Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 102
Текст из файла (страница 102)
А — трещпна. перемещения на краях поверхности разрыва ь различны щ, ~ ьез и ыа1+ ьаг В— поверхностная дислокация и~ы= юж, щ„т +ю,з. можно рассматривать как образовавшуюся однажды щель, если Е фиксировано, или как трещину, если поверхность Х расширяется (рис. 183). Таким образом, как в случае трещин, так и в случае дислокаций в теле имеют место разрывы перемещений, однако в случае появления дислокаций внутри тела возникаеот соответствующие дефекты, яо сохраняется его целостность.
Поверхностная дислокация напоминает вихревую поверхность в потенциальном потоке жидкости или поверхностные токи в потенциальном злектромагнитном поле. Если вектор разрь1ва перемещений вдоль поверхности дислокаций как функция координат на поверхности Х подчиняется закону перемещений твердого тела, то очевидно, что, несмотря на наличие разрыва Ливеиные дислокации ') Здесь и далее подразумевается, что перемещения малы. Коли процесс дсформярования непрерывен, а перемещения то конечны, то на л имеем условие (озо )„= (оеоз)„, где (Изо1)„и (осот)„— нормальные составляющие приращений векторов перемещейия на равных сторонах поверхности Х.
1 3. Теория трещин 543 перемещений на поверхности Х, компоненты тензора деформаций могут быть непрерывными при переходе через Х. В атом случае возникают особенности в распределении компонент тензора деформаций только на контуре л,', ограничивающем поверхность Х. Аяалогичио, в гидродинамике вместо системы вихрей, заполняющих поверхность при переменном скачке потенциала ч» — ~р„появляется иаолированная вихревая линия Я, когда скачок потенциала постоянен на Х, или в злектродинамике вместо системы поверхностных токов появляется линейный ток вдоль линии Я.
Таким образом, можно вводить и рассматривать изолированные линии ь' как характеристики соответствующих дефектов— дислокаций '). Можно различать типы линейных дислокаций в зависимости от вида скачка перемещений на поверхности Х, ограниченной линией Я. Поверхность дислокаций Х является поверхностью касательного разрыва перена поверхности дислокаций мощений, В статических условиях и во многих случаях в динамических условиях на поверхности касательного разрыва Х должно выполняться равенство 3»», = — У»« или т», = 3»„, или (р ), = (р» )» н (р ),= (р )„(3.9) где т»» — вектор напряжения на площадке поверхности Х; индексы 1 н 2 соответствуют разным сторонам Х; м, и и« вЂ” противоположно направленные нормали на поверхности Х; тс и т— одинаковые направления нормали и касательного вектора на разных сторонах Х. В общем случае компоненты векторов напряжений на других площадках, например нормальных к Х, при переходе через Х терпят разрыв.
На поверхности трещин, вообще говоря, имеет место неравенство »»1 ~ »»' ») Кроме линейных дислокаций к дислокаций, распределенных по поверхности, можно вводить и строить теорию дислокаций, распределенных непрерывно по объему; при етом вводится «начальное состояние», но исключается возможность введения перемещений из соответствующего «начального состояния».
Содержание существующих теории дислокаций, непрерывно распределенных по объему, емходит аа рамки предлагаемой книги. 544 Гл. ХП Плоскпе задачи н теория трещин Ф ормула дая притока Вывод формулы для олзв дадим в рамках И анеРгнн ЫАЭ„'э~ пРн обРа- геометРически лннеаРизиРованной позованнм разрывов становки задачи. Далев предположим, (раззнвающвхся трещин что тело упруго, но не обязательно следун Пнелокацнй) ет закону Гука. Модель тела может описываться нелинейными связями между напрязкеннями и деформациями.
Будем учитывать возмозкные динамические эффекты, связанные с ускоренным движе— пнем частиц среды. Учтем возмож- иое наличие притоков тепла. Е Рассмотрим два деформирозан'~~ т ! ных состояния, соответствующих ,1 моментам времени 1и 1+ Л1, дан- ного тела, содержащего трещину ("зг . и (нли) поверхностную дислокацию (рис. 189). Случай присутствия Ркс. ГЭЭ. Схемы раззптпя тре- нескольких треЩин или Дислокащпэы Л п поэерхностпой двс- ций легко учесть дополнительным локацнн В. Сплошные ланки суммированием, В соответствии соответствуют грапкцам тела с линеаризацией задачи гранича момент д пунктирные — з момент з -~ Ла Поверхность ные УсловИЯ Можно фоРМУлиРол — грашща обьема тела у з вать на поверхности Е + Лл момент а за время Лз часть (рис.
189). двусторонней позерхностя раз- Обозначим через тс(ш;) вектор рыза получает указанное прн- перемещения иэ некоторого наращенве ЛХ. чального состояния в состонние в момент д а через то'(и,) вектор перемещения из того же начального состояния в состояние, соответствующее мозгенту г+ Лд В местах вновь обрааующихся границ ЛХ векторы перемещения то непрерывны, а векторы перемещения тс' терпят разрыв. Введем вектор перемещения частиц среды за время Лг Лтп = то" — м с компонентами Лш; = ш,: -- ш;.
Для удельной внутренней энергии У по определению модели имеем й =У(эы, з) и Гг"=Б'(з";я э"), где 1 зы 2 (Р1~з ~ т'Ю н эю 2 (р~шз+ ~зш1) а г и э" — соответствующие удельные энтропии. Согласно занонам теории упругости компоненты тензора напряжений внутри объема К тела в первом и втором состояниях определяются соответственно формулами абГ,я, аГ Ри=рд Р =Р а зз аз,',.
' где Р и р — соответствующие плотности. В рамках линеари- 1 3. Теория трещин 545 зированной теории в этих формулах можно принять, что р = р'. На основании уравнений движения среды для моментов г и 8+ Лг в точках объема т' можно написать равенства Р1 (Р'ч + Ри) + .7" + К' = О, (3.1О) где,'1 т = Р' — ра', а' — компоненты вектора ускорения, йч — компоненты внешних объемных сил. Умножая уравнения (3.10) на 1 1 — Аю = — (ю — ю), 2 ' 2 суммируя и интегрируя сумму по всему объему тела, с учетом линеаризированной постановки задачи после очевидных преобразований получим (Р +Р")(Ю вЂ” Ю)нзбс+ 2 ~(Ь +д )(Ю' Ю')от=— 2 г~-ля р 1 ° ~ди ди 2 ) ~~ + д — ) т1йю~~ р "(т, (о,11) н где пг — компоненты нормали к Х + ЛХ, внешней по отношению к объему, занятому телом.
Если внутренняя энергия представляет собой квадратнчнучо форму только от компонент тензора деформаций, то в рамках линеаризированной теории можно написать (.' '~ д5" ди 4 ., гдгр' дП д' +де.~ )( т ') (д', 1 ' де.; 1') Поэтому правая часть равенства (3.11) приобретает вид ~ рГ т2т — ~ р(7 бт =. Н~ы Рассмотрим теперь смысл правой части в равенстве (3.11) при Лг — ~- О в более общем случае, когда плотность внутренней энергии (т представляет собой некоторую функцито от энтропии з и компонент еы.
В дальнейших вычислениях учтем, что прн Л1 — т О величина площадки возникающего разрыва ЛХ имеет порядок М, во внутренних фиксированных точках объема г' разности и — ю, и величины 71(ют — ют) пРедставлЯют собой малые порядка М, однако в точках поверхности разрыва Л2; разности ю,' — ю; имеют порядок самих перемещений ю; или ю,.'- Примем, что разности энтропий г' — е в точках объема У и на границе ЛХ имеют те же свойства, что и разности ю,' — ю;. С точностью 546 Гп. Х1. Плоские задачи и теория трещин до малых второго порядка включительно можно написать дУ (еод е ) () (еп' «) д Лам+ е) 1 Г дел дзп 2 едУ 1 д'-У + 2 (де деп "о+деде. ° ) И+(,оп+ 2 Зпе ) Рп и 11 н, кроме этого, имеем до'(ец, и') до(еер е) ду д~у д~у л П 0 Рп и Отсюда следует, что ЛП 2 ~(2 ~ + Л (~ )) Ле;1~ + Т"Лз, (3.12) где дУ, 1 дзГе Т' = —, + — — и Лз дп 2 дп — уточненное значение в момент 1+ Л1 для температуры. Очевидно, что выражения в квадратных скобках в (3.12) и в интеграле справа в (3,11) совпадают.
Соотношение (3 12) представляет собой не что иное, как уточненный вариант записи с учетом малых второго порядка дифференциального соотношения ЫГ= — Ы~,"+ — Не= р — Нзп+е(дм), е(д1') = ТеЬ. (3.13) Во внутренних точках объема Р равенство (3.12) переходит и равенство (3 13) при отбрасывании членов порядка (Л1)з. При приближении к поверхности образующегося разрыва ЛХ н на поверхности ЛХ порядки членов дУ/дзы и Л (дУ/дзы) становятся одинаковыми.
В свяаи с этим при вычислении интеграла (3 11) воспользуемся равенством (3.12). Для упругого тела по определению имеем б и = ~ "' Р еет. г Положим, что ') Т'Лз р е(т = ') Ицк) р А' = Иф'), й где Ифп) полный внешний приток тепла. С учетом этих опреде- лений на основании (3 12) найдем формулу — — + — ) 'з1 (юе — юп)~ р Ит = ~Ш, — д~) ' . 1 3. Теория трещин Пользуясь этим, получим, что уравнение (3,11) приводится к виду гхЕ + сК" г — — г) А~ ) + Иф ) —, 2 ~ Р„то' сЬ + ьв + — ~ Р'" (то' — то) ого. (3.14) Здесь еще учтено, что ввиду непрерывности вектора перемеще- ний тс и компонент ря на ЛХ верно равенство ~ (Р" тгг)г(э= О.
Кроме этого, в (3.14) использованы очевидные обозначения: Е 4мас = ~Е г1кгг г1т~ йŠ— ~ ро' дшг дт~ у У где Š— полная кинетическая энергия тела в объеме Р; через сгАьо в (3.14) обозначена сумма работ внешних массовых снл и внешних поверхностных сил на полной до появлении разрыва на участке с(Х границе ') тела Х: огАгм =.— )Р" сЬодг+ ИА~;~с. Сравнение соотношений (3.14) с (3.7) приводит к искомой формуле: ЫАаэ = — Р 'с)з+ ~ Р' ° ( ' — то) д . (3.15) 2,) В частности, для трещины, если ее берега свободны от напряжений, т. е.
когда Р'" =. О на г(Х, формула (ЗЛ5) дает г"Ааэ = 2 ') Р" тогда-)- 2 3 Р" ° тоагЬ, ьтг+то~, (3.16) ив, ыэ где ггЕг и ггХа — разные стороны дополнительного разрыва ггпу, Напомним, что нормали направлены на дХг и сгХа в противоположные стороны, внутрь трещины, во внешнюю по отношению к объему Ф' сторону. В случае поверхностной дислокации на ИХ имеем гаг г ъг Р"' = — Р"", Р = — Р, тот = аоа г) Здесь принято, что даа борта поаерхиости дислокаций аключевы э границу тела 2. Гл. Х1. Плоские задачи и теория трезв(и ео' — еи' = ти' — еи' + О, з е) ~з поэтому формула (3.15) дает «1Аль = 2 ) (Р" Р )'ео ((с= ) (Р,",+ Р-.з) (и) 'ии з)о) . 2,) лв ев, (3.17) Здесь индексом т отмечены касательные к дХ составляющие соответствующих векторов. В рамках упругой модели тела с внутренней энергией е)( приток энергии ((Ал("в необходимо рассматривать как внешний приток энергии, В полной более сложной моделитела сучетом видоизмененной и усложненной внутренней энергии (например, У, + Уе) приток энергии НАда должен черпаться за счет изме(е) н е ния внутренней энергии.
Например, в те ор ии трещин в хрупком теле аа счет величины НУ„ = у(((Х , †, '(12 з) . В теории дислокаций — за счет зависимости внутренней энергии от хар а ктер ист ик дефектов -дислокаций, причем в теории диол о к ацнй часть работы поверхностных сил н а разрыве Е , отличную от нуля и включенную в ((А(4), тоже необходимо рассматривать и включать в изменение внутренней энергии, так как этот поток происходит за счет работы не внешних, а внутренних сил, обусловленных работой сил внутренних напряжений на разрыве касательных перемещений, когда на поверхности разрыва 2 и)' — и) + О, причем ()зо, + ()еиз. Появляющиеся в рамках модели теории упругости в уравнениях энергии для частей тела, содержащих края развивающихся разрывов, внешние концентрированные притоки энергии ЙЛев по своему смыслу и природе аналогичны внешним кон(е) цонтрированным силам, действующим в жидкости на присоединенные вихревые нити, движущиеся по кинематнчески заданным законам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
