Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Иначе говоря, матрицы преобразований для ортогональных групп удовлетворяют эквивалентным системам уравнений ди — ~эвнг ц5 д, — д не лз .«В ц ае (2,2) Легко проверить, что если группа 6 ортогональиа, то из условия (2.1) об инвариантности контравариантных компонент тензора А следует инварнантность э) компонент тензора А с любым строением индексов отяосительно преобразований координат, образующих группу О. Поэтому для ортогональных преобразований мо5кно говорить просто о симметрии тензора н об инвариантности всех его компонент относительно группы О.
Совокупность всех ортогональных преобразований, относительно которых тензор А инвариантен, образует группу симметрии тензора А, Группа симметрии некоторого тензора А может состоять только из тождественного преобразования. Для произвольного тензора второго ранга (несимметричного, А'5+ Ад) группа симметрии состоит из двух элементов: тождественного преобразования и преобразования инверсии. Для произвольного симметричного тензора второго ранга группа симметрии совпадает с группой совмещений трехосного эллипсоида. Если тензорный эллипсоид явлнется эллипсоидом г) Для простоты нумерация элементов матриц группы о опускается, так что в записях а'. будет вместо т )~', где т = 1, ..., Ь, а Ь равно числу элемея[т).5' тов группы О.
') Если группа 6 ие ортогональна, то иэ равенства (2А) не следует т антность комкояецт тенэора А с другим строением индексов, Нелинейные тензервые функции вращения, то группа симметрии будет бесконечной. Шаровой тензор второго ранга имеет группу симметрии, совпадающую с полной ортогональной группой вращений, так яде как и фундаментальный тензор д. Рассмотрим несколько тенэоров Хм ..., ле н обозначим через 6„..., 6 соответственно их группы симметрий. Группа 6, образованная пересечением групп 6„...,6, называется грудшой симметРни совокУпности тенаоРов л'д, ..., хд .
НетРУдно видеть, что тенэоР Л' (Уд, ..., л' ) будет допускать группу симметрии 6; зто следует иэ того, что компоненты тензора Л являются функциямн компонент тензоров хт„которые инвариантны относительно преобразований группы 6; поэтому компоненты тензора Л также будут инвариантны относительно группы 6. В связи с этим очевидно, что группа симметрии тенэора, полученного как результат операции умножения и свертывания нескольких тензоров, будет совпадать с пересечением групп симметрий составляющих тензоров или может обладать более высокой симметрией и содержит это пересечение как подгруппу. Если тензор ЕЕ допускает группу симметрии 6, то число линейно независимых слагаемых р в формуле (1.3) вообще меньше, чем 3".
Для заданной группы 6 и для тензора заданного ранга г число р можно вычислить при помощи теории характеров Ре де~ е"], соответствуюшие таблицы для текстур и кристаллических групп симметрии даны в работах [де дд "'] Если тензор Л нечетного ранга допускает только тривиальную группу 6, состоящую иа тождественного преобрааования, то число линейно независимых слагаемых р = 3"; в атом случае тепзор Л имеет самый общий вдщ. Если тенаор Л четного ранга, то его группа симметрии 6 всегда состоит по крайней мере из двух элементов: тождественного преобразования и инверсии. Для группы симметрии, состоящей только из инверсии и тождественного преобразования, при нечетном г имеем ТЕ= О и, следовательно, р = — О; при четном г имеем р = 3", в атом случае тензор четного ранга имеет самый общий вид.
В формуле (1.3) скалярные коэффициенты й, и общем случае являются функциями совместных инвариантов тейзоров 2'д, ... ~Х и любого числа данных скаляров (например, температуры, концентрации и т. д.). Некоторые из совместных инвариантов могут быть постоянными параметрами, другие — переменными. Обозначим через де„..., йя полную систему совместных ипвариантов ]е '"] системы тенэоров хХд, ..., Х . Иэ полноты системы инвариантов следует, что для всякого инварианта У, образованного из компонент системы тензоров 2'„..., Х, имеет место функциональная связь Е = ~ ]ад,..., ал). По определению инварианты й, сохраняют свое значение и свой -:л.
;эдик функций компонент для любых преобразований координат, инварианты модкно получить с помощью операций тензорного 442 Добавление 1 умножения и сверток, в этом случае инварианты представляют собой однородные полнномы (" м) по компонентам тензоров Х, ..., Х„,. Предположим, что среди теизоров Х„..., Х тензоры Т„, ..., Х,„ (1 ( т ~( т) являются постоянными параметрическими тенэорами.
11усть совокупность тензоров л'„, ..., ~Х допускает конечную группу симметрии 6а. Зафиксируем аначения компонент тензоров х„..., Х, заданных в системе координат х'. После этого инварианты й, сводятся к юн являющимися функциями только от компонент тензоров T , ...,Х„ „ причем в системе координат х' будут верны равенства В других системах координат этн равенства вообще не будут выполняться. Однако зтн равенства будут выполняться для всех преобразований координат, определенных группой 6*, так как при этих преобразованиях компоненты всех тензоров У„ ..., Х инвариантны.
Величины ю,. вообще не будут инвариантны относительно любых преобразований координат. Ясно, что некоторые ю,, зависящие только от компонент тензоров T„, ..., T илн только от компонент тензоров Х, ..., Х„ „ не зависят от преобразования координат. Очевидно, что все величины ю,. как функции компонент тонзоров 7„..., T,, можно рассматривать как инварианты относительно группы 6*.
Таким образом, ннвариантные коэффициенты й, в формуле (1.3) будут функциями П . При применении только преобразований координат из группы ~ь величины й, можно рассматривать как функции только инвариантов ю,. Инварианты ю,. аналогичны ннвариантам целого рационального базиса. Величины ю, совпадают с целым рациональным базисом при подходящем выборе йолной системы инвариантов П, В общем случае особое аначение имеют переменные функционально независимые инварианты. Функционально независимые инварианты можно выбирать различнымн способами. Фактическое построение тензоров Н, через ааданные определяющие теизоры T, ..., Х всегда воаможно и соответствующие общие приемы будут выявлены на примерах. Линейную независимость тензоров Н, можно устанавливать непосредственно на основании геометрических соображений или проверкой прн помощи вычисления соответствующих детерминантов или при помощи других общих методов.
В частности, тензоры Н'„, и Нн линейно независимы, если они ортогоналъны или группы симметрии тензоров Н'„и Н,, не совпадают, так как в противном случае эти два тенаора были бы пропорциональны, что противоречит условиям их симметрии. Однако тензоры, обладающие одной и той же группой симметрии, могут быть линейно независимыми. Пусть тензору ХХ, соответствует группа симметрии 6„.
В ряде случаев удобно и выгодно Рз) теязоры Н, выбирать таким образом, чтобы 6т-з 6з и 6з и... амбр. Незввейзые тевзорвые фувацвв Очевидно, что в качестве первых д линейно независимых тензоров Н', ...,ХХ всегда можно взять 7 ( р тензоров ХХ, ..., ХХ, аависящих только от фундаментального тензора д или от д и тензора третьего ранга Ж Г = ~ бп ~'л (э,э,э, — э,э,э, + э,эзэт — э,э,эз + э,э,э, — э,э,э,). (2.3) Эти тензоры соответствуют нзотропни относительно полной или собственной ортогональной группы. Изотропные тензоры ХХ„..., ХХч ранга г хорошо иавестны из литературы [з з ы ы). Для нзотропных тензоров ранга г в трехмерном пространстве максимальное число д будет равно (з') г=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 д = 0 1 1 3 6 15 36 91 232 603 Все изотропные тензоры ранга г представляют собой иаомеры тензора ХХ„ причем (г = 2й), Число й равно числу различных линейно независимых нзомеров тензора .Н, с учетом симметрии компонент тензора Х".
Коли число г нечетное, то для полной ортогональной группы о = О. Все тензоры нечетного ранга, инварнантные относительно полной ортогональной группы, обращаются в нуль. Тензоры нечетного ранга, инвариантные относительно собственной ортогональной группы вращения с Ь = ~ а.';~ = 1, могут отличаться от нуля только для г ь 3.
При г = 3 имеем ХХ = Ж и, следовательно, о = 1. Наличие симметрии тензорной функции относительно некоторой группы перестановок индексов уменьшает, вообще говоря, числа р и д. Формулы для теизорных функций с наличием соответствующей симметрии по индексам всегда легко получить нз полных формул прн помощи операций симметрнрования или альтернирования по соответствующим индексам н с сохранением только линейно независимых слагаемых. 3'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
