й = — О, и поэтому сумма всех внешних сил, действующих на любой выделенный объем жидкости, будет равна нулю.
Таким образом, силы вязких напряжений, действующие на границе каждого выделенного элемента жидкости, будут уравновешиваться силами давления, действующими на поверхности этого элемента. Нетрудно убедиться, что рассматриваемое движение жидкости вихревое, несмотря на то, что линии тока являются прямыми; вектор вихря се можно вычислить по формуле $1 /ди ди гв = — го~ и = — ~ — б — — у~, 2 2(,ду дз, Решение задачи дня не- подвюкиой трубы круглого поперечного сечении Пусть поперечное сечение неподвизкной (из 0) трубы представляет собой круг радиуса а. Поместив начало координат в центр круга С, согласно (20.11) будем иметь ю(х, у) = ~р(х, у) — — г', 1р где г = 1/хе+ у'. По условию (20.13) фуннция ~Р (х, у) на контуре С, т.
е. при г = 1/хз+ у' = а, должна приниматьпостоянное значение, равное заз/4)с. Очевидно, что зв' 4р будет представлять собой решение поставленной выше задачи Дирихле, тан как постоянная величина заз/4(з, как легко ви- деть, удовлетворяет и уравнению Далласа, и граничному усло- вию на окружности С, 240 Гл. У1П.
Гндромеханнка Определив таким образом функцию лр, для распределения скорости ил по поперечному сечению круглой цилиндрической трубы получим формулу ил =- — (а — г'). 2 40 (20,15) Профиль скоростей (20.15) в поперечном сечении круглой трубы представляет собой параболоид вращения. Максимальная скорость достигается на оси трубы прн г = О, причем лил %пах =' 40 ' (20.16) Подсчитаем объемный расход жидкости (х, т.
е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Имеем з Я (~ = ~ ю2ягс)г = — '" 'л (ах — гл)гдг =- — '. (20.17) 2р,> Зр о Заметим, что расход (х сильно зависит от радиуса трубы а, он пропорционален радиусу а в четвертой стеллени. Средняя скорость течения жидкости в круглой трубе будет равна 1 ах ~' ~пах яа- Зп 2 (20.18) где а — характерный линейный размер поперечного сечения.
Плотность р в систему оллределялолцих параметров включать не требуется, так как в рассллатриваемом течении ускорение жидкости равно нулю и, следовательно, ее инерционные свойства несущественны. Из определяющих параметров (20.19) нельзя составить безразмерной комбинации, поэтому на основании теории размерности для трубы произвольного поперечного сечения получаются следующие формулы: лах лзл лзх ющах=7гл — () = йх —, и~ср= йз —, (20.20) Р ' р Р Общве свойства реплення Рассмотрим теперь аналогичную задачу задачи в случае трубы об установившеллся движении несжипронзвольного поперечного сечения маемой вязкой жидкости в трубе с произвольным фиксированным поперечным сечением. В атом случае определяющими параметрами течения несжимаемой вязкой жидкости в целом в неподвижной цилиндрической трубе, очевидно, будут а, )л, л, (20.1Я 1 20. Движение жидкости в цилиндрических трубах зат где )сы кс, йв — постоянные безразмерные коэффициенты, и дас/)д и ~а4/)д имеют соответственно размерностискорости и объемного расхода.
Таким образом, максимальная скорость, расход и средняя скорость зависят от д, а и )д в случае трубы произвольного поперечного сечения, так же как и в случае круглой трубы. Для трубы круглого поперечного сечения, как видно из приведенного выше решения, имеем 1 д 4 и 7Сс =— с Для определения постоянных кд, й„йэ в других случаях необходимы либо теоретические расчеты, либо данные опытов. Вычислим силу Л, действующую со стороны жидкости на участок длины д трубы круглого поперечного сечения. С одной стороны, из уравнения количества движения для ксидкого цилиндра радиуса а и длины д будем иметь Сила, действующая на участок трубы круглого поперечного сечения (20.21) Л = (р — р.)яа', где р, и р, — давления в сечениях трубы, отстоящих друг от друга на расстоянии ( (см.
рис. 86). С другой стороны, каса- тельное напряжение, действующее со стороны дкидкости на стенку, можно вычислить по закону Навье — Стокса дю т = — )д— Эг откуда по (20.15) при г = а будем иметь ра т= — = то 2 (20,22) т. е. касательное напряжение на стенках трубы постоянно, и сила сопротивления Л будет равна (20.23) Л = 2яа(тс. я сд= х Ркср — Я 2 Если за 8 принять площадь участка боковой поверхности трубы, на которую рассчитывается сопротивление, то в случае Коэффициент трения Коэффициентом трения сд называется отношение силы Л к скоростному напору рюсс/2 и к некоторой характерной площади Ь' 242 Гл. Ч111.
Гкдромехавкка круглой трубы для с1 по (20.2$) и (20.23) получим 2тс 1а с1 = — =— 3 2 р~св расс илн, с помощью (20.18), придем к формуле 81ь с7 =- расс, Й (20.24) где К = (с(юср)/(р7р) — число Рейнольдса, а с1 = 2а — диальетр трубы. Рассмотренное течение жидкости было впервые изучено Пуазейлем и Рагеяом в середине прошлого столетия. На практике оно в основном осуществляется только в случае течений при малых числах Рейнольдса и особенно важно для исследования течений в трубах малого диаметра — капиллярах.
5 2$. Турбулентные движения жидкости Опыт Рейкольдса алс им сай ,ссасеам- лаааи Рюа.и Рвс. 87. Опыт Рейкольдса. или опускания уровня жидкости в баке, или за счет удлинения основной трубы (при этом изменяется градиент давлений 1). Определяя расход вытекающей из трубы жидкости и зная радиус трубы, можно, очевидно, вычислить среднюю скорость шар течения жидкости по трубе.
Наблюдая за течением жидкости в трубе, мы увидим, что при малых скоростях течения ш р под- Рассмотрим следующий классический опыт. Из большого бака (рис. 87) через длинную стеклянную трубу круглого поперечного сечения под действием перепада давлений рь — раап ~ 0 вытекает некоторая жидкость. Из воронки А в текущую жидкость попадает тонкая струйка той ске, но подкрашенной жидкости. Расход вытекающей жидкости можно изменять за счет поднятия 3 2С Турбулвнткыо движения жидкости 243 Критическое число Рейнольдса.
Ланннарные н турбулентные течении крашенная жидкость тонкой струйкой протянется по всей трубе, течение жидкости в трубе будет спокойным, слоистым и будет хорошо соответствовать рассмотренному выше решению Пуазейля. Увеличивая скорость всю мы заметим, что, начиная, с некоторого значения скорости, струйка подкрашенной жидкости начнет размываться, жидкость во всей трубе окрасится, т. е. у частицпоявятся состанлнющие скорости и и г, перпендикулярные к оси трубы; возникнет движение жидкости с перемешиванием в поперечном направлении.
Подсоединив к баку трубу большего диаметра, чем первая, и проведя тот же опыт (значение соответствующего перепада давлений сохраннется), мы установим, что при малых скоростях в трубе опять будет слоистое течение, которое потом также нарушится, и начнется перемешивание окрашенной и неокрашенной жидкости. Однако, во втором случае перемешивание жидкости наступит при меньшей, чем в первом случае, скорости юсю Повторив опыт с первой трубой на другой жидкости, имеющей больший, чем первая, кннематический коэффициент вязкости т =- фр, заметим, что перемешивание жидкости в трубе наступит при болыпей, чем в первом случае, средней скорости течения жидкости ю,р в трубе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
