Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ВА ОЕ Из (7.13) и (7.14) сразу находим Яо 1 8 2 (7Л5) Таким образом, для несжимаемой жидкости коэффициент поджатия струи, вытекающей через насадок Борда, равен 1/2. Б общем случае (для насадков другого вида) этот коэффициент зависит от геометрической формы насадка. Для газов при непрерывном дозвуковом истечении с образованием струи, на поверхности которой р =- р„формула (7.14) сохраняет свой вид. Для совершенного газа ее можно переписать в виде Роро Р' ТМ~ где Мо — число Маха в сечении Яо. Теперь вместо уравнения Бернулли в форме (7ЛЗ) нужно использовать уравнение Бернулли для газа.
На основании первой из формул (5.14), в которой надо положить ре = рг и М = М„получим т — 1 ~/1 еи (1+ 2 М,'~ — 1 (7Л6) тМ, Формула (7Л6) в пределе при Мо — о. О переходит в формулу (7.15). Дозвуковое истечение будет происходить при ПРи больших пеРепадах давлениЯ, когда (Ро/Р*) ( (Рар/Ре), в струе получаются сверхзвуковые скорости. При достаточно малых ро/ре в струе будут возникать скачки уплотнения: в связи с этим решение задачи усложняется. 3 8.ХВзаимодейсгзие жидкостей с обтекаемыми телами 63 й 8.
Взаимодействие жидкостей и газов е обтекаемыми телами при установившемся движении Рассмотрим установившееся движение материальной среды, обтекающей некоторое тело или систему тел (рис. 37). Возьмем в качестве части контрольной ОпРедезеики общей сваы поверхности Х трубку тока Х ю содерреакиии .В, момевта М в «етдаваемой» потовом жащую внутри себя обтекаемые тела, энергии И' ограниченные поверхностями Хю Хю..., которые включим в контрольную поверхность Х.
Трубка тока Х, может быть выделена в движущемся потоке материальной среды мыслонно и, в частности, может представлять собой стенки действительной трубы, внутри которойпро- в~ исходит рассматриваемое движение материальной среды. Вьгделяемая Е,— Ев трубка тока Хв может 3 также совпадать только иг в отдельных своих час- «-лЕ г в, тях с некоторыми Вг рг твердыми границами. Плоские сечения Я, и Я, трубки тока Х, тоже включим в контрольную поверхность Х. Таким образом, контрольная поверхность, к которой мы применим соотношения (7.1) — (7.4), представится суммой В =- Хв + + В,+Вз+...+ Яг+Яз Предположим, что на достаточно далеких расстояниях от внутренних тел, ограниченных поверхностями Хю Хю ..., в плоских сечениях Я, и Я (с конечными площадями, которые будем обозначать также через Яг и Яг) трубки тока поток жидкости (или газа — схгимаемой жидкости) выравнивается и в этих сечениях получаются постоянные плотности р, и р, и постоянные скорости ггг и им нормальные к Я иЯз соответственно.
Кроме этого, предположим, что в сечениях Я, и Я, внутрвшгив напряжения сводятся к давлениям ') р, и рю Внутри трубы и на стенках трубы можно допустить наличие различных механизмов энергообмена с внешними телами и наличие касательных ') Это предположеиис удобно и во многих случаях вполне приемлемо. Однако можно обобщить последующие формулы ва случай, когда на Ег и Б могут быль касательные напряжения. 64 Гл. УП1. Гкдромехавкка напряжений, так как в общем случае нам не потребуется предположение об идеальности жидкости. Далее воспользуемся следующими обозначениями: (8 1) — ЗХ= ~ (э х 1»„+ 9,)<Ь, (8.2) — И'= ) (Х' и+ —,<р<»т+ ~ (р„«< — о„)<Ь, л«вас Ъ в,+в,+в,+... (8,8) (8.4) Очевидно, что — К представляет собой главный вектор поверхностных сил, действующих на жидкость со стороны внутренних тел на границах Хы Х», ...
и со стороны границ трубки тока Х«. Вектор «» представляет собой соответствующую суммарную силу противодействия, т. е. силу, с которой жидкость действует на внутренние тела и на поверхность Х«. Аналогичное толкование применимо к векторам суммарных моментов относительно некоторой неподвижной точки, — ЗХ и М. Скалярная величина — »р' представляет собой не что иное, как общий <«приток» (а И~ — «отток») механической, тепловой и других видов энергии в единицу времени к объему жидкости, выделенному контрольной поверхностью Х, отличающийся от полного «притока» энергии к индивидуальному объему жидкости г только за счет «притоков» энергии к жидкости в сечениях и 8».
Величина, обозначенная через <«, представляет собой по определению полное удельное тю<лосодержапие с учетом кинетической энергии движения (см. формулу (8.7) гл. У, т. 1). При учете силы тяжести, если положить г' =- д, будем иметь ур<(с= ад, ~(з' Х .р')р<(т=.вэ" Х д (8.5) и ~(Хг «<)р<(т= вп'.д, где М вЂ” масса жидкости внутри объема У, г» и «<в — соответственно радиус-вектор и скорость центра тяжести этого $8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми гелани 65 объема жидкости (плотность может быть переменной по объему Р).
Во многих приложениях можно принимать, что 7ь = О, ад~а!й О и Р О Йз закона сохранения масс (7.1) получим (8.0) р1г1Я1 ра" зЯ а где через 6 обозначен массовый расход в единицу времени через рассматриваемую трубку тока. Так как на Хо и по условию на обтекаемых поверхностях Хп В„..., в„ = О, то уравнение импульсов (7.2) приводит к следующей формуле: Л = (Р1 -, 'рхр') 81 †' — (р.
-1- о э,') Яа †,' (8.7) Здесь вместо единичных векторов внешних нормалей и, и ид ! на сечениях Я, и Яевведены единичные векторы ирэ, = — м, и и„'гв == таа Для учета силы тяжести жидкости на основании (8.1) и (8.5) справа в (8.7) необходимо только добавить силу веса жидкости, находящейсн между сечениями Ят и Яв.
Вводем теперь радиусы-векторы т, "и .т".„центров тяакеоти площадой сечений Я, и Яа и подоя им гс =-. 0 на Я, и Яа Уравнение моментов (7.3) приводит к следующей формуле; г„Х еа геХ ве М = (р, -~- р,г;) 8, " — (р (- реэв') 8в †' „, . (8.8) Для учета весомости жидкости в (8.8) нужно добавить момент силы веса, приложенный в центре тяжести жидкости мен'ду сечениями Я, и Яз(см. (8.5)). Если на всю поверхность Хо(поверхность трубы и струи в целом) извне действует постоянное давление р„, согласно сказанному вылив, в формулах (8.7) и (8.8) можно заменить р, и р, через р, — р, и р, — рм В дальнейшем можно считать, что р, и р, равны полным давлениям или добавкам к постоянному давлению р,.
Наконец, уравнение энергии при естественном допущении, что д„' = 0 на Я, и Яв (наличие д'„+ 0 на Яд и Яв легко учесть, однако для многих приложений в этом нет надобности), приводит к равенству простого вида: ва' = (г,* — 1в) 6. (8.9). В атой формуле легко учесть также работу сил тяжести (изменение потенциальной энергии жидкости между сечениями од и 8в).. 3 л. и. седов, т. 3 Гл.
Ч1И. Гидромеханвка Отсюда при И' = О получим, что 1, = 1,. Для совершенного газа в раскрытом виде это равенство совпадает с уравнением Бернулли (5.2). При И'+ О мы имеем обесценив уравнения Бернулли на более сложные среды с учетом изменения константы энергии вдоль линий тока за счет «оттока» энергии И' от я~идкости к внешним телам. Соотношения (8.6) — (8.9) применимы в общем случае как для непрерывных движений, так и движений с наличием различных разрывов внутри рассматриваемого объема. Они играют фундаментальную роль в инженерной гидравлике и инженерной газовой динамике.
Эти основные соотношения, уравнения и определяющие формулы положены в основу одномерной теории всевозможных расчетов газовых и гидравлических машин. Легко видеть, что для установившихся движений соотношения (8.6) — (8.9) для конечных масс среды между. сечениями Я, и Яз выражают собой связи той х|е природы, что и соотношения на сильных скачках.
При сближении и совпадении сечепий Я, и Я, равенства (8.6) — (8.9) переходят в условия ка прямых скачках, последнее связано с принятым вькае условиеч, гто скорости в сечениях Я, и Я, перпендикулярны к ним. Соотношения (8.6) — (8.9) выведены для трубки тока с конечными сечениями Я, и Я, в предположении, что на этих сечениях скорость, плотность и давление выравниваются. Если для точных решений соответствующих гндродипамнчоских аадач эти предполоягения выполняются, то равенства (8.6)— (8.9) являются точными. Если в точных решениях или по данным опытов зти предположения выполняются приближенно, то полученные соотношения имеют прибли;кенный характер, однако во многих случаях эти приближения практически вполне удовлетворительны.
Вместе с этим нужно иметь в виду, что с точки арения приложений к действительности вообще все теоретические расчеты всегда имеют только приближенный характер. Эти соотношения приложимы к бесконечно тонким трубкам тока без всяких предположений о выравнивании скорости, плотности и давления. В общем случае, когда характеристики движения в сечениях Я, и Я, существенно переменны, можно написать аналогичные формулы, в которых справа необходимо проводить интегрирование — суммирование правых частей (8.6) — (8.9), написанных для бесконечно малых площадок ЬЯ, и ЬЯ„по Яг и Я,. Для каждой трубки тока при установив- ливии тока Ураввевве звертив вдоль шихся адиабатических движениях идеальной жидкости, при ад* =- О и при отсутствии притока механической энергии за счет работы массовых сил из (8.3) получается, что И' =- О, если граничащие с жидкостью тела неподвижны, так как поверхностные силы 3 6.
Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 67 в идеальной жидкости (давление) на неподвижных поверхностях Хс и Хы Х„... работы не совершают. Поэтому на основании (8.9) вдоль линии тока верно уравнение энергии в виде равенства — -'г О'г + — = — т О'+ —.
Рг Р (8 10) в ю=г Вози внешк У» — 6', = сг»7» — сгг 7»+ 11«, — Пс» и учитывать изменение аддитивной постоянной Ус» — бГ»м Соответствующее приращение энергии за счет изменения параметров ты т„... истолковывается как изменение внутренней химической энергии, зто — «теплота химической реакции»; аналогичным образом можно вводить энергию плавления и энергию испарения, энергию ионизации и т. п. 3» В рассматриваемом общем случае удельная внутренняя энергия У (р, р, т„у«, ...) Может зависеть от различных механических и фиаико-химических вообще переменных параметров ул,..., характеризующих происходящие в частицах жидкости внутренние процессы.
Зги параметры могут меняться вдоль линии тока. Равенство (8.9) и соответственно (8.10) сохранятся и в том случае, когда внутри потока в объеме И имеются сильные разрывы — скачки. В вязкой жидкости поверхностные силы не совершают работы ка неподвижных твердых границах (Х, Х»,..., и, возможно, всей или части поверхности Х«) при условии прилипания жидкости к обтекаемым стенкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
