Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рассмотрим обтекание решетки профилей установившимся плоскопараллельным потоком жидкости или газа. Относительно движения жидкости или газа предположим еще, что поля плотности, скорости и напряжения периодические с периодом й и что на далеких расстояниях от решетки (по нормали к периоду й) перед решеткой и за решеткой потоки выравниваются к поступательным движениям с постоянными векторами скорости и, и пз соответственно (см. рис. 45). Для применении интегральных соотношений выделим цилиндрическую контрольную поверхность Х единичной ширины вдоль образующих профилей решетки, изображенную на рис.
45 контуром АВСВА в плоскости ху и включающую в себя контуры обтекаемых неподвижных профилей. Сечения АВ и ВС параллельны вектору периода 4, а контуры АВ и ВС вЂ” любые кривые, сдвинутые поступательно друг относительно друга на один период; из свойств периодичности и плоскопараллельно- Гл.
УШ. Гкдромехаккка 82 сти потока следует, что на АВ и РС, а также на площадках поверхности Х, параллельных плоскости ху, все характеристики потока в соответствующих точках одинаковы. В отличие от предыдущих приложений в этом случае части контрольной поверхности АВ и .0С пе являются поверхностями тока, а сечения АВ и ВС не перпендикулярны к соответствующим скоростям потока. Закон сохранения массы дает (8.23) ~ргпг = грзпт где и„, гл пз.
— проекции скорости жидкости на направление единичного вектора тс, вектора, получшгного от поворота на прямой угол почасовой стрелке вектора периода 8 (см. рис. 45), а С вЂ” массовый расход жидкости в одном периоде в слое единичной ширины. Уравнение количества движения при отсутствии массовых сил ') с учетом периодичности и плоскопараллельности потока для силы й, действующей на единицу ширины системы обтекаемых профилей в одном периоде, приводит к формуле Л =- (р~ — ре) (ть + С (пг — пз). (8.24) Эта формула проста и удобна для приложений на практике илк в теории гидродинамическнх решеток. В этой формуле первый член дает силу, перпендикулярную к вектору периода решетки, второй член связан с кзмонением величины и направления скорости потока, протекающего сквозь ре1петку.
Этот член дает составляющую силу вдоль периода решетки, т. е. силу, стремящуюся двигать решотку в направлении ее периода. Форвгулы (8.23) и (8.24) в рамках сформулированной выше постановки задачи приложимы в общем случае как для жидкостей, так и для газов с любыми свойствами, как для идеальных, так и для вязких сред '). Они приложимы при наличии в потоке (внутри Х) различных физико-химических процессов. В частности, эти формулы позволяют вычислить силу ть по данным акспериментальных измерений характеристик потока на входе и выходе из решетки. Далее при допустимых предполозкеннях мы преобразуем формулу (8.24) для получения важных следствий относительно подъемной силы, действующей на изолированные полипланы в безграничном потоке жидкости.
') Массовые силы инерции прк рассмотрении отвосктельных двкзкенкй в соответствуюшкх прклоязепнях теоркк решеток легко учесть дополнктелько. з) Тзк как в бескопечпости в поступательных потоках вязкие капряженкя равны нулю. т 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемымн телами 83 Введем теперь в рассмотрение цнркуляцшо скорости Г по замкнутому контуру АВИЛ в направлении против хода часовой стрелки.
Нетрудно видеть, что для Г верна формула ) = (язв гп) ь (8.25) и = и„+ ги, = — (е'э, .У~ = Л„+ гВ„; Пт = ПЫ+ Готт = (РМ вЂ” ПЬв) Е' . юг пы + багге — (гп — юж) з1', Нетрудно проверить, что в этих обозначениях можно на- писать ль = ((Рт — Р,) (е'в + Ртггат т — Рзоз„мЛ Г и отсюда (Рэ Рт) + Рить~ Р'"'тв ~ г -г~ (8.26) Второй член в формуле (8.26) перпендикулярен к периоду решетки; в общем случае при обтекании решеток как сжимаемой, так и несжимаемой я~идкостью, этот член отличен от нуля.
') В общем случае циркуляция Г не аавнснт от выбора конгруэвтных кривых АВ н СС, однако значение Г вообще аавксят от вида кривых АВ н т)С внутри одного периода, если этк кривые не конгруэнтяы; ярн потенцнальном обтекании циркуляция Г не зависит от вида этих неконгруэлтных кривых. где г,и вп — проекции скоростей и, н пэна направление вектора периода 1. В общем случае для вихревого движения жидкости или газа циркуляция Г зависит от выбора контура интегрирования '). Еслидвижение жидкости или газа вблизи контура ЛВСЙЛ потенциально, то контур интегрирования при определении циркуляции можно деформировать, а в случае непрерывного потенциального потока во всей плоскости вне обтекаемых контуров контур АВСРЛ ьюжно деформировать в контуры обтекаемых профилей.
Таким образом, в этом случае циркуляцию Г, для которой справедлива формула (8.25), можно рассматривать как суммарную циркуляцк1о по контуру, состоящему из всех контуров полиплапа в одном периоде, каждый из которых проходится против часовой стрелки. Формулу (8.24) удобно переписать в комплексной форме, в которой векторы рассматриваются как комплексные числа, т. е. Гл. У111. Гпдромехапвка о (~~„,'+ ги), Р (гзя 1 гп) л л з > 3 Рг + 2 = Ръ + (8.27) На основании (8. 27) и(8. 23) следует, что в (8.26) второй член равен нулю, и поэтому формула (8.26) приобретает вид ю1 + ог 2 (8.28) Равенство (8.28) представляет собой теорему Н.
Е. )Куков- ского для решетки, обтекаемой потенциальным потоком с циркуляцией Г в бесконечности. Обычно рассматривается движение, потенциальное всюду вне профилей. Согласно этой формуле имеем, что сила Ю перпендикулярна к средней скорости (и, +пз)/2 и пропорциональна плотности и циркуляции по контуру, охватывающему один раз профили и внутренние вихревые области нли каверны в одном периоде. Согласно формуле (8.28) направление силы Л получается поворотом вектора средней скорости на прямой угол против направления циркуляции Г (т. е. в данном случае, при Г ) О, по ходу часовой стрелки, поворот характеризуется множителем — 1). Переход от решетки к изолированным профилю или поли- плану профилей можно осуществить в (8.28) предельным переходом при 1 — ~ .
Очевидно, что в пределе при конечной циркуляции Г получим и, = пз = и . Формула (8.28) в пре- Теорема Н. Е. Жуковского Рассмотрим теперь отдельные частные гпдуодппапюю~"~й свае случаи, Пусть имеем обтекание неподвижвоздействпя па профплп в решетке и о полъепвой епле ной решетки идеальной однородной не- изолированного волвплапа сжимаемой жидкостью (р = р ) без подплп отдельного профиля вода внешней механической энергии. В этом случае имеется часть потока, образованная системой линий тока, приходящих из бесконечности перед решеткой н уходящих в бесконечность за решеткой.
Из условий в бесконечности и нз уравнения Бернулли следует, что движение жидкости в области потока, образованного этой системой линий тока, потенциальное (см. конец з 2). Вместе с тем в потоке могут быть области с вихревым движением. Можно рассматривать различные обтекания с вихревыми областями или кавернами, а также и такие, когда движение жидкости везде вне профилей потенциально. Для полипланов такие потенциальные обтекания могут быть разными в зависимости от различного задания циркуляций по отдельным планам при заданной суммарной циркуляции Г. Из уравнения Бернулли на линиях тока, приходящих н уходящих в бесконечность, имеем $8. Вгавмодействле жидкостей с обтекаемыми телами 85 деле дает знаменитую теорему Н.
К. Жуковского для изолированного профиля или для системы профилей в обычном виде: Л= — 1рп Г, (8.29) где à — общая циркуляция, равная циркуляции по бесконечно удаленному контуру. Для изолированной системы профилей или для изолированного профиля можно рассматривать различные предельные течения, в частности, обтекания с вихревыми зонами или с кавернами. Для любого из таких обтеканий формула (8.29) верна.
Эта формула представляет собой фундаментальный результат, ставший основой аэродинамики крыльев самолетов. Формула (8.29) находится в согласии с парадоксом Даламбера, так как из (8.29) следует, что составляющая силы, параллельная скорости, (сопротивление) равна нулю, но подъемная сила в идеальной жидкости может отличаться от нуля, наличие ее тесно связано с циркуляцией à — О. Для определения действительного значения подъемной силы необходимо указать методы определения циркуляции Г. Этот вопрос был изучен и разрешен тоже в работах С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
