Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Теызоры, задающие геометрическую симметрию текстур и кристаллов (та). Среда называется изотропной, если все ее свойства в каждой точке инвариантны относительно группы ортогоиальных преобразований. Можно рааличать следующие два типа изотропных сред: 1) изотропные среды относительно полной ортогональной группы преобразований координат с Л = +.1, 2) изотропные среды относительно группы вращений с Ь = +1 (гиротропные среды).
Добавление 1 Легко видеть, что в первом случае свойства симметрии характеризуются вполне фундаментальным тензором д. Условие инвариант- ности компонент тензора д можно рассматривать как условие„определяющее бесконечное множество всех вещественных матриц— элементов полной ортогональной группы. Группа вращений с А = +1, определяющая гиротропные среды, является подгруппой полной ортогональной группы. Такую подгруппу можно выделить дополнительньви к уравнениям (2.2) требованием об инвариантности компонент тензора .Е, определенного формулой (2.3). Следовательно, бесконечное множество элементов группы вращений определяется вполне условием внвариантности тензоров д н Ж. Эти два тензора можно рассматривать как тензоры, определяющие группу вращений с А = +г.
Дальше для обозначения групп симметрии мы воспользуемся краткими символами, предложенными А. В. Шубниковым (м м). Согласно А. В. Шубникову полная ортогональная группа обозначается символом О /оо ° ш (образующие элементы группы: пересекающиеся оси бесконечного порядка и зеркальная плоскость симметрии т).
Группа вращения соответствует символу >/со. В 2' приведены данные об общем виде тензорных функций для тензоров любого ранга при наличии изотропии, т. е. когда аргументами являются только д илн д и .Е. Простейшим примером анизотропной среды явля1отся текстуры. Текстурой называется такая среда, для которой все ее свойства в каждой точке инвариантны относительно бесконечной ортогональной группы, содержащей повороты на любой угол относительно некоторой оси.
Очевидно, что группы симметрии текстур являются подгруппами полной ортогональной группы. Проотой анализ показывает, что, включая два типа изотропных сред, возможны только семь различных типов текстур. Соответствующие геометрические иллюстрации для различных типов текстур н соответствующие тензоры и векторы, задающие группы симметрии текстур, даны в прилагаемой таблице (стр. ч46). Справедливость этих результатов легко проверить непосредственно. Анизотропная среда с непрерывным или дискретным строением называется кристаллом, если можно ввести систему троякопериодическнх решеток Бране (с одинаковыми в фиксированной системе координат периодами у разных решеток), имеЮщую те же геометрические свойства симметрии, что и рассматриваемая среда — кристалл.
Совокупность решеток Браве с данными периодами может допускать точечные конечные группы симметрии. Вид этих групп зависит от строения рассматриваемого множества решеток и от вида элементарного параллелепипеда периодов. Как известно [ь 'Ч, имеется только 32 различных класса симметрии кристаллов, описываемых конечными точечными группами. В таблице (стр. 446) приведены характеризующие данные для всех Нелинейные тенаориые функции 32 классов кристаллов; соответствующие геометрические фигуры иллюстрируют каждую из групп симметрии. Единичные векторы а„е„е, образуют ортогональный кристаллофизкческий базис, на чертежах указана ориентация этого базиса относительно фигур симметрии кристалла. В левом углу кадкдой ячейки дано обозначение соответствующей группы по А.
В. Шубникову, кроме того, в каждой ячейке приведены символы установленной нами совокупности простых тензоров, характеризующих и задающих данную группу. Определение соответствующих тензоров дано формулами, приведенными в этой же таблице '). Рассмотрим тензоры, определяющие симметрии групп кубической сингонии. Докажем, что тензор О„инварнантен относительно группы из 48 преобразований, дающей изоморфное представление группы 6/4, и что нет никаких других преобразований, относительно которых тензор Ол инвариантен.
Для доказательства найдем все вещественные преобразования, относительно которых теязор О„ инвариантен. Условия иннарнантностл контравариантных компонент тензора О„равносильны следующей системе нелинейных алгебраических уравнений для девяти элементов матрицы преобразования К(: а*даедатда'д — ', а",а,а',а', д- а",ае,а",а', = (3 1) (О' Правую часть нужно положить равной единице, если а = р = у = = 6, и нулю в остальных случаях. Полагая здесь а = () и у = Ь, при и + у получим уравнения (а"д)т (атд)д + (а*,)е (а',)' + (а"е)' (ате)д =- О (и ч'= т). (3.2) Отсюда следует, что а"да; = О.
(3.3) Так как определитель )а'1! чд= О, то из равенств (3.3) следует, что в каждой строке н в каждом столбце матрицы /~а",/! имеется только по одному элементу, отличному от нуля. Так как (а"д)в+ (а",)в+ (а"е)в= 1 прн а = р = у = Ь согласно (3.1), то для каждого вещественного элемента матрицы )! а"д ~, отличного от нуля, верно равенстно (3.4) На основании перечисления всех возможных случаев из (З.З) н (3.4) следует, что матрицы, состоящие из элементов (а е)е, равных 1 д ) В этой таблице и в дальнейшем степени векторов понимвютсл нан дивдныв или полнвдныв проиээедежн. х', хт, хе — кристалиофизичеокие декартовы координаты динаты дх дх1 ег = едеэез — еэедеэ + егеэед — еэе,ед + еэедез — еде,е, — .
=- л (ээээээ — э,э,э, + ээээээ — ээээээ -(- э,э 2 — э э 2 ), Я=еде, — езед = — (а да э — а"за д) э„э — — а"да з(а„э — э э„), «В ° В В Сз=е +е +е =(а да,а да э+а,а за за 3+а эа аа за э)э„ээа эз, а В т 3 а Ь 2„3 э В т 3 уз=а„е, -(-е,е -(-е е, хд — — едезез+еэедеэ+езеэед +езеэед+езедез+едеэег, 2 2 2 2 2 2 3'.д 3 — — е — е е — егедез — е е, зз , =- е (е — е е — е е е — е е ), а 2 3 3 2 2 з д дз 2 Д З 2 Д ДЗ азз 2 1232 — — (е' — едез — е е ез — е е ), 3 2 2 г 12 = ),дде + азге 2 + )ээе = )эдда"'.а, „эаэ —— «"ээээ 23 1 2 3 ° э ° Д а В а В ()дд 2УзФ)Р-3)ддд ЦО дД«В г)Вэ) С = зз, + эдд)е е.
= С" Вэ„э; эд~д = — одгг +'О. Добазлекяе ! (3.5) 010 001 100 1001 010) 001 010 100, Получилась система, состоящая только из шести матриц. Если согласно (3.4) учесть возможности в различии знаков для а"„то каждая из шести матриц (3.5) порождает 8 матриц для (а~т1, например, первой из матриц (3.5) соответствуют матрицы +1 0 0 0+1 0 0 0+1 +1 0 0 0+1 О 0 0 — 1 +1 О О 0 — 1 О, 0 0 — 1 (3.6) Нак известно, по определению группы симметрии куба 6/4 полная система матриц типа (3.6) для каждой из матриц системы (3.5) образует полную группу матриц преобразований симметрии куба для группы 6/4, состоящей из 6 Х 8 = 48 матриц, которые ортогональны. Таким образом, всякая матрица, соответствующая решению системы уравнений (3.1) может быть только одной из матриц системы (3.6), состоящей из 48 матриц, С другой стороны, легко убедиться в том, что верно и обратное предложение: каждая матрица из найденной системы 48 матриц дает решение системы уравнений (3.1).
Найдем теперь матрицы групп преобразований, сохраняющие инвариантным тенэор М'з. Условия инвариантности контравариантных компонент тензора Tз равносильны следующей системе нелинейных алгебраических уравнений для девяти элементов матрицы либо 0 могут иметь следующий вид: / — 1 0 0 0+1 0 0 0+1 — 1 0 О 0 — 1 0 0 0+1 — 1 0 0 0+1 0 0 0 — 1 — 1 0 0 0 — 1 0 0 0 — 1 Нелинейные теввореыо фувкцвв преобрааовения а; озв иве (1 +азиза 4+аза,а (3.
7) В правой части (3.7) нужно поставить единицу, если а, р, 7 различны, и поставить нуль, если одинакова хотя бы одна пара индексов из а, р, 7. Возьмем из (3.7) уравнения, для которых 7 = р. Зти уравнения имеют вид (" ,',',) . (3.8) а"глззазз + а'иза4азз + ад,аззааз = О Так как ) а';) ф О, то из системы уравнений (3.8) следует, что а 1а 1 = О. з, а (3.9) Здесь р — любой фиксированный индекс.
Отсюда и из условия )а,) + 0 следует, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы (аз 1 ~, 'имеется только один злемент, отличный от нуля. Таких матриц с разным строением индексов у элементов, отличных от нуля, имеется только шесть: 0 0 сы (ЗЛО) 0 Ь, 0 Уравнения (3.7) с различными индексами а, Р, 7 дают (3.11) а4Ьзсе = 1 б = 1, ", з) Легко видеть, что для ортогональных преобразований, когда выполнены условия Х 1 (1 прв з=д 4=4 (3.12) верны равенства аз= -+1, (3.13) Ь,=+-1, с, = +-1 В общем случае для получения представлепия группы симметрии 3/4 требование об инвариантности тензора Хз необходимо дополнить з/4 15 Л. И.
СеДов аз 0 0 Ь, 0 0 )О а, 0 0 сз о аз о 0 0 О 0 с, 0 0 0 аз 0 Ь,О с, 0 0 0 аз о Ьзо 0 О 0 сз 0 0 ае Ь,О О 0 с, 0 Добавление 1 условием инвариантности тензора д, так как только в этом случае условия (3.12), входящие в определение кристаллических групп симмегрии, будут выполнены '). Система матриц (3.10~ вместе с условиями (3.13) определяет 48 матриц группы симметрии 6/4, однако добавочные равенства (3.11) выделяют подгруппуиз24 матриц, у которых либо а,. =- о, = с,. =- 1, либо сразу два элемента из трех чисел ап Ьп с, равны — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
