Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е., вообще говоря, всегда, когда свойства вязкости и весомости среды существенны. В частности, число Рейнольдса имеет фундаментальное значение в проблемах движения вяэкой жидкости по трубам. Данную выше постановку основной эадачи об установившемся движении тела Задача о даиаеиви тела в бесконечной массе жидкости видоиаменим следующим образом: будем считать, что внешняя среда представляет собой идеальный совершенный газ. Свойства сятимаемости учитываем и принимаем, что процессы в каждой частице адиабатические, обратимые в области непрерывных движений и необратимые при переходе частиц газа через скачки уплотнения, присутствие которых в потоке допускается. В задаче об обтекании неподвижного тела в бесконечности имеем эаданныедавлениер ,плотность р и скорость потока л .
В этом случае распределение характеристик состояния и движения газа определяется системой параметров (8.30) 424 Гл. 7И. 0 постановке задач в механике сплошной среды Координаты точек пространства х, у, г берем в системе, связан- ной с телом. Имеем п = 10 и и = 3. Очевидно, что все безраз- мерные искомые величины определяются семью безраамерными параметрами: е р г у — =М а о ' ' 'л' л' ы' (8.31) причем где, как и раньше, а, р — углы, задающие ориентацию набегающего потока относительно тела; и„— скорость звука в бесконечности в набегающем потоке, М вЂ” число Маха. Число Маха М в рассмотренной задаче играет роль, аналогичную числу Рейнольдса или числу Фруда в задачах, рассмотренных раньше. Среди параметров (8.30), в частности, может отсутствовать линейный размер и', например, при изучении задачи об обтекании бесконечных клина и конуса, когда начало системы координат взято в острие конуса или клина.
В этом случае нозникает свойство автомодельности; вместо трех безраамерных аргументов х/Ы, у/8, г/8 получается только два безразмерных аргумента у/х, г/х. В рассматриваемой задаче для сопротивления и подъемной силы верны формулы следующего вида: И' = сто (а, р, у, М,) р сяи', А =. с,~ (а, ), у, М,,) р Ро', . (8.32) Очевидно, что в идеальном сжимаемом газе квадратичная зависимость сил И~ и А от скорости о из-за влияния числа Маха нарушается. Формулы (8.32) верны как для дозвуковых (М ~.
1), так и для сверхзвуковых (М ) 1) скоростей набегающего потока. При обтекании со сверхзвуковыми скоростями в потоке могут быть скачки уплотнения. Функции сж (а, р, у, М ) и сл (а,р, у, М ) можно определять путем расчета на основании ре|пения гидродинамической задачи или с помощью опытов в аэродинамических трубах. на специальных газодинамических установках или в свободном полете. Рассмотрим классическую задачу БуссиЗадача Буесняеека песка из теории упругости.
Пусть имеется однородная упругая среда, подчиняющаяся закону Гука и заполняющая полупространство. На плоскости, представляю; щей собой свободную поверхность упругого полупространства, по условию отсутствуют внешние поверхностные силы. Начальное, недеформированное состояние полупространства соответствует состоянию, в котором отсутствуют всякие внешние нагрузки и внутренние напряжения. Деформирован- 428 т 8.
Параметры, определяющие класс яелеввй ное состояние вызывается тем, что в некоторой точке свободной поверхности упругого полупространства приложена концентрированная сила У. Для простоты примем, что сила У перпендикулярна к граничной плоскости в недеформированном состоянии. Задача состоит в определении напряясенного и деформированного состояния з упругом полупространстве при равновесия в предположении, что цри удалении в бесконечность от точки О церемещенкя стремятся к нулю. Очевидно, что рещение этой задачи обладает осевой симметрией, причем ось симметрии проходит через вектор силы.
Рассмотрим эту зада~у в рамках линейной теории упругости с линеарнзован- Р ным граничным условием на свободной Ф поверхности, переносенным на начальную граничную иееоэмущенную плоскость. Зто граничное условие имеет вид Ркс. 88. Схема к за- тэ„= 0 даче Ьуссянеска. во всех точках свободной поверхности, за исключением точки О, в которой р„„обращается з бесконечность, но так, что (8.33) где 6 (г) — дельта-функция Дирака. Из уравнений движения, добавочных условий (8.33) и условий в бесконечности очевидно, что вектор перемещения и компоненты тензора знутрепних напряжений определяются следующими параметрами: с, Ь', У, г, 9, где г и 9 — полярные координаты с центром в точке О в плоскостях, проходящих через вектор силы Ф; и — коэффициент Пуассона и Š— модуль Юнга. Уравнения равновесия представляют собой уравнения в частных производных с двумя независимыми переменными г и 9.
Из пяти параметров (8.34) можно образовать только три независимые безразмерные комбинации; (8.35) так как модуль Юнга имеет размерность давления. Отсюда следует, что все искомые безразмерные величины зависят от трех параметров (8.35). Важное значение имеет линеаризация задачи.
Так как величина силы У входит в граничное условие линейно, то очевидно, 426 Гл. ЧЫ. О постановке задач в механике сплошной среды что поле перемещений и внутренних напряжений зависит от силы У линейно, т. е. все искомые компоненты вектора перемещения и компоненты тензора внутренних напряжений просто пропорциональны параметру У!Егз.
Поэтому, зная размерности искомых величин, мы полностью определим их зависимость от радиуса-вектора г. Например, для вектора перемещения тс (ы, К, а, г, 9), размерность которого есть размерность длины, можно написать (8. 36) где у (о, 9) — некоторый вектор, зависящий только от одной переменной координаты. Подстановка формулы (8.36) в уравнение равновесия приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям для искомых безразмерных функций. Эти соображения сильно упрощают задачу. Нужное решение легко получается с помощью интегрирования соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений. й 9. Подобие и моделирование явлений Моделврованне и фнэн ческое подобне Теория размерности и подобия имеет большое значение при моделировании различных явлений.
М о д е л и р о в ан и е есть замена изучения интересующего нас явления в натуре изучением аналогичного явления на модели меныпего или большего маспггаба, обычно в специальных лабораторных условиях. Основной смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам опытов с моделямн можно было давать необходимые ответы о характере эффектов и о различных величинах, связанных с явлением, в натурных условиях.
В большинстве случаев моделирование основано на рассмотрении физически подобных явлений. Изучение интересующего нас натурного явления мы заменяем изучением физически подобного явления, которое удобнее и выгоднее осуществить. Механическое или вообще физическое подобие можно рассматривать как обобщение геометрического подобия. Две геометрические фигуры подобны, если отношения всех соответственных длин одинаковы. Если иавестен коэффициент подобия — масштаб, то простым умножением размеров одной геометрической фигуры на величину масштаба получаются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры. Два явления фивически подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого » 9. Подобие я моделирование явлввяй 427 простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Для осуществления пересчета необходимо знать «переходные масштабы».
Численные характеристики для двух различных, но подобных,явлений можно рассматривать как численные характеристики одного и того же явления, выраженные в двух различнь1х системах единиц измерения. Для всякой совокупности подобных явлений все соответству|ошие безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из размерных величин) имеют одинаковое численное значение. Нетрудно видеть, что обратное заключение также справедливо, т. е. если все соответствующиее беаразмерные характеристики для двух движений одинаковы, то движения подобны. Совокупность механически подобных движений определяет собой режим движения.
Подобие двух явлений иногда можно понимать в более широком смысле, принимая, что указанное выпте определение относится только к некоторой специальной системе характеристик, полностью определяющей явление и позволяющей находить любые другие характеристики, которые, однако, нельая получить простым умножением на соответствующие масштабы при переходе от одного к другому «подобному» явлению. Например, в этом смысле два любых эллипса можно считать подобными при использовании декартовых координат, направленных по главным осям эллипсов. Указанным пересчетом можно получить декартовы координаты точек любого эллипса через координаты точек какого-либо одного эллипса (аффинное подобие). Для сохранения подобия при моделировании необходимо соблюдать некоторые условия.
Однако на практике сплошь и рядом эти условия, обеспечивающие подобие явления в целом, не выполняются, и тогда встает вопрос о величине погрешностей (масштабном эффекте), которые возникают при переносе на натуру результатов, полученных на модели. После установления системы параметров, Крятерив яолабия определяющих выделенный класс явлений, нетрудно установить условия подобия двух явлений. В самом деле, пусть явление определяется и параметрами, некоторые из них могут быть безразмернымн. Допустим, далее, что размерности определяющих переменных и физических постоянных выражены через размерности я из этих параметров с независимыми размерностями (й «..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
