Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Величина дА«("»Ь представляет собой некоторый поток энергии в особых точках (совпадающих с краями трещин), возникающий за счет перемещения краев, в которых имеет место концентрация напряжений. Этот поток равен нулю для щелей с фиксированной поверхностью разреза н отличается от нуля для развивающихся трещин (трещнну можно рассматривать как щель с перемеяной площадью разрыва), Применение теории упругости для описания раз вития трещин связано с появлением в уравнении энергии (3,7) для любых объемов тела, содержащих кран трещин, потоков энергии, обозначенных через «»А)в. Ниже будут даны ее) формулы, по которым можно вычислять ««А«~вч если решение ) ) упругой задачи известно.
Модель упругого тела для малых деформаций по Гуку и развиваемые ниже математические приближенные постановки задач неприемлемы для описания действительных явлений непосредственно вблизи концов трещин в хрупких телах. Тем не менее для упругих задач для тела в целом достаточно только установить правильно величину концентри)е) рованного оттока энергии ААзв, который в рамках более детальных моделей и в более точной математической трактовке менглет быть обусловлен различными физическими механизмами. 5 3. Теория трещвп 533 В случае «трещин» в упруго-пластических телах в конечной окрестности краев разрыва могут проявляться свойства пластичности и возникать пластические деформации. Пластические области в аависимости от характера внешних нагруаок могут иметь раалнчный вид.
Опыт показывает, что в некоторых частных примерах эти пластические области представляют собой тонкие слои различной конечной длины «(, которые можно рассматривать как продолжения просветов, образующихся при разрыве перемещений внутри тела. Тонкие слои пластического деформированияу краев трещин с точки врения упругих решений можно рассматривать как дополнительны«разрывы упругих перемещений на участках д, причем поверхностные напряжения на этих участках определяются или задаются приближенно из рассмотрения пластических состояний в слое. Ниже излагается теория трещин в хрупких телах, в которой о принимается равной нулю. В том случае, когда конечность размера д, аависящего от свойств пластичности, формы тела, положения раарыва в теле и вида внешних нагрузок, существенна, эту теорию и соответству»ощне критерии необходимо видоизменить, Однако теория с д = О в ряде вап«ных вопросов ') хорошо отвечает опытами в тех случаях, когда вблизи концов разрыва имеются некоторые малые области (дД = О, 1 — длина разрыва), в которых проявляются пластические свойства материала.
Далее, в соответствии с определением кваОсновное уравнение зихрупкого разрушения тел, предположим, теоР"и твепцш что в основном объеме тела величины ЫЕ, дбю оАОо и «ф<'>, соответствующие решению упругой аадачи, дают хорошее приближение к действительности, поэтому можно принять, что зти величины в уравнениях для тела в усложненной модели (3.6) и в уравнениях для упругого тела (3.7) имеют одинаковые значения. Тогда нз (3.6) и (3.7) следует основное соотношение теории трещин, которое является дополнительным к уравнениям теории упругости: ди» = гАМ -1ъ де-. Воаможность развития трещины связана с выполнимостью соотношения (3.8).
Это уравнение' при гйЭ** = О вместе с до- ~) Эта теорпя позволяет з телах разлнчпой формы рассчитать по за данным внешним нагрузкам поля деформаций и напряжений, когда з теле содержатся исходные разрывы, которые могут распространяться з виде трещпп. Этп расчеты позволяют указать для выбранной системы нагрузок пх критическую величину, определяющую начало роста трещин. Кроме этого, можно провзводпть расчет процесса расширения трещпп по задавяып внешним условиям и, з частпостя, решать вопросы об устойчивости критических состояний. Иллюстрации некоторых првложеппй даны в ппжеслейующнх првмерах. 540 Гл. ХВ Плоские аадачи и теория трещин пущенном (3.5) было принято в 1922 г. Гриффнтсом ва основу при построении теории равновесных трещин. Если при мысленном увеличении поверхности разрыва на 6Х получается, что Юе'." — 6А» +6()-, то трещина в действительности развиваться не может (евнешннх» притоков энергии не хватает для создания дополнительной поверхностной энергии бс(с).
В этом случае получается задача теории упругости для тела со щелью, граница которой состоит из одних и тех же индивидуальных точек. В любом возможном процессе деформирования при атом 6П» —— 6А»п~ = Щ'" = О. Соотношения статической теории трещин Отсюда и из (3.8) в этом случае можно также написать равенстпа ') 6У» = — бас = 6А1я. ') Здесь предполагается, что внешних массовых сил нет.
') В теории, развитой Гриффитсом,;на основаиви решения конкретных статических аадач для данного тела с различной шириной щели при отсутствии внешнего притока энергии вычислялось изменение внутренней упругой энергии по Гуку для тела в целом (ЫУ,(~П)оХ. С помощью данных о величине т, определенной равенством оУ» = т (оа + ол ), иэ уравнения (оУ»/НВ) = — т определялись критические нагрузки и деформированное состояние, при котором щель могла распространиться и превратиться таким образом в трепшну. Подчеркнем, что равенство Гриффитса ббгг = бА»'и) верно также для »трещин» в унруго-пластвческих телах с конечными пла- Щель может превращаться в развивающуюся трещину, как только достнтается равенство (3.8).
Предыдущая общая постановка вопроса о развитии трещины и все высказанные выше соображения относятся к самому общему случаю динамической задачи с налнчкем вообще произвольного внешнего притока тепла и притоков энергии г(Чее. Обычно рассматриваются только статические адиабатические процессы при пС)эе =. О. Заметим, что нз энергетического уравнения (3,6), примененного к возможному процессу распространения трещины, в статнчеких условиях (при 6Ь' = О) для равновесной трещины при специальных вариациях, для которых ') 6А('> = бфс = О, 6()ее = О, вытекает соотношение 6~»+ бо'е О нлн $3. Теория трещин 541 Следовательно, для вариаций укаванного вида для статически равновесных трещин, если бс) е) Р или, что то же самое, 6Азв ч О, имеем 6О)~ О. Легко понять, что, независимо от конкретной физической природы обобщенных сил сцепления, их работа 6Азв при 6Е ) О всегда отрицательна, так как в обычных условиях всегда имеется противодействие разъединению тела на части.
Ото)ода следует, что при возможном развитии трещины в условиях, когда 6АЭ) = 6),)о) = бузе = О, прн любых фнвически допустимых силах сцепления всегда верно неравенство 6У,+ О. Однако если щель фиксирована н если среди возможных перемещений рассматриваются только такие, при которых 6Х=-О, то 66),= О, Для рееиення задач о распространения в теле разрывов необходимы формулы для вычисления потоков внергня ееАсс ее) стнчесннмн областямн; в атом случае в величину ЬА включается зле[е) ментарная работа внутренннх снл напряжений на границах между пластической н упругой областями.
когда 6АО) = бе)~е) = бе',)ее = О. В этом случае мы )спеем рассмотренное и установленяое ранее условие экстремума внутренней упругой энергии (упругого потенциала) (см. $ 9, гл„1Х). Уравнение (3.8) может быть использовано для решения конкретных задач, если имеются сведения о ЙАд~, И7е (нли уы если используется допущение (3,5)) н пе)ее. Дальше будем считать, что с)с) = у(сеХ, + ПХз), причем у определена нз опыта с учетом взаимодействия данного тела с внешней средой, и поэтому положим, что с)е)ез = О. Обратимся теперь к установлению формулы, выражающей отток энергии ЫАзх через характеристики состояний на краях о) распространяющихся разрывов.
Устанавливаемая ниже формула дает величину дАсв не только в случае расширения тре)е) шины, но и в случае раоширення разрывов типа поверхностных дислокаций. Поэтому остановимся предварительно на разьясненни понятия о дислокациях, распределенных непрерывно вдоль некоторой изолированной поверхности Х.
Гл. Х1. Плоские задачи и теория трещин 542 Дислокации, распределен иые непрерывно вдоль некоторой поверхности Поверхность Х в теле представляет собой изолированную поверхность непрерывно распределенных дислокаций, если в окрестности поверхности У, с обеих ее сторон для точек тела существует непрерывный вектор перемещений тс из некоторого начального положения, причем касательная составляющая вектора ьв на поверхности Х терпит разрыв'). Если на Х терпит разрыв только (или и) нормальная составляеощаявектора перемещений ~и, то поверхность разрыва Х Рлс. (88. Схемы изолированной трещины и изолированной поверхностной дислокации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
