Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 2 (1119110), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В общем случае для тел, погруженных в среду с неоднородной плотностью, сила Архимеда и ее линия действия зависят существенно от положения тела в жидкости и от его ориентации. Если сила Архимеда меньше веса тела, то тело, погруженное в яеидкость и предоставленное само себе, тонет; если сила Архимеда болыпе веса, то всплывает. В рамках квазистатического рассмотрения тело всплывает до тех пор, пока его вес пе сравняется с гидростатической подьемяой силой. Для тел, плавающих па поверхности воды, гидростатическая подъемная сила также равняется силе Архимеда. Действительно, для вычисления этой силы можно ввести замкнутую поверхность Х, состоящую из смоченной поверхности тела и площади сечения объема тела горизонтальной плоскостью и, совпадающей с уровнем покоящейся жидкости. На поверхности этого сечения тела давление следует считать постоянным и равным ра — давлению на свободной поверхности жидкости.
На практике при расчете гидростатическнх сил, действуеощих на корабли, изменениями гидростатического давления воздуха в различных частях корабля можно пренебрегать и считать это давление постоянным и равным р, — атаюсферному давлению. Очевидно, что при вычислении интеграла (1.13) по полной поверхности тела мы получим силу Архимеда для части тела, погруженной в воду и ограниченной сечением тела плоскостью и. Для тела, погруженного в жидкость только частично, положение линии действия силы Архимеда относительно тела существенно зависит от ориентации тела. Наличие гидростатической подъемной силы широко испольауется в технике.
Эта сила поддерекивает суда, плавающие на поверхности воды, удерживает подводные лодки на нужной глубине, удерживает в воздухе аэростаты и дирижабли и т. д. На основе закона Архимеда построены приборы для измерения плотности жидкости — ареометры, измерители я<ирности молока — лактометры, концентрации спирта — спиртометры и т.п. Существенным моментом в выводе закона Архимеда является предположение о аамкнутости поверхности Х соприкосновения тела с я<идкостью. Если поверхность не замкнута, то закон Архимеда не имеет места. Например, если некоторое тело А погруаить в воду так, что оно со всех сторон будет окружено водой (рис. 5), то на него будет действовать выталкивающая сила; но з С Гидростатика если то же тело опустить на дно, то подъемная сила исчезнет и, наоборот, появится сила, которая будет прижимать тело ко дну.
С этим . явлением связаны случаи, когда подводные лодки ложились на дно океана, теряли плавучесть и не могли всплыть. рассмотрим еще парадокс Жуковского, суть которого заключается в следующем. Если в стенке сосуда с жидкостью поместить цилиндр (рис. 6), который мохгет вращаться без трения ркс. ре На тело А действует подъемная сила Архимеда, иа тело В действует сила, прижимаюпГая его ко дпу, если доступ жидкости под тело невозможен, рпс.
6. К парадоксу Жуковского. вокруг своей оси, то, казалось бы, должна возникнуть подъемная сила, действующая на часть цилиндра, находящуюся в воде, и под действием этой силы цилиндр должен начать вращаться. Однако этого не происходит, так как равнодействующая сил, действующих со стороны воды на цилиндр, проходит не череа центр объема вытесненной жидкости, а через ось цилиндра, ибо давление в каждой точке поверхности цилиндра направлено по нормали к ней. С помощью формул для распределения гидростатического давления, например (1.7) или (1.9), легко рассчитать суммарные силы и моменты, действующие за счет гидростатических давлений на любые поверхности или их части, находящиеся в контакте с покоящейся жидкостью, например, на стенки сосудов, на плотины, на различного рода аппараты, находящиеся в воздухе и в воде, и т.
п. Подчеркнем, что здесь речь идет о силах, действующих на тела, погруженные в жидкость, только за счет гидростатических давлений, тогда как общая сила, действующая на поверхность тела при движении жидкости, может зависеть и определяться не только гидростатическим давлением, которое, как будет показано ниже, в общем случае является только частью суммарного давления. Гл. ЧГ11. Гндромеханнка Устойчивость равновесна нссжнмаемой жидкости н полнтропной атмосферы в поле снл тяжестн Рнс.
7. Прнмеры неустойчивого (а) н устойчнаого (б) равновесия несжимаемой жканостн. такое малое перемещение (возмущенное состояние) всей системы или ее части, после которого система стремится еще более удалиться от положения равновесия, и безразличным, если в системе можно произвести любое малое перемещение, не нарушая равновесия. Для того чтобы для жидкости установить необходимые условия устойчивости равновесия, можно мысленно переместить некоторое количество жидкости и посмотреть, что затем будет происходить с этой частью жидкости под действием сил, которые на нее будут действовать после сообщенного ей перемещения. В указанном выше примере вода — ртуть состояние равновесия, изобраягенное на рис.
7, а, будет, очевидно, неустойчивым, так как частица ртути, смещенная в слой воды, в силу того, что действующая на нее архимедова сила будет меньше действующей на нее силы тяжести, начнет опускаться вниз. Наоборот, равновесие, изображенное на рис. 7, б, будет устойчивым. Очевидно, что необходимое условие устойчивости (или беараэличности) состояния равновесия неснгнмаемой жидкости в поле сил тяжести заключается в том, что плотность среды долж- Рассмотрим теперь устойчивость ра вновесия несжимаемой жидкости. Если„например, в сосуде имеются слой воды и слой ртути, то с точки зрения уравнений равновесия тяжелой жидкости равно возможны оба состояния равновесия, изображенные на рис.
7. Но будут ли оба эти состояния устойчивыми? Равновесие называется устойчивым, если после произвольного малого перемещения система стремится возвратиться в прежнее состояние равновесия, неустойчивым, если найдется 1 1. Гидростатипа на увеличиваться с глубиной (или оставаться постоянной), т. е.
др/дг ( О. Для газа вопрос устойчивости состояния равновесия решается несколько сложнее, так как частица гааа, смещенная из слоя с одним давлением в слой с другим давлением, изменяет свою плотность. Рассмотрим устойчивость равновесия политропной атмосферы, в которой р,1р = (р,!р )", считая, что частица вовдуха с плотностью ры при перемещении из слоя 1 в слой й (рис. 8), испытывает адиабатическое сжатие или расширение, т. е. л® , й=( — ':) ,лг )гг й Череэ рг мы обозначили плотность ® ггг 1г гг частицы воздуха А после перемещения ее в слой 2.
Очевидно, что для устойчивости равновесия пе- Рис. 8, К устойчивости равнообходимо, чтобы р ~' р, так как весна политРоппой атиосфвэы, в этом случае сила Архимеда будет больше силы тяжести; при р, ) рл равновесие неустойчиво; при р( = р, оно мол<от быть безразличным. Так как то для устойчивости равновесия должно быть и( у, равновесие неустойчиво при п > у и может быть безразличным при и = у. Как указывалось выше, адиабатическому (и = у) расслоению атмосферы соответствует падение температуры гг = 1 С на каждые 100 м высоты. Поэтому, так как 1ося "= Тббх— — — ~л получим, что при устойчивом равновесии гх ( 1' С, равновесие неустойчиво, если Л -. 1' С, иможет быть безразличным при Л = 1' С. Конвекция в атмосфере часто является следствием неустойчивости, возникающей при прогревании нижних слоев воздуха.
Одной из важных задач гидростатики явОб устойчивости равно- ляется исследование устойчивости равновесия плавающих тел весия тел, плавающихнаповерхностиводы. Для качественного объяснения сути дела обратим внимание на то, что плавающее на поверхности воды тело А (например, деревянный брусок) (рис. 9) опрокинется при малом откло- Гл. ЧШ, Гидромехвника 18 ненни его от вертикального положения, этот же брусок в полоясенииВ, наоборот, вернется в прежнее полоясение. Теория устойчивости равновесия плавающих тел, называемая «теорией остойчивости», имеет очень важное практическое значение для кораблей (с ее помощью рассматриваются вопросы Рве, н Равновесие плаваюшсго тела В ус- тойчиво, а тела Л неустойчиво.
др =рю в' ду = — =ролл др дх др , = — РЮ. д Легко видеть, что их общее решение представится формулой р = С вЂ” рбх+ р" гл, гт = х'+ у'. 2 Для точки г = О, х = вв на свободной поверхности имеем р = р, поэтому С = Ре -'г Ррхе ') См., например, 11. А ил ел ь, Руководство теоретической (рациональной) механики, т. 111, Москва, 1911; А. Н. К р ы л о Качка корабля, Ивд-во АН СССР, 1951. непотопляемости кораблей, их качки на волне). Теория остойчивости — хорошо развитая изящная геометрическая теория л), которую лты здесь не будем рассматривать. Рассмотрим еще равновесие тяжелой неравновесие жидкости сжимаемой жидкости относительно враотвосительно подвижных щающейся с постоянной угловой скоростью то системы координат. Пусть мы имеем сосуд, который вращается вокруг вертикальной оси г с постоянной угловой скоростью ю (рис.
10). Определим форму свободной поверхности налитой в сосуд жидкости при условии, что оиа находится в покое по отношению к сосуду. В правую часть уравнений равновесия (1.2) в этом случае, помимо силы тяжести, следует ввести центробежную силу инерции. Уравнения относительного равновесия имеют вид 1 1. Гидростатика 19 и рю' Р = Ро + М (зе — з) + — г'. 2 Уравнение свободной поверхности жидкости, р = ре, имеет вид ю'г' се =— 2у на которой Рис. 10. Равновесие несжимаемой тнидкостп в сосуде, вращающемся с постоянной угловой скоростью ю. Рис. 11. Равновесие жидкости в цистерне.
двигающейся с иостовнным ускорением. уровень свободной поверхности жидкости получится наклоненным к горизонту под углом ф = агой (а!д). Направления суммарных массовых сил (снлы тяжести и силы инерции), действующих на каждую частицу жидкости, будут составлять, постоянный угол ф с вертикалью. т. е. свободная поверхность представляет собой параболоид вращения. Аналогичную форму будут иметь и все другие изобарические поверхности. Вектор угад р направлен по нормали к соответствующим параболоидам, как указано на рис. 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
