Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Если вместо Л,», е„ез в качестве определяющих тензоров взять е„е, и е„то последнюю формулу для тепзоров четвертого ранга »!онако намелить формулой А = йоме,е;е,е, -(- й"з'"е,езе,е, + й'"зе,езе,ез + + 1самзезезе„ер + й'*ззе,е„е еа + )сдав»еде„в ез + + 1с ззз+ е„е,еаез+ 1сззззезе,езез (а) где суммирование производится по индексам д, 1, й, 1, о, р, прииимающим только два значения: д и 2. Простой подсчет показывает, 4Э1 Добаалевгге 1 Нелвявйвыа теваорвые фувкцви что в этой формуле имеется 41 слагаемое, причем их линейная независимость очевидна непосредственно.
Нетрудно видеть, что для тензоров четного ранга н, в частности, для тенэоров четвертого ранга для классов моноклинной сингонии 2: нг, 2 н ги соответствующие определяющие параметры могут быть заменены одной и той же системой тензоров е,, е„п е,,', поэтому можно пользоваться одинаковыми формулами. Таким образом, для всех классов мовоклннной сннгонии для тензоров четвертого ранга применима формула (*). Легко также усмотреть, что тензоры чотвертого ранга для ромбической сипгонип с 21 линейно независимым членом получатся нз формулы (*), в которой надо взять члены с г = ), й = 1; г = 1, ) = 1 и г=1,1=)гна Таким образом, ясно, что прн построении общих формул для тензорных функций первоначальный базис аргументов иногда выгодно видоизменять применительно к рассматриваемым отдельным случаям. Триклиннал сигггонил Класа 2 )Сг) А' = О, А" — общий случай с 9 компонентами, Агы = О, Аггг' — общий случай с 81 когщовемтой.
Класс 1 1аь еь еа) Все теваоры имеют общий авд с отсутствием симметрии. 5~. Тепзорные ф„икцин для текстур и кристаллов при наличии дополнительных тензорных аргументов. Допустим теперь, что, кроме тензоров, задающих геометрические свойства текстур и кристаллов, среди определяющих величин — независимых аргументов имеются еще другие тензоры. Очевидно, что в этом случае группы симметрии совокупности определяющих параметров являются соответствующими группами влн подгруппами текстур нлн кристаллов. Подгруппы, отличные от кристаллографнческих групп, могут возникнуть только прн рассмотрении текстур.
При добавлении других тензоров к тенэорам, определяющим кристаллическую симметрию, будут получаться опять группы кристаллической симметрии либо группа симметрии сведется к тождественному преобразованию. Все подгруппы данной группы кристаллической симметрии содержатся среди 32 кристаллических грушг, поэтому при добавлении других тенэоров к тензорам, задагощнм симметрию кристаллов, группы симметрии совокупности аргументов будут принадлежать также к одной из 32 кристаллических групп. Сокращение числа линейно независимых компонент у определяемого тонзора в общем случае может возникнуть только при наличии соответствующей симметрии.
Очевидно, что упрощения в случаях кристаллов возникают, когда совокупность определяющих параметров допускает нетривиальную группу симметрии. Посло выяснения типа кристаллической группы симметрии для совокупности тенаорных аргументов можно воспользоваться одной иэ формул в 4' для выяснения строения компонент определяемой тензорной функции.
из 4' чя сТакнм образом, можно воспользоваться формулами из для установления строения тензорных функций в общем случае для кристаллов. Для фактического выяснения природы соответствующих формул необходимо изучить свойства симметрии совокупное пностн заданных аргументов, что для кристаллов равносильно предста в— е ставлению определяющих тензоров через совокупность тензоров, характеризующих кристаллические классы, отмеченные в таблице. Приведенные вьцпе соображения позволяют легко проанализировать болыпое число разных частных случаев, когда д г а ополнительные тензоры специальны или имеют специальный вид в кристаллофнзнческих осях. При наличии дополнительных тензоров скаляры й, в общем случае являются функциями совместных ннварнантов до о ополнительных тенэоров и тензоров, задающих симметрию текстур илн кристаллов. Переменные совместные инварианты возникают эа счет дополнительных тензоров.
Число функционально независимых ннвариантов в общем случае равно числу функционально независимых компонент переменных тензоров. В некоторых частных случаях число функционально независимых компонент может быть меньшим. Скалярные аргументы ю, в фиксированной системе координат, в функции которых могут быть определены коэффицнен ффи ненты й, в общем случае ыолгно выбрать так, чтобы они сохраняли свое з ли свое значение для Различных переменных тензоров, эквивалентных с точки зрения симметрии текстур или кристаллов соответственно. Такие ар уг.
акне а гументьг, установленные в фиксированной системе координат, могут отличаться от инвариантов Й, при любых преобразованиях координат и совпадать с ними (ю, = Й,) в данной фиксированной системе координат. 6'. О теизоре кривизны рнманова пространства и обобщение геоРомы Шура. Теория, развитая выгпе, связана непосредственно со всеми закономерностями, рассматриваемыми в математике и ф математике и физике, которые формулируются в виде векторных н тензорных уравнений и котоРые в той или иной степени связаны со свойствами геометрической симметрии.
Существующие приложения многообразны: укажем, например, закон Г ка ля текстур и кристаллов, пьезоэлектрические и оптичеу окне эффекты и т. п. В качестве одного из примеров рассмотрим ен р кривизны КРистоффелЯ вЂ” Римана В.гаг. Как известно, этот тензоР г ксов й и антисимм ричен при перестановке индексов г и 1 для индексов й ет овг ий1. 1 и симметричен относительно перестановки пары индексов 11 и 17 Л. И. Седов 4э2 Добавление 1 В случае трехмерного пространства среди компонент Л,.1ы имеется только шесть компонент, которые могут принимать независимые произвольные значения. Эти шесть компонент определяют шесть компонент симметричного тенэора второго ранга К ", который можно ввести по формуле Кмв рптКмиЛ .
Отсюда (6.2) Лпы = 4 К1Ь КтыК Как известно Р1), компоненты тензора кривизны удовлетворяют тождеству Бианки Р1'Лижи + Рп~Лпвг + ~ аФ.ьл где индексы т, и, г различны между собой, а 7, — символ ковариантной производной по координате х'. Легко усмотреть, что тождество Бианки эквивалентно следующему тождеству для компонент тензора К"'": Кл1а 6 (6.3) Если в точках риманова пространства тензор кривизны допускает симметрию какого-либо типа, то на основании развитой выше теории легко написать общие формулы, определяющие компоненты тензоров Л,чм и К "через компоненты тензоров, задающих соответствующие группы симметрии. Например, для симметрии типа текстур верны следующие формулы: для симметрии оо/ о ° вг и оо/оо уров й язв, (6.4) для симметрии оо ° и, т ° оо: ш, со: 2, сс: вт, оо К "= йу "+ йгЬ Ь" (6.5) где Ь вЂ” компоненты единичного вектора, направленного вдоль оси симметрии.
Аналогичные формулы можно написать в любом случае, когда компоненты тензора К " допускают какую-либо конечную группу симметрии. Например, при наличии симметрии, отвечающей любому из пяти классов кубической сингонии, верна формула Кто й ~вв (6.6) Следовательно, в этом случае тензор К"'" является шаровым, так же как и в случае полной изотропии. Из (6.2) и (6.4) — (6.6) следует соответствующие формулы для компонент тензора 463 Нелииейвые текзориые функции Из формулы (6.4) и из тождества Бианки (6.2) следует 6-«Р„й = 6.
(6.7) Равенство (6.7) выражает собой известную теорему Шура. По теореме Шура из изотропии тензора крививны в каждой точке следует постоянство кривизны во всем пространстве, так как из (6.7) получается Й =- сопз1. В данном вьппе докавательстве теоремы Шура содержится обобщение этой теоремы, заключающееся з том, что для выполнимости теоремы Шура нет необходимости требовать полной иэотропии кривизны в каждой точке пространства. Достаточно выполнения в каждой точке условий симметрии группы 3/2, т.
е. инвариантности компонент тенэоров К " или В,пг," относительно 12 преобразований группы симметрии 3/2. Коли крививна определена в каждой точке постоянными коллинеарными векторами Ь', то тождество Бианки дает (6.8) Чус + Ь"Ь ЧДс, = О. Уравнения (6.8) представляют собой систему уравнений, наложен ных на кривизну, для соответствующих римановых пространств Авторы выражают свою благодарность Ю. И. Сиротину, беседы с которым помогли им уяснить пололсение дел в кристаллофизике— области'науки, новой для них.
ЛИТЕРАТУРА К ДОБАВЛЕНИЮ ! 1. С е д о з Л. И. Методы подобия и размерпости в механике, пад. 4-е, Гостехиздат, 1957. 2. Н а й Дж. Физические свойства кристаллов, ИЛ, 1960. 3. В е й л ь Г. Классические группы, ИЛ, 1947. 4. В 5 г1 и 8 Вг. В!е В!сЫцпбзаЬЬапб!ЯЬе!! йег Кпиа1!епегб!е, Аппа!еп йег РЬуз!Ь, 195Э, 7. Ро!6е, Вй. 1, Ней 1 — 3, Я. 104 — 111. 5, Я ш ! ! Ь О. Р., В ! ч ! ! и В.
Я. ТЬе ап1зо!гор!с !епзогз, Оцзг!ег!у о! Арр!!ей Ма!Ьешапсз, 1957, чо1. 15, №чз, рр. 308 — 3!4. 6. Р ! р 1с 1 и А. С., В ! ч 11 и В. Я. 'ГЬе 1огшц1анов о1 сопзмщпче ецпапопв !и соп!!пцпш рЬуе!сз. Раг! 1, АгсЫче 1ог Вас!опа! Месьашсз апй Апа1умз, 1959, чо1. 4, №'2, рр. 129 — 144. 7. С и р о т и и Ю. И. Авизотропвые теизоры, Докл. АН СССР, 1960, т. 133, № 2, стр 321 — 324.
8. С и р о т и и Ю. И. Целые рациальвые базисы текзоркых иивариавтов кристаллографических групп, Доил. АН СССР, 1963, т. 51. 9. Г у р е в и ч Г. Б. Осиовы теории и алгебраических иквариавтов, Гостехиздат, М.— Л., 1948. 10. М а л ь ц о в А, И. Основы линейной алгебры, Гостехиздат, М., 1956.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
