Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Например, из первой матрицы (3.10) получим только четыре матрицы: (3,14) Легко проверить, что найденная система 24 матриц, представляю- щая группу 374, является решением полной системы уравнений (3.7). Причем эта система матриц прп ~ а, | + 0 образует систему всех дейст- вительных решений уравнений (3.7) прп условии, что искомые мат- рицы ортогональны. Рассмотрим теперь условия инварпантности тензора Ть. Система уравнений для а', элементов матрицы преобразования, равноспльная условиям пнварпантпости контраваркантных компо- нент тензора Ть имеет зпд Г1 а т а а эа з+ а «а,а ~а, + а;а,а а т = (О, «з т ь, «««е «в т ь (3.15) причем справа нужно поставить 1 при и = () = 2, 7 =- й =- 3; а = = Р = 3 7 =й «-1; а =() =-1, 7 = 6 = — 2 и положить правую часть равной нулю во всех остальных случаях.
Из (3.15) имеем при а=~=1,7.=6=13 врна =г о=2, у «й= 1,2 а еа =- О, а тате= О, ае«а~т= О, а'еа~, = О, а;а'в=О, а,а в=О, (3.17) при а = р = 3, у = й = 2, 3 а'та л = О, аетате = О, ае,а~, = О, а~«а~, = О, ат,атт = О, а~,а~в = О. (3.18) ') Легко проверить, что при )е;) = 1 верно равенство 2П = 7'з.' ««а где свертка производится по двум одинаково расположенным индексам; однако нв этого равенства не следует ннвариаитность д относительно преобразованпй (3.10) с учетом (З.И). 1+1 0 О'; 0+1 0(, 0 О л-1)! — О 01 0 — 1 01, О 0+11 1+1 О 0 ) Π— 1 О.~ ΠΠ— 1(, 1 — 1 0 0 0+1 О О 0 — 1 ) Нелинейные тенворные фуккцкк Иэ 18 уравнений (3.16) — (3.18) и иэ условия )а';! + 0 следует, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы ) а'~ (! только один элемент может отличаться от нуля; так, если ! а а а а,+О, тол,=аз=аз =аа =а~=а', =О.
Таким образом, получаем матрицы при а',+о прн а', Ф О при а', Ф О )а'~ 0 0 ~~ (О ат 0 ~~ 0 0 а'э~ (О 0 а~а( ~,'а~~ 0 0 ( )О атт 0 Три уравнения (3.15), когда правая часть равна единице при а'~ + О, дают (а'а)'(а'а)а= 1, (а'а)' (а',)' = 1, (а',)' (а'т)' = 1. (3.20) Веп~ественкые решения этих уравнений и уравнений, которые получаются аналогично, при а~,ч'= 0 н а'а ~ 0 даются равенствами (3.21) а, = -~-1, а, = л-1 а,=+1, а,= — ',1 1 а о, =.+1, а, = т1, аа = ~1, а', = -~-1, а а'а = ч-1. Из найденных значений для а', следует, что каждая из матриц (3.19) асщепляетсв на 8 матриц, всего получим подгруппу матриц для /4, состоящую из Зкй = 24 ортогональпых матриц. Нсно, что полученные решения удовлетворяют полной системе уравнений (3.15) н всякое вещественное решение содержится в найденном.
Добавление в качестве определяющей величины тецзора Л, инвариантного только по отношению к группе собственных вращений, прн Ь = +1 приводит к исключению матриц с /т = — 1. Совокупность двух тензоров Оь и Л выделяет из найденной для О„группы 48 матриц подгруппу, состоящую из 24 матриц с Ь = +1. Совокупность тензоров д, Tа и Ж также выделяет из 24 матриц, найденных для группы д, Х„подгруппу, состоящую из 12 матриц с /т = +1. Фактическое выделение соответствующих матриц показывает, что группы преобразований, соответствующие системам из 12 матриц для тензоров д, Ха,.Е итенэоров Хю Ь', совпадают между собой. Эквивалентность отмеченных в таблице тензоров и соответствующих групп симметрии для тетрагональной сингонии вытекает из следующих соображений.
Группы симметрии тетрагональной сннгонии можно получить как пересечение соответствующих групп симметрии кристаллов кубической сингонии и групп симметрии текстур. 1 /а 1а л. и. секав Добззленне ! в52 1 1 1 п, и ав з .' з ,а, аз ив )О О хд( Из ннвариантностн йвл, или йзл, или йзз следует, что аз = аз =- О. з Если вместо е,' потребовать инвариантность вектора е„то это приведет к матрицам преобразования вида (3.22) ь а~из О,, 1 1 2 з а,а О~ ° о о +)( (3.23) Так как 17вл, Лзл и Хлев выражаются толькочерезвекторы базиса е, и е„то инварнантность этих тензоров связана со строением матриц второго ранга: (3.24) Для выяснения структуры матриц й удобно ввести комплексный базис по формулам ,т, =е, + вез,,тз =е,— вез.
В атом базисе тензоры звз„, 0вл и .Озв приобретают вид 2Юзл = Утз+ Ьз 4Ювл = (Узз +.Узз)з 2ХЗы =- ез(зтз+ Аз). Условия инвариантности атих тензоров в вещественном базисе можно переписать в условия инвариаятности в комплексном базисе. Если формулы преобразования комплексного базиса имеют вид ~, =ь",у., Поэтому выделение соответствувощих подгрупп из групп кубической сингонии и из групп текстур можно осуществить путем образования совокупности тензоров из тензоров, задающих соответствующие группы кубической симметрии, и тепзоров, задающих группы текстур. Легко усмотреть непосредственно, что условие инварцантности от меченных совокупностей тензоров для каждого из 7 классов тетра.
тональной сянгонни определяет группы матриц преобразованнй соответствующих группам симметрии именно этих кристаллических классов. ,'[ля обоснования выбора тензоров, задающих симметрию гексагональной н тригональной спнгоний, необходимо рассмотреть условпн пнваРпантности компонент следУющих паР тензоРов: Хзвл и 2 з 3,, 3 е„, Юзл н е,, з.з.„, и е„". Условие ннвариантности диады е, выделяет в качестве допустимых матриц преобразования координат только матрицы следующого вида: Нелвееевые тевзорвые функцвп то связь между матрицами ) а, (~ и 1 Ь, ,'( определена равенством 1 1 ~ 1 — т ~ ~ ! 1( ~1 (3.25) з 2 Условие инвариаптности теязора Оы приводит к следующей системе уравнений для Ь',: Ь",Ь',Ь' + Ь". Ь'.,Ь' )'1 прв а = 3 = т, '+ - ~ з (авеста: ~ х зуча.-, которая в раскрытом виде равносильна уравнениям (Ь ) + (Ь е) =- 1, Ь', (Ь „)' -, 'Ь' (Ь )' = О, (Ь ~)'+ (Ь )' = 1, Ь ~ (Ь ~~'+ Ь э(Ь з)' = О. (3.26) все решения уравнений (3.26), удовлетворяющие Так как а', вещественны, то из формулы (3.25) Ь, и Ь',=5~о Учитывая это, получим шесть матриц Легко найти условию (Ь 1! + О.
следует, что Ь~, = для 1 Ь', 1р ~1 0( )1е 0 ! 1е' 0 )1 0, '1е- '0~) ~е 0 ( (3.27) 16» Ортогональность соответствующих матриц (3.22) получается автоматически. С помощью формул (3.27), (3.25) н (3.22) легко выписать двенадцать матриц, соответствующих инвариантностн тензоров 1>зь, ез, характеризующих класс т 3: ш гексагональной сингонип.
Ин- 2 вариантность комбинации Лзю е, определяет шесть матриц, получающихся из (3.23), (3.25) и (3.27) и соответствующих классу 3 ° т тригональной сингонии. Условия инвариантяости 7узз и е, несколько видоизменяют уравз нения (3.26). Разрешение соответствующих уравнений приводит к системе двенадцати матриц. Первые шесть из них, соответствующие инвариантяости е,, совпадают с матрицами класса 3 ° т (7),ю ез), а другие шесть получаются из первых изменением знака всех компонент матриц. Условия инвариантности 7),„ и ез приводят к матрицам типа (3.22), и в соответствующих уравнениях типа (3.26) необходимо справа вместо +т написать+ 1. Вследствие этого соответствующее решение содержит двенадцать матриц класса ш ° 3: т Добавление ! и еще следующке двенадцать матриц: о о-+), о о+) 'т'0 0 тО О о" о 00~1, )О т 0 ~т'О О ~о о+-) ! 0 т О О 0-1 т -ехр— )О * О~ От' 0' ( 3 ~~о о +)~) Соответствующие действительные матрицы легко выписать с помощью формулы (3.25).
Тензорные параметры для всех остальных классов гексагопальной и тригональной сингоний, являющихся подгруппами групп симметрии, изученных выше, легко получить, рассматривая пересечения соответствующих групп, для которых тензорные характеристики уже установлены. Что касается ромбической, моноклипной и триклинной онагопий, то указанные в таблице тензорные характеристики симметрии очевидны непосредственно. Ясно, что соответствующие совокупности тензоров, задающие группы симметрии, не опрсделяютсв однозначно. В каждом из случаев таблицы вместо указанных тензоров кожно взять другую систему тепзоров, связанную взаимно однозначно с системой текзоров, указанной в таблице. В частности, число и порядки тензороз, определяющих симметрию, можно брать различными. Например, вместо тензоров, указанных в таблице, можновоспользоваться следующим соответствием групп н тензоров '): 2 е,', еаа, е„, .Е, ю е„еа е,,', 2 е,ем е1еа.
еаза т2:те,а 2:2, еа 2т е,' 2;т е,' е,, еа, а 2 еаа, еа', еаа, е„ Логко выразить каждый тензор из этих систем через тензоры указанные в таблице. Обратные связи очевидны непосредственно. Выше рассмотрен вопрос об определении тензоров, задающих группы симметрии кристаллов и текстур. Обратная задача об определении ортогональных групп симметрии, соответствующих данному тензору, ,была разрепюна выше в отдельных важных частных случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
