Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В фиксированной системе координат постоянная в для жидкости в сосуде определяется через объем жидкости, налитой в сосуд. Если в жидкость поместить взвешенные частицы разной плотности, то в результате вращения более легкие частицы, имеющие плотность, меньшую плотности жидкости, под действием силы Архивтеда, обусловленной силой тяжести и центробеясной силой, поднимутся вверх и соберутся вблиаи оси вращения, а более плотные, чем жидкость,— опустятся вниз и расположатся у стенок сосуда. В случае равновесия тяжелой жидкости в цистерне, двигающейся поступательно с постоянным ускорением и (рис. 11), Гл.
У>!!. Гидроыехакика б 2. Общая теория установившихся движений идеальных жидкости и газа. Интеграл Бернулли Перейдем к изучению движения идеальных сред. Установим важное конечное соотношение — первый и>ьтеграл уравнений движения идеальной жидкости или газа в случае установившихся движений. Для этого возьмем уравнения движения Эйлера в форме Громеки — Лемба де ьь — ->- ага>) — + 2еь х т> =- — — бгаь! р+ ле. (2 !) дь ' 2 р Так как движение установившееся, то —, = О.
де д> Кроме этого примем, что внешние массовме силы обладают поп>енциалоль .р' = йтаь) =ьь'. Рассмотрим в потоке жидкости некоторую Фуякцяя даваеявя произвольную линию М н введем вдоль нее направление отсчета длины (, начиная от некоторой точки О. Заданием ! будут фиксироваться точки на линии Х Через ььь обозначим элемент касательной к линии Х в проиавольной точке М (рис. 12).
Проектируя уравнение (2.!) на направление касательной к Ж в проиавольной точке ЛХ с учетом сделанных предположений, получим д >ьь) $ др дй — — + — — — — = — 2 (ю х ть)ь. д>~2>' р д! д! (2.2) Вдоль данной линии М плотность и давление являются функциями длины дуги !. Эти функции различны для разных линий Я, т. е. р= р((,2) и р=р((,У). Очевидно, что вдоль данной линии Ж плотность р можно считать функцией давления: р=р(р х) и можно всегда ввести функцию давления У » У = У(Р, М) = ~, Рь — — сопзь (2.2') р(р, Ы) ю 21 1 2.
Интеграл Бернулли так, что 1 эр зло. р Э1 = З1 ' причем это равенство и определенная ио (2 2*) функпия У (Р1 ~) имеют место только для данной линии Х Очевидно, что функция давления определена только с точностью до аддитивной постоянной, которая связана с выбором Р и может зависеть от л',. Заметим, что в случае баротропных процессов, если известна зависимость р = р (р), так введенная функция давления У легко вычисляется и не аавнсит от линии Ы, если р, ие зависит от М. Например, для однородной несжимаемой жидкости У = р /р + сопвФ. Для изотермических процессов в совершенном газе, когда р =- Р ! (ЛТ), У = ЛТ )пр+сопМ.
Рис. 12. К выводу интег- рала Бернулли. Важным примером небаротропного процесса, при котором функция У (Р, .'ь) легко вычисляется вдоль неизвестной заранее линии тока М, может слукавить случай адиабатических обратимых течений совершенного газа, когда прИ = Тг)л = О, и поэтому энтропия л в каждой фиксированной частице сохраняется постоянной, з = сопзг.
Однако у различных частиц энтропия может быть различной, и процесс тогда не будет баротропным. Так как движение установившееся, то все частицы, движущиеся вдоль одной и той же линии тока, будут иметь одинаковую энтропию. В самом деле,при установившемся движении линии токаи траектории совпадают, и если бы вдоль одной линии тока двигались частицы с разной энтропией, то, проходя через фиксированную геометрическую точку линии тока, они создавали бы изменение энтропии со временем в этой точке пространства, т.
е. движение не было бы установившимся. На разных линиях тока энтропия мои1ет быть различной. Уравнение состояния совершенного газа можно представить в виде (см. 2 5 гл. Ч т. г): 1 ра! Так как в рассматриваемом случае энтропия г вдоль линии тока постоянна, то, вычисляя функцию давления У для Гз. ЧП1.
Гпдроиехаиика какой-нибудь линии тока, получим 1" — ам) р и'и й с и с гы = — — ехр ( ' ' ~ р'и-'гп+ сопзс. т Р г п(К) — паз Т вЂ” 1 Рп ( с (2.3) Используя уравнение состояния, можно представить У (Р,,Т) в виде Р (Р и ) сопь1, (2. 3') зг ~ 2 -1-У(Р,.Т) — У1=- — 2(ю х п)ь (2.3") Пусть теперь ь' есть линия тока. В этом случае стоящая справа в (2.3") проекция векторного произведения (ег эс гп)~ обратится в нуль, так как вектор ге х гп перпендикулярен к линии тока.
Аналогичный результат получится, если Я будет вихревой линией. В общем случае функции У (Р, М) на линии токаи на вихревой линии различны. Таким образом, вдоль линий тока и вихревых линий имеем — — -,'— У(Р, Т) — %) = О, д1 [ 2 (2.4) 2 (2. 5) Подчеркнем, что стоящая справа постоянная ги, вообще говоря, различна для разных линий тока и вихревых линий: Ги зависит от а,'. Эта зависимость га от Х связана не только стем, что в случае небаротропных процессов У аависит от Ж, но и с тем, что постоянная интегрирования выражения (2сй) вдоль В формуле (2.3) зависимость функции давления от линии тока проявляется через значения двух параметров — постоянной для каждой линии тока энтропии з и постоянной интегрирования.
Подчеркнем, что формулы (2.3) и (2.3') для функции давления У (р, У) справедливы только вдоль линии тока. Иитег ал Бе и и ° Введя фунггггию давления У (Р,,У), аж,ии тогиг "„,, „,,' уравнение (2.2) можно записать в виде линии 1 2. Ивтеграл Берпуллп 23 Случаи, когда поетоявяая явтеграла Бернулли ке завясвт от лввяя и х, х — — — з)п — ~, соо— Го а ' а т Су о4. х — — + — ~ е)п— уо ~а а, а (2.б) — "= ( — + —,соз — ' ро ~а а!' ' а' о) Ардвтявкую постояккую, входящую в определеяяе фуявцвя давлекяя,то, удобно включать в постоянную явтегрвроваявя оо.
т) Как показало в ковке атого параграфа, плоскопараллельяые двкженин сжимаемой жпдвоств прп палвчяк баротропяк, если оо = — сопИ, являются потенциальными; пря отсутствпв баротропвя яз равенства )" = совет яе следует, что движение потеяпяальво. разных линий может быть разной и в том случае, когда функция У не зависит от линии тока '). В тех случаях, когда функция давления У известна, соотношение (2.5) является первым интегралом уравнений движения идеальной жидкости и япзьовается иятесралом Бернулли. Этот интеграл имеет фундаментальное значение в теории движения идеальных жидкостей и газов и является основой во многих практических расчетах. Если функция давления У(р) и значение постоянной рч вдоль данной линии тока или вихревой линни известны, то, пользуясь кнтегралом Боряулли, можно в любой точке линии тока или вихревой линии, зная скорость, найти давление, или наоборот.
Для определения постоянной ое в интограле Бернулли достаточно знать значения характеристик движения ясидкости, входящих в левую часть интеграла Бернулли, только в одной точке на линии тока илн на вихревой линии. При наличии барогропии постоянная интеграла Бернулли одинакова для части или всей массы жидкости и не зависит от липни тока или вихревой линии, если векторное произведение ю .х то в атой массе жидкости равно нулю. Это может быть в трех случаях; либо когда то.= О (гидро- статика), либо когда ю —.= О (движение потенциально), либо когда вектор вихря ю коллинеареп вектору скорости то. Последний случай ие может иметь место при движении твердого тела и плоскопараллельяыхдзижекиях') жидкости, в которых оо ортогонально ю. Многообразие возможных движений жидких сред гораздо богаче многообразия возмоокных движений твердых тел; для деформируемых тел случай, когда ю параллельно п, может иметь место.
Папример, если непрерывное поле скоростей задается формулами: Гл. ЧП1. Гэдромехаапка 1 где р" и а — постоянные, то легко яровервть, что го = — и, следовательно, в поле скоростей (2.6) линии тока совпадают с вихревыми линиями. Очевидно, что в трех перечисленных выше случаях для определения постоянной в интеграле Бернулли достаточно знать входящие в левую часть интеграла характеристики движения жидкости только в одной произвольной точке жидкости. и вдв,,р, Отметим еще, что постоянная Ра в интеграле Бернулли одна и та же на таких линиях тока, которые начинаются или проходят через область, где все характеристики движения одинаковы.
Так, например, если из большого сосуда, заполненного идеальной жидкостью или газом, через небольшое отверстие вытекает струя, обтекающая рис. 1З. Востоявкме в кате- некотороетело(рис.13),топостоянграле Бернулли одавакоэы ные гв интеграла Бернулли на ва различных яинаях тока. различных линиях тона будут оди- наковыми. В задаче об адиабатическом обтекании тел газом, когда параметры в набегающем потоке в бесконечности одинаковы, величина Гх (определенная для семейства линий тока) постоянна во всем потоке даже при наличии в потоке скачков уплотнения. Действительно, если согласно (2.3') для адиабатических движений газа положить У= —— т р т — 1 р то из условий на неподвижных скачках в случае совершенного газа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
