Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Отметим, что развитие статистических теорий для вывода макроскопических закономерностей, базирующееся на уравнении (6) на микроскопическом уровне, всегда связано с некоторыми существенными добавочными универсальными и частными допущениями, не вытекающими непосредственно из уравнения (6). Обратимся теперь к разъяснению смысла основного вариационного уравнения, которое можно взять как исходное, базисное уравнение для макроскопических сред с внутренними степенями свободы.
Для простоты и большей общности рассмотрим дальнейшую теорию в рамках специальной теории относительности в предположении, что пространство — время псевдоевклндово. Опыт и ближайшее рассмотрение показывают, что развитие теории с использованием четырехмерного геометрически определенного физического пространства — времени и четырехмерных векторов и тензоров очень удобно, естественно и в важных случаях с физической точки зрения совершенно необходимо. В фиксированной системе координат наблюдателя наряду с действительными движениями и процессами, описываемыми точно или приближенно при помощи кусочно-гладких функций лз я)с) )ья да) 5' (~н) введем мысленно некоторый достаточно широкий класс кусочно- гладких допустимых функций, содержащий по условию систему Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 473 функций (7), х~(~а) .
хг(га) 1 л з ) " (сьа) = )ьл ба) + б)г' о (вг)= о(з") + о~', и по смыслу величин Кв (за) полагаем, что бкв Д') — О, Функции х', )га, Урассматриваются в точках некоторой области системы событий четырехмерного объема г'е пространства — времени, ограниченного трехмерной поверхностью Хе. Дальнейшее построение связано с предположением, что в классе допустимых функций вариации бх', б)ьл и Ы в объеме Ре непрерывны вместе со всеми производными, входящими в вариацпояные уравнения, и обла дают достаточным произволом, а вариации дх,', бу,хп ..., МРь)гл„...
выражаются через функции х' ($а) и )ья я") для дойствительных явлений, через вариации бх' и б)ьл н через их производные по координатам х'. Существенной новой особенностью дальнейшей теории будут следующие обстоятельства: 1) вариации бх' определены как компоненты четырехмерного коптравариантного вектора, а вариации б)гл — как компоненты тензоров той гке природы, что и )гя; 2) на границах Хз произвольных объемов Г„~ Рр вариации дх' и 6)гл и их производные могут быть отличны от нуля ив известной степени произвольньь Основное базисное уравнение напишем в виде 3 ~ Лг)т+ оИ'*+6))' =- О, (9) где Л вЂ” плотность функции Лаграня:а.
Для материальной среды Л мох~но задавать формулой ') Л = — ри (Гм, х)), Рах ', ..., Рл, Реал, ..., У, Кв ), (1()) где р — скалярная плотность (отношение массы покоя к трехмер. ному объему в сопутствутощей системе координат), и — внутренняя г) К варьируемому иятегралу по уг можно прибавить члены, учитывающее яаличие величины 0з в формуле (5), которая может вообще меняться аа счет развития границы Ве п поверхвостев разрыва зиутрп Уо В налагаемом ниже осковвом варианте теории такой добазочвый член ве вводится. В аргумевтах формулы для Л среди параметров рл выделена автропия 3, причем среди аргументов Л ке звачатся градиегггы энтропии о.
Дальнейшую теорию можно распространить вепосредстзеиво ва случай, когда звтропия не выделяется специально, а отождествляется с одвим из вараметроз )г~, входящим в й вместе со своими градиевтами любого порядка. 474 Добавление 11 энергия, рассчитанная на единицу массы покоя в сопутствующей системе координат.
В специальной теории относительности величину и можно рассматривать как четырехмерный скаляр. Первый закон термодинамики гласит, что функцию ир дт можно ввести для любой физической бесконечно малой частицы. Установление аргументов и вида функции и — это основная фиаическая задача, возникающая при конкретизации модели сплошной среды. Фиксирование внутренней энергии как функции своих аргументов всегда связано с некоторыми допущениями, часть из которых иногда может показаться очень естественной и само собой разумеющейся. На практике часто значения переменных параметров можно рассматривать как характеристики малых возмущений, в связи с этим во многих случаях функцию и можно рассматривать просто как положительно дефиннтную квадратичную форму определяющих малых переменных параметров.
В этих случаях проблема определения функции и сводится к проблеме определения постоянных коэффициентов соответствующей квадратичной формы. При определении этих коэффициентов полезны условия симметрии Р' и) и можно опереться на опытные данные, а в некоторых случаях значение этих коэффициентов можно свявать с молекулярными постоянными на основе статистических теорий (развиваемых с помощью своих универсальных и специфических для данной модели допущений).
Такие коэффициенты подобны модулю Юнга и коэффициенту Пуассона, которые на практике всегда можно легко найти из опытов. Их можно вычислить статистическим путем (на основе некоторых далеко идущих допущений). Однако в ряде случаев расчетные значения из статистики, вообще говоря, не соответствуют опыту для твердых тел. Для газов соответствие между расчетами и опытом лучше, но и в этом случае требуется опытная проверка результатов расчетов. Все же статистические теории позволяют наметить некоторые соотношения между подобными коэффициентами, не очевидные в феноменологических теориях, например, связи между коэффициентами теплопроводности, вязкости и диффузии. В ньютонианской механике в инерциальной системе координат обычно вместо формулы (10) можно пользоваться формулой Л = р ('/аг' — и), где о — скорость точек сплошной среды, а и — трехмерный скаляр, равный внутренней энергии.
В уже развитых теориях функцию Л можно считать известной как для уже определенных моделей материальных сред, так и для электромагнитного поля. В общей теории относительности часть величины Л, связанная с тяготением, известна и служит основой для определения метрического тензора доз представляющего гравитационное поле. Различные обобщения общей теории относи- Модели сплошных сред с звутреввзми степенями свободы 475 тельности, вообще говоря, всегда связаны с изменением или иным заданием плотности лагранжиана Л. Важно отметить, что с физической точки зрения можно говорить о том, что физическая система задана или известна, только в том случае, когда внутренняя энергия или соответственно лагранжиан Л заданы или определены (ь " " м).
Таким образом, с общей физической точки зрения требование о задаяии лагранжиана Л в функции макроскопических переменных з уравнении (9) будет естественным. Выполнение этого требования связано с использованием громадного опыта, накопленного в различных физических теориях и в разнообразных экспериментах. Допущения, выставляемые при фиксировании функцни Л, всегда необходимы и могут быть оправданы различными интуитивными и другими, вообще говоря, наиболее простыми предположениями. Самые непосредственные контакты макроскопических теорий с универсальными физическими принципами, с опытом и со статистическими теориями могут и должны осуществляться при обсуждении проблемы фиксирования функции Л. Обратимся теперь к разъяснению выражения для задаваемого функционала бИ~з, характеризующего внешние объемные в Р4 и поверхностные на Хз взаимодействия данной части среды в р4 с внешними полями и телами и некоторые необратимые действия соседних частей среды, примыкающих к выделенному объему У, вдоль поз ер хи о сти Х э, При адиабатических обратимых процессах и при отсутствии внешних притоков энергии внутри У, и на поверхности Лз часто можно принять просто, что В консервативных системах небесной механики всегда можно считать, что бИГэ = О.
В общем случае феноменологических теорий при наличии внешних к рассматриваемой среде объемных и поверхностных притоков энергии и необратимых процессов, когда в аргументы Л входят производные по $" или х' различных порядков от л' (за) и )г" ($"), общий вид выражения для б ту" напишем в виде бИ" = ~(рЕЫ вЂ” 0,Ь вЂ”;М,~( )Ь— — 1 (Х Е ' Рр;,...7ьбх'+ Х МА'"'рй...р; ЬИ )дэд .
в.+зэ 'з о ч э (11) Здесь через Я+ обозначены две стороны трехмерной поверхности 8 внутри У4, на которой характеристики дэнн<ения могут терпеть сильные разрывы, лз — компоненты единичного вектора внешней 476 Добавление П нормали иа Хэ и Ю+ или Я, Компоненты ч' (Ь Ь )~ М(МА~ МА ) — некоторые задаваемые внешние обобщенные «силы». Величина 0 играет роль абсолютной температуры, и ее можно рассматривать в разных случаях как опроделяеиую или как задаваемую величину. В формуле (11) вариация энтропии 6Я введена как величина, независимая от вариаций бх' и бра. Задание функционала 6И'* связано с проблемой разделения взаимодействий на впутроппие н внешние. Например, если элоктромагнитное поле пли гравитационное поле рассматриваются как внешние объекты, то соответствующие потоки энергии для электромагнитных пондоромоторных сил и для гравитационных сил присутствуют в выражении для 61г'*; если же зти поля включаются в модель среды, то соответствующие полные дифференциалы можно выделять из 6И'э и их нужно включать в выражение для Л.
При перенесении полных дифференциалов из 6И'* в 6) Ллт меняется смысл Л, формула (10) может быть заменена другой аналогичной формулой, в которой вместо внутренней энергии взята свободная энергия, или энтальпия, или другие термодинамические функции состояния. Для необратимых процессов перенесение члена 6И'* целиком в Л невозможно, так как вариация 6Иг*, вообще говоря, неголономна. Определение компонент обобщенных массовых и поверхностных сил ~ и М представляет собой проблему, тесно связанную с теорией диссипативных механизмов, при решении'этой задачи неизбежны различпыо допущения и контакты с уже развитой термодинамикой необратимых явлений. Определение Д и М аналогично основной физической задаче в механике Ньютона об установлении законов для сил, определенных уравнением Ньютона, а в данном случае вариационным уравнением (О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
