Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Знаменатель в выражении для /, в различных точках на линии тока одинаков, так как з,ш =- а„р зависит только от температуры торможения Т*, которая прн адиабатических обратимых движениях постоянна вдоль данной линии тока. Легко видеть, что коэффициент скорости изменяется в следующих пределах: 0(/.
( ь' .,/ т+1 У т — 1 Изучим зависимость скорости от значений параметров торможения и давления истечеввя газа ка сосуда вдоль линии тока. Для этого возьмем интеграл Бернулли в виде пт га "пьах и разделим первое слагаемое и постоянную на З, а второе— на равную ей величину Рэ /и е)/с т рФ/г 1)/т з/т е' Рз Т вЂ” 1 1 5. Интеграл Бернулли для течений газа Получим еа / р )/т — х)/Ч аз ах Р' ' откуда ~ р )1т-а)/т~ (5.12') или, так как о ., =)~2сеТ", и = )/2сгТе~1 — ~ Р ) (5.12) ааах / амах р =ра (1— р =р" (1— (5.13) Т=Т (1 ' ' =Т*/1 — ' ',).:). *мах Введем в эти формулы число Маха. Для етого аапишем интеграл Бернулли в виде ез ех, аа мах 2 +,— 1 2 и разделим обе части етого равенства на лЧ2; получим аа 1 т — 1)т еа 2 1 т-).1 "мах т — 1 м' Формула (5.12), называемая формулой Вен-Венана — Венцеля, может быть использована для определения скорости установившегося истечения газа через насадок из сосуда, в кото.
ром р = ре, Т = — Те, в пространство с давлением р. Но для того чтобы действительно иметь на выходе из насадка заданное давление р,необходимо сделать насадок специальным образом. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. Формула (5.12) является обобщением на случай совершенного газа формулы Торичелли о = 1/2дй для скорости установившегося истечения тяжелой несжимаемой жидкости из сосуда. Аналогичным образом интеграл Бернул~~~~р~метр®~и ли можно разрешить о осительно давторможения и числом М ления, плотности и температуры и получить формулы: 42 Гл.
гШ. Гидромеханика Формулы (5.13) запишутся теперь следующим образом: е~1 т 1Мз) "д" и ,/1, т — 1 М,)-а -и Т Т. (1+ т тмз) ~ (5 14) Нагревание тел в потоке газа ') При наличии в газовом вотоке скачков уплотнения на линиях тока, проходящих через скачки, величина гв сохраняет свое значение (см. стр. 24). С ростом скорости потока температура в потоке падает. Однако если в поток газа поместить неподвижное твердое тело, первоначальная теашература которого равна температуре газа, то оно будет нагреваться. В самом деле, для воздуха (7 = 1,4) температура вблизи критической точки тела будет равна ') Тз = Т (1 + 0,2 М').
Если температура потока вдали от тела Т = — 23' С = 250' К, то при скорости потока порядка скорости звука (М = 1) Те= 290' К, т. е. температура газа вблизи критической точки тела будет на 40' выше температуры набегающего потока. При М = 3 и Т = 250' К имеем Те = 700' К, а при М = 5 имеем Тв = 1500' К. ~ При обтекании тел газом с большими сверхзвуковыми скоростями большие температуры получаются не только в критической точке. Действительное распределение температур по поверхности обтекаемого тела связано с процессами диссоцнации и ионизации газа и с отсутствием адиабатичности, что обусловлено свойствами вязкости, излучением и теплообменом ме>кду газом и обтекаемым телом.
Поверхность тела при движении его в газе может сильно нагрезатьсн, плавиться и испаряться. Головные части баллистических и космических ракет при входе в плотные слои атмосферы сильно оплавляются, головки баллистических ракет или космические аппараты не сгорают полностью только благодаря кратковременности их движения в атмосфере в таких условиях. Проблема борьбы с нежелательными эффектами сильного нагревания тел на больших сверхзвуковых скоростях полета в атмосфере является одной из основных аэродинамических проблем.
Она связана с выбором материалов и разработкой форм конструкций летательных аппаратов. С другой стороны, яри засасывании покоящегося воздуха с Те= 290' К в области больших скоростей можно получить очень малые температуры Т, например, при М= 5 будет происходить такое охлаждение, что воздух в потоке начнет конденсироваться в жидкость. 1 5. Интеграл Бернулли длл точений газа Влнлние спимаемоети на зависимость давления и нлотностн от еиорости Покажем теперь, что в случае установившихся движений с достаточно малыми скоРостЯми, (гз/и'„ах) ((1, Учет сжимаемости жидкости оказывает слабое влияние на зависимость давления и плотности от скорости. Сначала покажем, что при малых скоростях движения давления, определяемые по формулам аа Р Р Ра "2 (5.15) (случай несжимаемой жидкости) и р=р (1 —, (5 16) апьах / (адиабатические обратимые движения совершенного гава), достаточно близко совпадают.
Для этого разложим выражение (5.16) в ряд Тейлора по параметру оз/и,'аах. Пользуясь тем, что 2а*х тпа омах = — - и —, =и, получим г — 1 р аа ~ад, Н аа ~пах "~пах — — 1 ) а мах Эааа аа 2 ~ 4а*-' ) Отсюда видно, что динамические давления в сжимаемой и несжимаемои жидкости с плотностью, равной плотности торможения в сжимаемой жидкости„отличаются друг от друга членами порядка роэа/8аох.
Разница не будет превышать ' одного процента, если гз/4а аз~~ 0,01, т. е. если г ( (аз/5). Так, если аз = 340 м/еек, то при скоростях г .. 68 м/еек = 240 км/час разница в динамических давлениях, вычисленных по формуле для несжимаемой жидкости и по формуле для сжимаемого газа, меныпе 1%. Аналогично для плотности будем иметь 1 аа — „=1 — — — +... р" г 1„з мах Легко проверить, что р будет отличаться от ро меньше чем на 2% прин ( — = 68м/еек. Таким образом, если мы будем 5 Гк. 7Ш.
Гндромеханкка считать газ несжимаемой жидкостью, то при одной и той же скоро сти и =- ае/бдля давлений мы получим ошибку в 1с/о, а для плотностей — в 2% . Еще тридцать лет навад в аэродинамике изучались в основном движения только несжимаемой я<идкости. В настоящее время, когда скорости движения самолетов достигли и значительно превзогплн скорость звука, учет сжимаемости приобретает первостепенное значение. Вместе с тем нельзя думать, что всегда при э( 68.в/сок можно пренебрегать сжимаемостью среды. Этот вывод был сделан на основании интеграла Бернулли жояько для устансвившжтся движений газа. Если двня;ение газа неустановившееся, то учет сжнмаемости может оказаться существенным уже при весьма малых скоростях движения среды, Например, при распространении звуковых волн скорости движения частиц малы, но все основные эффекты в этом случае связаны со свойством сжимаемости среды. 6 6.
Влияние сжимаемости на форму трубок тока. Элементарная теория сопла Лаваля Я=— сопят Ф (6Л) т. е. чем больше скорость, тем меньше сечение; график этой зависимости — гипербола (рис. 22). Если жидкость сжимаемая, то вдоль трубки должен сохраняться только массовый расход жидкости рьэт8 = р исЯс = = рэЯ = сопз1, откуда Форма трубок тока в сннжаемой жндкоетк совке (6.2) Рассмотрим теперь вопрос о влиянии сжимаемости на форму трубок тока при установившемся движении газа.
Предположим, что трубка тока тонкая, и поэтому будем считать характеристики движения в разных точках каждого сечения одинаковымн. Пусть Я вЂ” площадь произвольного поперечного сечения трубки тока, причем сечение берется перпендикулярно к скорости движения частиц газа. Если жидкость однородная и несжимаеФорма трубок тока мая, то из уравнения неразрывности слев несжимаемой жидкости дует, что массовый и объемный расходы через трубку тока постоянны эг8 = эсЯ, = э8 = сопз1; р,=рси 1 6, Влияние сжимаемости ие форму трубок така 45 Для сжимаемой жидкости плотность зависит от скорости.
Для адиабатических обратимых течений совершенного гааа имеем р — р (1, ) Подставив это выражение в (6.2), можно получить зависимость Я =-. Я (г) и найти форму трубок тока. Выясним вопрос о форме трубок тока несколько иным путем для любых, вообще не адиабатических, движений произвольной идеальной сжимаемой жидкости. Для этого вычислим ег ггг Рис. 22. Изменение поперечного сечения трубки тока в зависимости от скорости в несжимаемой жидкости. д (рв) следующим образом. Спроектирован уравнения движения Эйлера на линию тока, при установившемся движении получим 2 иди = — — = — а —, р где аз = с(р/ф вдоль линии тока. Для адиабатических движений а совпадает со скоростью звука, определяемой как)/(др/др),. В общем случае величина а отлична от скорости звука,но в последующем для неадиабатических движений играет роль скорости звука.
Таким образом, вдоль линии тока будем иметь оЫр = — Мер сЬ, (6.3) где М = в/а. Для неадиабатических процессов введенное здесь число М вообще не равно числу Маха, определяемому как отношение о/ у' (др/др),. Из (6.3) непосредственно следует равенство Н (ро) = р сЬ + о др = р (1 — М') сЬ. (6.4) Видно, что с ростом скорости, когда Ив) О, величина рн растет при дозвуковых скоростях, когда и( у др/др (М(1), и 46 Рл. Ч1П. Ридромехакика Мы показали, что площадь поперечного сечения трубки тока, в которой скорость непрерывно растет от значений, меньших скорости звука, до значений, болыпих скорости звука, на дозвуковых режимах течения уменьшается, а на сверхзвуковых— увеличивается, и трубка тока имеет минимальное сечение Простое вопло, сопло Лаваля убывает при сверхзвуковых скоростих, когда и ) 1Яр/Ыр (М)1). Очевидно, что в той точке, в которой и = у'с(р/Йр, т.
е. М = — 1, величина рв имеет максимум (рис. 23). Из формулы (6.2) и характера изменения рв можно сделать ряд важных выводов. Если поток дозвуковой (М( 1), то, так же как в несжимаемой жидкости, поперечное сечение трубки тока с ростом скорости о уменыпа,ед ется, а с уменьшением скорости— М ! увеличивается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
