Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Скорость Ю, плотность р з н давление рз легко вычислить через оо = лез, р„и р, из трех условий на скачках (6.6) и (6.25). Удельная энтропия за скачком во всех частицах получается одинаковой и постоянной, причем скачок энтропии равняется г, — г, = с 1п — ~ — ) > О. Ре (ю ~' Если скорость поршня постоянна, но направлена в сторону, противоположную газу, то аналогичная конструкция для построения решения приведет к скачку раарежения, который недопустим. В действительности в этом случае скачок не возникает, задача имеет непрерывное решение.
Если скорость поршня переменна и направлена в сторону газа, то скорость Ю получается переменной. Малые изменения скорости поршня передаются вперед со скоростью л + а (н — скорость газа в области за ударной волной), и так как скорость и + а за фронтом ударной волны болыпе скорости фронта й, то обязательно через некоторое время эти возмущения догонят ударную волну и иаменят скорость газа за фронтом ударной волны. Из-за этого ударная волна замедляется или ускоряется, а это в свою очередь влияет на величину скачка давления и энтропии. Таким образом, ясно, что аа фронтом волны получается движение частиц газа с переменными характеристиками по координате (расстояние до поршня) и по времени.
Энтропия в частицах благодаря адиабатичности получается постоянной, но из-за переменной скорости ударной волны Ю энтропия у разных частиц будет различной. Поэтому в области непрерывного движения газа между поршнем и ударной волной не будет баротропии, что видно, например, из формулы — =е ~( — ). 13 Л.И. Седое $ 6.
Поверхности разрыва в идеальных средах 387 щим образом. В начальный момент времени в покоящейся массе невесомого совершенного гааа с постоянными давлением р, и плотностью р, в некоторой точке (центре симметрии вовникающего движения) мгновенно выделяется заданная энергия Е; требуется определить возмущенное движение в простейшем варианте, когда движение частиц газа по предположению адиабатическое.
В этом случае, так нее как и в аадаче о сферическом поршне, образуется расширяющаяся от точки взрыва ранха ввйгвва сферическая ударная волна, отделя1ОЩак ПОКОЯЩНИСЯ Гаэ От ДзкжУЩЕ- ~в вн панай гося гааа в области внутри ударной волны (рис. 55). Все характеристики движения и состояния можно считать функциями только г и 1. Для определения распределения по радиусу всех характеристик состояния и скорости движения частиц газа необходимо решить задачу об интегрировании следующих нелинейных уравнений с частными производными, записанных в сферической системе координат (см. $3 гл. 1У): уравнение неразрывности Ряс. 55. Схема к задаче о точечном нарыве.
дз ' дг + г уравнение импульсов ди , дэ 1 др — + д — + — = =. О, дз ' дг р дг условие адиабатичности (6.30) ( — )+о ( — )--0 з) Подробное полное решегше этой аадачи в конечном виде дано в книге Л. И. С е д о в а еМетоды подобия и размерности в механикеэ, 6-ое нзд., над-во «Наука», Москва, 1967. 13е При интегрировании системы (6.30) необходимо удовлетворить указанным вьппе начальным условиям, изученным вытпе краевым условиям на скачке (взрывной волне) и условию о том, что в каждый момент времени полная энергия газа внутри сферической ударной волны равняется сумме энергии взрыва Е и первоначальной энергии покоящегося гааа внутри сферы Я.
В З 8 мы проанализируем более подробно общие свойства решения этой задачи '). 398 Гл. УП. 0 постановке задач в механике сплошной среды О асанах детонации и горении Если при переходе через разрыв происходит иаменение (выделение или поглощение) энергии и антропии аа счет каких- либо физико-химических процессов (горения, конденсации, испарения, химических реакций и т. п.), то основное уравнение (6.8) изменяет свою форму. Вместо равенства (6.21) при этом получается равенство вида ~2 (Р1' ~1) ь'1 (Р1' р1) Я (6.31) где д* — химическая или другая энергия, освобождаемая при переходе частиц через поверхность разрыва, де ) О при горении или конденсации и д* ( О при испарении.
В этом случае уравнение соответствующей адиабаты Гюгонио можно написать в следующей форме '): Ггз(Р2, ~'2) — ~'2(Р1, )'1) =- —,(Р1+ Рз)(~'1 — Рз)+Ч'. (6 82) 1 Скачки разрежения при де ) О характерны для фронта горения. Скачки уплотнения при де > О соответствуют волнам детонации. Лредыдушио задачи о поршне с плоскими Задачи о поршне е детонационной волной и сферическими волнами можно усложнить, если принять, что образующийся скачок уплотнения представлнет собой детонационную волну.
В этом случае первоначально покоящийся газ является взрывчатой смесью, а за фронтом волны получается другой газ (продукты прореагировавшей смеси). В задаче о детонации смеси перед движущимся плоским поршнем (между поршнем и детонационной волной) тоже получается поступательное движение газа, если поршень движется с достаточно большой постоянной скоростью в сторону газа; Если после возникновения детонационной волны скорость поршня мала, или поршень останавливается, или начинает двигаться в сторону, противоположную газу, то будет решение с наличием детонационной волны, распространяющейся по газу, причем между поршнем и ударной детонационной волной воаникает непрерывное движение газа с переменными параметрами.
Во многих приложениях и, в частности, в Соо~ношениа на неподзиш- основных аадачах аэродинамики об исных ударных волнах длн совершенного газа следовании движения тел с постоянными сверхзвуковыми скоростями используется модель совершенного газа и в системе координат, связанной 1) С подробным анализом соответствующих адяабат Гюгонио можно познакомиться з книгах: Л. Д, Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш н ц, Механика сплошных сред, Гостехнздат, 1994 н Л. П. С од о з, Плоские задачи гндродииамикн и аэродинамики, Гостехиздат, 1950.
$6. Поверхности раарыза в идеальных средах 389 с летящим телом, рассматривается установившееся движение газа с неподвижными скачками уплотнения — ударными волнами. В этих приложениях вместо теории, основанной на анализе адиабаты Гюгонио, испольэуется теория, основанная на рассматриваемых ниже соотношениях. Для совершенного гааа имеем 5г =- — — + сопз1, ае =- ( — ) р , , тзр тр т — 1 р ' (др), На основании (6.1), (6.2), (6.3) и (6.4) легко выразить величины п,х, сих, Рх ирх после скачка через гг„, сш,р„, р, до скачка, Имеем: 2 (т 1 1 а, гг-,г =- е, гое =- и„, ( — + — — (, (6.33) 1,т+1 ' т+1 г(' т+ '1 Ре = т р| 1 1+ т — 1 лг о1 (6.
34) Рг .= 1 Ргис со~ Уиарнап поляра — гипо циссоида Векторы и, и пх определяют плоскость я, совпадающую с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности скачка и череа направление составляющей и„. Возьмем в плоскости я декартовы оси и обозначим через р угол наклона элемента ударной волны в плоскости я к оси х, а через Π— угол наклона скорости к оси х.
Очевидны равенства и, .=. ~гг~соз('р — О) =. исоа'р+ из1п3,! (6.35) п„= ~гг~з1п(р — О) = из1п р — псоз(1. ~ Выберем систему координат так, чтобы для рассматриваемой точки на ударной волне направление оси х совпало с направлением скорости г>, (~гг,~ =- и„п, = 0). Заменим в (6.33) и, и си через и, и и р; исключив )) с помощью (6,35), получим / ах'1 ~ 1 ~иг — — „( — (иг — иг) Пе= (и — и )х т+1 ( иг/ иг — ее+в .
т+1 их е В плоскости годографа скорости ггх (иы пг) в которой по осям координат откладываются соответственно их и ие (эта плоскость соответствует плоскости и), уравнение (6.36) определяет кривую, называемую ударной полярой. Эта кривая является гипоциссоидой (рис. 56). 390 Гл. УП. 0 постановке задача механике спаогпиой среды Каждому значению угла наклона скорости за фронтом скачка 6з на ударной поляре соответствуют три значения величины скорости: точки А, В, С. Из ,«е» »» условия непрерывности кагг , »»»„»6 сательной к скачку составляг — 66«, а" ющей скорости следует, что --,Ю направление скачка, определяемое углом р, получается как направлениеперпендикуляра из начала координат О 1 ~ ~ ~п~ к прямой, проходящей через ьг,т ~ и Щ ~ иг точку О, и точку на гипо- циссоиде, соответствующую l скорости за скачком;на чертеже в качестве такой точки взята точна В.
Очевидно, что для скачка, отвечающего точке С, верно неравенство Рпс. 66. Ударнал поляра — гипо- г„=-= газ — гог ч О. цпссоида. 00 — направление ударной волны, 0й — вектор скорости Позтому согласно (6.10) зтэ после скачка, вектор 00, равен око значение скорости соответстрости газа до скачка вует скачку разрежения, Скачки, соответствующие точкам ветвей гипоциссоиды, уходящих в бесконечность, фивически неосуществимы; зги ветви кривой следует отбросить.
Направление скачков бесконечно малой интенсивности получается в пределе, когда точка В стремится к точке О„а прямая Ог В переходит в касательную гипоциссоиды в точке О . Скачки, у которых скорость т, перпевди- Прямые и косые скачки кулярна к скачку, называются прямыми; уплотнения в противном случае скачки уплотнения называются косыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
