Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Так како" имеет размерность квадрата скорости, то в задаче о поршне, расширяющемся из точки, т. е. при ге = О, с детонационной волной или с волной горения в области возмущенного движения формулы для автомодельного решения задачи имеют вид ( ае д" т Р =' Ра|т(Т— а~ ' а-'ам~' 1 М(у ао Ма ~т а1 "1 "1 (8.5) у1 зев ла1 д 1 В этом случае число постоянных параметров увеличивается, однако движение автомодельно, так как, по существу, имеется только один переменный параметр. При более детальном изучении автомодельной задачи о поршне выясняется, что перед поршнем возникает сферическая ударная волна, распространяющаяся по невовмущенному гаву.
Если рассмотреть характеристики движения на ударной волне, то радиус г, сферической ударной волны для автомодельной задачи будет величиной, определяемой параметрами 410 Гл. ЧП. О постановке задач в механвке сплошной среды Так как из этих величин нельзя образовать безразмерной комбинации, содержащей переменную величину — время то для ге получается формула се = асс)(7, —, —,) .
се ес' аз (8.6) сс',с с (8.8) Для распределения давления за фронтом взрывной ударной волны имеет место формула следующего вида: р = — „/(у,), т). (8. 9) В этой формуле имеются два переменных параметра ), и т, и поэтому задача о точечном взрыве и ее решение не являются автомодельными.
Вид функции ~ в формуле (8.9) можно искать, в частности, путем численных расчетов, с помощью уравнений (6.30) и дополнительных начальных и краевых условий. Можно ставить также задачу и об экспериментальном определении этой функции. В обоих случаях вывод о структуре функциональной связи (8.9) имеет большое практическое и теоретическое значение. Отсюда следует, что фронт скачка в рассматриваемых аадачах как при отсутствии, так и при наличии выделения энергии на скачке расширяется равномерно с постоянной скоростью.
Это очень важяый вывод, которып получен без фактического полного решения задачи. Предыдущие соображения можно расширять и рассматривать всевозможные постановки задач, приводящие к азтомодельным решениям. Обратим внимание, что автомодельность решения обеспечивалась отсутствием характерного линейного размера г„н отсутствием постоянных, нз которых мояшо было бы образовать постоянную с раамерностью времени. Если вместо задачи о расширении поршня с постоянной скоростью рассмотреть задачу о равномерно ускоренном расширении поршня, то автомодельность решения пропадает и соответствующая газодинамическая задача будет принадлежать к задачам более высокого класса трудности.
Применим теперь соображения теории разЗадача о точечном взрыве мерности к задаче о точечном взрыве. поставленной з з 6. Легко видеть, что система определяющих параметров в этой задаче представится таблицей у,р„р„Е,г,п (8.7) Легко проверить непосредственно, что соответствующие три безразмерных независимых параметра (и = 6, сс = 3) можно взять в виде $8. Параметры, определяющие класс явлений 411 Постановка задачи о силь ком парыпе Конечно, полученные при этом результаты будут соответствовать действительности только в тех случаях, когда выполняются предположения, положенные в основу схематизации и постановки задачи (пренебрежение излучением, однородность и начальная неподвижность атмосферы и т.
и.). Отметим, что, к счастью, во многих важных случаях (однако не всегда) данная постановка задачи практически отвечает действительности и, следовательно, полезна. Для установления вида функции (8.9) (при фиксированном у) достаточно одного-единственного расчета при некоторых конкретных данных. Например, если мы проведем расчет для случая искрового электрического разряда в воздухе, то это позволит определить размерные величины для взрыва атомной бомбы. Достаточно произвести один-единственный экспериментальный взрыв с заданной энергией на определенной высоте, т. е. при известных р, ир,, Данные произведенных при этом измерений позволят рассчитать и предсказать данные для всех других экспериментов с другими энергиями Е и с другими известными данными об однородной газовой атмосфере. Каждый такой расчет или опыт позволит получить данные о функции ~ (у, Х, т), которых, очевидно, достаточно для описания точечного взрыва в любых других условиях.
Для концентрированных зарядов, если изучать делствке взрыва на расстояниях, больших по сравкени.о с размерами заряда, по все лсе достаточно близких к центру взрыва, где давление ог взрыва еще очень велико, в постановку задачи и и формулу (8.9) можно внести дальнейшие существенные упрощения, Опыт и теория показывают, что при взрыве на границе области возмущенного движения газа возникает сферическая ударная волна, быстро расширяющаяся по покоящемуся газу.
Давление в покоящемся газе р, включено в систему определяющих параметров (8.7). Влияние давления р, на возмущенное движение газа может проявиться только через краевые условия на ударной волне. Эти условия согласно (6.33) и (6.34) в виде, разрешенном относительно характеристик движения газа за фронтом волны, молшо переписать следующим образом: 412 Гл.
ЧП. О постановке задач в механпке сплошной среды Согласно условинм аадачи здесь принято нее = — ге нет =- — ~ и., = Фта — О, (8Л1) Условия (8.11) представляют собой условия на сильной ударной волне. Эти условия совпадают с точными, когда давление перед скачком равно нулю (р, = 0); это соответствует пренебрежению внутри области, ограниченной взрывной волной, начальной энергией по сравнению с энергией, выделившейся мгновенно при взрыве в центре симметрии. Если при анализерешения и при фактическом решениизадачи о точечном сильном варыве пользоваться вместо условий (8ЛО) условиями (8.11), то давление р, (а следовательно, и т) исключается из перечня определяющих параметров (8.7).
Отсюда следует, что рассматриваемое движение газа при сильном точечном взрыве автомодельно. Распределение характеристик возмущенного движения газа за фронтом взрывной волны при сильном нарыве можно представять в виде и = п20'(7, 2), Р= РФ(7 )) Р = РФ(7 )") (8.12) где пю ре и ре определены формулами (8.11). В формулах (8ЛО) в начальной стадии для сильной ударной волны безраамерная величина Чр,/р,йт очень мала по сравнению с величиной Чр,/Р,К', так как давление за фронтом волны р, значительно больше, чем начальное давление р„.
Неравенстворе «» ~р,характеризует резкий скачок давления на фронте волны †. сильную взрывную волну. Пренебрегая малой величиной порядка а,е/Ю', условия (8.10) для сильной ударной волны можно упростить и заменить следующими приближенными условиями: $8. Параметры, определяющие класс яелеклй 4!8 Очевидно, что радиус г, и скорость фронта взрывной волны Я = Ыгт/с(т определяются величинами е! г1 иэ которых постоянная у безразмерна, а параметры р„Е и т имеют независимые размерности, и из них нельзя образовать безразмерной комбинации.
На основании П-теоремы для г, и Ю верны формулы ~л,'ь ь ге = й~,— ~ ' Рт! (8.13) где и — некоторая отвлеченная постоянная, зависящая только от у. Показатели у размерных величин определены из условия получения для гт величины с размерностью длины. Формулы (8.13), полученные с помощью теории размерности иэ постановки задачи беэ фактического решения всей задачи, определяют собой закон движения ударной волны. При г = О получается, что г, = О, а скорость ударной волны Ю бесконечна. С возрастанием времени г, растет, а скорость1Ю падает. Очевидно, что предположения о сильной ударной волне применимы только в интервале времени, для которого Ю -> а,.
Из общей теории следует, что скорость распространения фронта ударной волны Ю по частицам всегда больше скорости звука перед фронтом волны. Иэ формулы (8.8) для Х и из (8.13) следует, что в качестве Х можно ваять величину (8 14) изменяющуюся в области возмущенного движения в интервале (О, 1). Проблема определения возмущенного движения сводится к определению функций 0'(у, Х), 34(у, Х), Я (7, Х) и постоянной и (у). Условия на ударной волне приобретают простой вид; 7T(у, 1) = У (у, 1) = Я (у, 1) = 1.
(8.15) В центре симметрии условие об отсутствии источника массы сводится к условию об обращении скорости частиц газа в нуль, т. е. 3'(у, О) = О. (8.16) 414 Гл. Ч!!. 0 постановке задач в механике сплогпной среды Условие о постоянстве полной энергии в возмущенном движении газа имеет вид ' »' г»., 1 г»г ~ I — р4л» г)г, т — ! о~ а На основании (8.12) и (8.14) зто условие сводится к следующему.
1=- ., ",ль' 11г"зял-Зр)ЛЧЛ. З5(тч — 1) д о (8.17) Движение твердого тела в бесконечной кассе вязкой несжннаекой жидкости г) Полное исследование н решенно атой задачи дано в цитируемой кинге Л. И. С е д о л а вМотоды подобия н размерности в механико». Это условие можно использовать для вычисления постоянной Лп Очевидно, что функции 3г, од ,"'=.» Х и Я удовлетворяют обыкновен- ~ О /»,»г ным дифференциальным уравнег ~ г»»' »г! А ниям. Эти уравнения необходимо решить в интервале О< Л(1,причем условия(8 15) и (8.16) представляют собой крае7л вые условия на двух концах интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
