Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Тензорные характеристики и тензорные уравнения обладают дополнительными пнвариаиткыми свойствами и частными особенностями, когда изучаемые геометрические или физические явления, объекты, законы и свойства допускают симметрию. Ниже развиваются методы для автоматического учета свойств симметрии как в линейных, так и в нелинейных задачах при помощи выделения соответствующих определяющих параметров, что связано с главными посылками в постановках исследуемых задач. Соответствующие выводы о действии симметрии получаются с помощью методов, аналогичных раавитым в близкой по своему существу теории подобия и размерности И.
Предлагаемая работа посвящена разрешению двух основных задач. а) Показано, что свойства текстур и кристаллов можно задавать при помощи тензоров, и фактически установлены простые системы тензоров как совокупности параметрических геометрических величин, определяющих и задающих свойства симметрии для всех 7 типов текстур и для всех 32 классов кристаллов. б) Установлен общий вид формул для теизоров произвольного ранга, когда эти теизоры можно рассматривать как функции системы аргументов, состоящей из ряда скаляров и нескольких независимых теяаоров различных рангов. Обе задачи тесно связаны с рассмотрением системы преобрааоваиий координат, образующих некоторую группу симметрии.
Свойства симметрии играют фундаментальную роль в физике. Специализация вида функций и вида тепзоров различных рангов, ипвариактиых относительно соответствующих групп симметрии, исследована во многих работах. Соответствующие выводы исполь- ') Статья, опублвкованнзя з журнале впрвкладнан матеыатвка к мехаввка», 1963, т. 27, вып. 3. Нелинейные тензорвые функции зованы и послужили источником открытия новых эффектоз в множост ве различных приложений. Сводка основных данных для различных конкретных примеров содержится в книге Дж. Ная Р], там же имеются подробные литературные ссылки на предшествуютие работы.
В алгебре развита общая теория получения и свойств полиномяальных относительно компонент тензоров и векторов скалярных инвариантов относительно конечных групп преобразований. Для всякой ортогональной конечной группы 6 показано ['], что всегда существует целый рациональный базис полиномиальных инвариантов, представляющий собой конечное число скалярных инвариантных многочленов, составленных из компонент данных тензоров и векторов, такой, что через него можно выразить любой инвариантный многочлен, составленный из этих же компонент.
Целый рациональный базис образует систему инвариантов относительно конечного числа преобразований группы 6, но очевидно, что его элементы — полнномы из компонент данных тензоров— вообще не инвариантны относительно любых преобразований координат, хотя и содержат в своем числе такие инварианты. Число элементов целого рационального базиса, зависящее только от группы и от ааданного набора тензоров и векторов, вообще больше числа независимых переменных компонент данной системы тензоров и векторов и, следовательно, элементы целого рационального базиса, вообще говоря, функционально зависимы.
Фактическое построение целого рационального базиса для текстур и для кристаллических групп производилось в работах Деринга [«], Смита и Ривлина [»], Пипккна и Ривлина [«] и Ю. И. Сиротила [т «]. Нине показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно пользоваться полной системой функционально независимых совместных инвариантов [» "], образованных иэ компонент тензоров, задающих группы симметрии, и других тензорных аргументов.
Построение примеров скаляров и тензоров с заданной симметрией дано в статьях Смита, Ривлина и Пиякина [' " "], в книге С. Багавантама и Т. Венкатарайуду [ы], в работах Яна П«], А. В. Шубникова [»» "« "] и Ю. И, Сиротина [''1«д»], В работе В. Л. Копцика ["] рассматривались различные тензоры физической природы, симметрию кристалла он определяет как «группу пересечения симметрий существующих у кристалла свойств, наблюдаемых в данный момент» [стр. 935).
Тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, рассматривались в случае тензоров второго ранга. В этом случае функциональные связи между тензорами сводятся к функциональным соотношениям между квадратными матрицами. В этой области основные результаты сводятся к формуле Гамильтона — Кали и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [" »«~ '» ««] Добавление 1 (тенаоров второго ранга). Однако в этих обобщениях рассматривались в основном только полииомиальные функции матриц и компонепт тепзоров.
1'. Основные понятия. Как известно, тензоры можно рассматривать как инвариантные объекты, независимые от выбора системы координат, которые определяются скаляриыми компонентами н соответствующем базисе. Тензорный базис можно вводить различными способами, в частиости, всегда можно взять в качестве базиса полиадные произведения из векторов базиса координатной системы в некотором многообразии-пространстве. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать только тензоры в трехмерном пространстве.
Пусть х', х', х' — координаты точен пространства и э, э„э, — векторы ковариаптиого базиса '). Обозначим через Ы теизор ранга ги через Н '" е его компоненты в координатном базисе а„э„э,. В дальнейшем будем пользоваться представлением тензора ХХ в виде суммы (1.1) где суммирование подразумевается по всем индексам а„"., а„ пробегающим авачеиия 1, 2, 3. В общем случае формула (1 1) содержит 3" линейно независимых слагаемых, каждое из которых можно рассматривать как специальный тензор.
Заметив, что для одной и той же системы координат можно вводить различные контииуальпые многообразия и соответственно различные векторы базисов. При одииаковых координатах з' и одинаковых компонентах Н '" 'можио рассматривать различные тепзоры, соответствующие раэиым базисам. В частности, такого рода различные многообразия можно рассматривать как различные положения давкой среды при использовании вмороженной лагранжевой системы координат, движущейся и деформирующейся с течением времени [ ). Возможны также случаи, когда для заданной лагранжевой системы координат соответствующие различные многообразия имеют разную метрику.
Таким образом, можно рассматривать одновременно разные тепзоры с данными одинаковыми компонентами, но в рааличкых базисах и в различных пространствах, некоторые из которых могут быть евклидовыми, а другие неевклидовыми (Копйо, Кгбпег, В!1Ьу и др ). Дальнейшая теория будет развита для тензоров в метрических пространствах. Обозначим через сЬ расстояние между точками с координатами х' и х' + сЬ~.
Пусть величина ~Ь' определена формулой ~Ь' = д„фз Ихз. Матрица Щ образует коварианткые компоненты фундаментального метрического тензора д, обратная матрица [[ д" ~ — контравариактиые компоненты. Коитравариаитиые век- э) Система координат произвольная. Нелннейвые тензорные функции 439 торы базиса э' определяются формулами э' = яьеэ .
Для фундамен- тального метрического тензора д верны формулы д = я,зэ'эз = д'зэ„эз = Ьзэ„эз (Ь; — онмвол Нронекера). (1,2) Жонглирование индексами компонент различных тензоров осуществляется при помощи яя и я '. Формулу (1.1) можно представить в виде ХХ = ~ЬН„ (1,3) 6 — 1 где й, — скаляры, а ХХ, — некоторые тензоры ранга г. Дальше оудем всегда предполагать, что тензоры ХХ, линейно независпмы. Очевидно, что р ~( 3". Пусть компоненты тензора ХХ независимо от выбора системы координат являются одними и теми же функциями компонент т тонзоров Х„= Т„'" '"э„...э„, (х =-1,..., т). (1,4) Целью числа р, ..., р„, определнют ранги тензоров л' .
В общем случао числа р„..., р различны между собой и не равны г. По определению назовем тензор ХХ функцией тензоров йт„..., T„,. Тензоры Т„среди которых могут быть как переменные, так и постоянные, являются тензорными аргументами тензорной функции ХХ. Коли из тензоров л'„можно составить 3" линейно независимых тензоров ХХ, ранга г, то в этом случае для тензора ХХ будет верна формула (1.3), в которой скаляры Й, зависят только от совместных инвариантов системы тензоров л' и, возможно, от других заданных дополнительно скалярных аргументов. Ниже рассмотрены только такие тензорные функции, ногда среди тензорных аргументов Х„содержится тенаор д. Тензоры ХХ, можно строить из тензоров ле при помощи двух тензорных операций: умножения и свертывания. Операция свертывания по любым двум индексам всегда возможна в силу наличия среди тензорных аргументов тензора д.
Неопределенное умножение нескольких тенаоров приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Свертывание по 21 индексам понюкает ранг тензора на 21 единиц. Умножение и очевидная свертка данного тензора Х с компонентами Т"Я на тензор Я с компонентами Ь'„Ь',„ приводит к тензору л'е того же ранга с компонентами Темя ... Т)еп... Тенэор рте называется изомером тенэора л. Таким образом, операцию перестановки индексов можно свести к умножению на фунда- Добавление 1 ментальный тензор и к сверткам. По определению тензор, полученный как результат перестановок нескольких индексов, тоже нааывается изомером тензора Х.
Ниже даются способы построения общих формул вида (1.3) для тензорных функций. Для этого потребуется строить линейно независимый тензорный базис ХХ (з = 1, ..., р) через тензорные аргументы (1.4). Построение базиса гл, будет осуществлятьсн при помощи операций умножения и сверток из определяющих тензоров. 2'. Гр ппы симметрии тен5оров. Контравариантные компоненты А""" тензора А допускают группу симметрии 6, заданную системой ') матриц преобразования координат Иа',) ~а*5 =- ~,, р'= рг(х5)) если для каждой из всех матриц группы 15 выполняются равенства (2.1) Группы преобразований, которые допускает фундаментальный тензор д, называются ортогональными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
