Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(6.4) $6 гл. Ч11) легко получим, что вдоль линии тока пересекающей поверхность .разрыва, величина -1+, 1р остается непрерывной, поэтому постоянная 1в с обеих сторон скачка одинакова, тогда как энтропия, функция давления У (в, р) и скорость частицы терпят разрыв. Таким образом, наличие в потоке совершенного газа скачков уплотнения не меняет аначение постоянной 1* интеграла Бернулли вдоль линии тока, но меняет энтропию на линиях тока, пересекающих скачок. з 2.
Интеграл Бернулли В этом случае при различных значениях энтропии на разных линиях тока в потоке газа нет баротропии. ~Й' Наидем полную производную — в любом направлении для сч величины Р, определенной формулой (2.5) для линий тока при отсутствии баротропии. Определим функцию У (р, 2,') как функцию давления на некотором семействе линий. Из формулы (2.5) при дифференцировании в любом направлении 2 следует равенство д~ ) опм' ~ дЯ В случае адиабатических движений определим У (р, л) на семействе линий тока, тогда можно написать (2.8) где з — энтропия, которая может принимать различные значения на разных линиях тока. Этот член равен нулю при дифференцировании вдоль линии тока, но, вообще говоря, отличен от нуля при дифференцировании в направлениях, не касательных к линиям тока.
Если рл = сопз1 в рассматриваемой области потока, то в этом случае из (2.7) и (2.8) следует д, — — 2(ю х п)~+О, (2. 9) т. е. при дз/д( + О поток обязательно вихревой. Таким образом, если однородный поступательный поток пересекает искривленную ударную волну, то скачки энтропии на различных линиях тока получаются разными, поэтому вообще дл!д) + О и, следовательно, за искривленной ударной волной обязательно образуется вихревое поле скоростей. Если движение непрерывно и на всех линиях тока величина Р и энтропия одинаковы, то с учетом (2.8) из равенства (2.7), примененного к любым направлениям У, найдем, что ю х к=О.
(2ЛО) Отсюда вытекает, что в этом случае либо движение потенциально, либо линии тока совпадают с линиями вихря. Если движение плоскопараллельно, то из (2ЛО) следует, что движение потенциально. Гл. ЧН!. Гидромеханика е 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой тяжелой жидкости Рассмотрим некоторые приложения интеграла Бернулли. Пусть мы имеем однородную несжимаемую жидкость, движущуюся в поле снл тяжести. Направив ось г вертикально вверх, получим Ж = — дг, н интеграл Бернулли примет вид Р— + — -' — рг=1 2 р Выбрав на линии тока точку с координатой гп можно определить постоянную ре интеграла Бернулли по значениям параметров р, и кг в этой точке: аг г — —,'- — + дг = —.
+ — + ягы 2 ' р 2 р (3.2) Определим скорость истечения несжимаемой жидкости из сосуда (рис. 14). При истечении жидкости нз сосуда уровень жидкости понижается и движение является неустановившимся, по если предположить, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то движение в течение не очень Скорость истечении несжимаемой жидкости иа сосуда рис. 14. Истечение жидкости иа сосуда. большого промежутка времени можно приближенно считать установившимся.
Возьмем некоторую линию тока и напишем для точек вдоль нее интеграл Бернулли. Все линии тока начинаются, очевидно, на свободной поверхности нсндкостн в сосуде, где р = р и н, = О. На свободной поверхности вытекающей струи р = р„и. Будем приближенно считать, что на выходе нз сосуда давление внутри струи всюду равно ра,и, а скорость равна и.
$ 3. Интеграл Бернулли длн несжимаемой жидкости 27 Тогда Ратм Ра — + +а~= — + б~ы 2 р р откуда (см. рис. 14) ~~Р' Ратм ) (й 2) Р Коли давление на свободной поверхности жидкости в сосуде равняется атмосферному, то о = 3/2дй. (3,4) Как известно, такую я е скорость получает материальная точка, падающая с высоты Ь свободно или при наличии идеальных связей, когда силы реакции связей не соворшают работы.
Формула (3.4) носит название формулы Торичслли. Определим теперь скорость на свободВодослив ной поверхности жидкости, перетекающей через вертикальную стенку (рис. 15). Предположим, что объем водоема очень валик, и можно считать, что уровень жидкости далоко от водослива практически рис. а5. Водослив. не меняется и равен гп Движение можно считать установившимся. Свободная поверхность жидкости является поверхностью тока, на которой давление равно атмосферному р„,„, а скорость в точках водоема, далеких от стенки водослива, равна нулю. Из интеграла Бернулли следует, что Рати, Рати Ю вЂ” т Дз1 = — +б~+ Р Р где и — скорость в произвольной точке А на свободной поверхности жидкости с координатой г. Следовательно, Р = )г2~й, где Ь = з, — з. 26 Гл. У1П.
Гидромехаиика Трубка Пито — Праидтли Скорость течения нтидкости измеряют обычно с помощью трубки Пито— Прандтля, схема которой изображена на рис. Фб. Трубка Пито — Прандтля представляет собой тонкое вытянутое цилиндрическое тело со скругленной передней частью.
При такой форме трубка слабо искажает распределение скоростей в потоке. Для намерения скорости трубку Пито — Прандтля помещают в жидкость и располагают ее вдоль потока. На тело трубки Пито — Прандтля имеются отверстия, через которые по каналам, расположенным внутри тела трубки, жидкость моиеет поступать в два колена манометра. Одно из отверстий расположено в передней точке трубки Пито — Прандтля (точка 1).
Другое — на ее цилиндрической части, на достаточном удалении от первого, (точка 2) так, чтооы искажение поля Рис. 16. Схема трубки Пито — Праидтля. скоростей аа счет обтекания скругленного конца трубки Пито— Прандтля можно было не учитывать при рассмотрении течения вблизи второго отверстия.
При обтекании трубки потоком жидкости передняя точка 1 будет критической точкой, в ней скорость и будет равна нулю, а давление р = р, = р*. Давление в критической точке иногда называют полным давлением или давлением торможения. В точке 2 скорость и давление приближенно равны скорости и давлению в набегающем потоке при отсутствии вием трубки, иа = гире = р. Применив интеграл Бернулли к точкам 1 и 2, лежащим, очевидно, на одной линии тока, будем иметь — + 2зт = — + — + дз„ Рт "и Ре 2 где зт и з — вертикальные координаты точек 1 и 2.
Прене- $ 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости 29 брегая членом д (г, — г,) ввиду малой толщины трубки, получим / 2(Ш вЂ” ра) Р Разность давлений р, — р, равна, очевидно, удельному весу жидкости, используемой в манометре у = — р,д, умноженному на разность Л/г высот уровней жидкости в вертикальных коленах манометра, поэтому, если р = р, то и = )/2дЛЬ.
В рассмотренных выше примерах (истечение жидкости из сосуда, водослив, трубка Пито — Прандтля) интеграл Бернулли использовался для определения скоростей по имеющимся сведениям о давлениях. Рассмотрим теперь вопрос о зависимости гидро давления от скорости вдоль линии тока. статическое давления Для этого возьмем на данной линии тока две точки с вертикальными координатами г и г,; давление и скорость в этих точках обозначим соответственно через р р„и г, н,.
Из интеграла Бернулли получим Ра Раа р = р, + рд (г, — г) +— (3.5) Видно, что давления в двух точках на линии тока, как и в гидростатике, отличаются друг от друга на величину рд (гг — г), вызванную разностью уровней, и, кроме того, на величину (рн',/2) — (рга/2), связанную с разностью скоростей в этих точках. Назовем член р, + рд (гг — г) = ртат гидростатическим давлением, а член (рнт~/2) — (рэа/2), зависящий от скорости и, динамическим давлением. Если поместить тело в поток жидкости или газа, то на тело будут действовать силы, связанные, во-первых, с неравномерностью распределения гидростатического давления (сила Архимеда)и, во-вторых, с неравномерностью распределения динамического давления по поверхности тела.
Во многих случаях, например при полете самолетов, динамическая подъемная сила оказывается во много раз больше гидростатической. Сравним порядки величин разностей гндростатического и динамического давлений в различных точках тела при установившемся обтекании его поступательным потоком жидкости или газа с постоянной не слишком болыпой скоростью на бесконечности, равной и Рассмотрим обтекание несимметричного профиля крыла горизонтальным потоком воздуха со скоростью и = 100 м/сек = = 360 им/час (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
