Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Здесь слово «собственная» взято в кавычки, так как ранее мы определили собственнуго систему координат как ннерциальную систему, в которой скорость рассматриваемой точки сред»» равна нулю. В этом смысле при подходе к поверхности разрыва скоростей Я с различных сторон получатся различные собственные системы, так как скорости точек среды с равличных сторон Я разные. Обратимся теперь к установлению услоВыбор системы координат вий на поверхности сильного разрыва.
Пусть при переходе через гладкую (с определенными нормалями) поверхность Я рааличные характеристики состояний и движения среды терпят разрыв. Возьмем на 8 некоторую (любую) точку М. Так как все механические, термодинамические, электродинамические и вообще фиаические 360 Гл. 711. О постановке задач в механике сплошной среды уравнения сохраняют свой вид в любой инерциальной системе координат, то для вывода искомых условий в точке ~11 выберем в качестве системы отсчета «собственную» систему Ке, в которой скорость Я для данной точки поверхности в данный момент времени равна нулю, Я = О. В свяаи с некоторой частью изолированной у~ с™ поверхности разрыва я введем в рассмотгиваеиого к поверхности рение замкнутую поверхность Х как границу объема, полученного следующим способом.
Проведем в каждой точке выделенной части поверхности Я нормаль и отложим по нормали в обе стороны от Я отрезки длиной Ь/2, где Ь вЂ” весьма малая постоянная длина. Совокупность таких отрезков, проведенных из всех точек рассматриваемого участка поверхности Я, образует в данл 1 ( ный момент времени соответствующий Я объем г', ограниченный поверхностью Х (рис.
46). 'Теперь в выбранной системе К* рас- Б смотрим два объема: во-первых, определенный выше объем г', как неподвижный объем, и, во-вторых, объем г'е, как объем подвижный — субстанциоо нальный, связанный с точками материРпс. 46. Схема поверх- алькой среды, причем в рассматриваености разрыва о" н замк. мый момент времени 1 оба эти объема нугой повеРх~ос~и т' совпадают. В следующий момент вре- мени Г + й объем г'е сдвигается относительно своего положения г' в момент 1. Поверхность разрыва Я тоже переме1цается внутри объема г', однако рассматриваемая точка М за'бесконечно малое время ') с)1 сохраняет свое полон|ение, таккак скорость точки Ив системе К* в момент 1 равна нулю.
По определению объем г'неподвижен в системе К*, объем г'е, вообще, подвижен, этот объем неподвижен только в том случае, когда точки среды на поверхности Х в системе К* неподвижны или имеют равные нулю нормальные составляющие скорости на Х. Из формулы (8.15) гл. 11 следует, что для любой интегрируемой кусочно-гладкой функции А (х, у, г, г) в системе Ке имеет 1) В специальной теории относительности элемент времени ле следует взять в системе К*,, з ньютонианской механике элемент св не зависит от выбора ннерцнальной системы координат.
В дальнейшем все рассуждениян, е частности, используемое правило сложения скоростей проводятся в рамках ньютожаиской механики. т 4. Условия иа поверхностях сильиых разрывов 361 место следующее равенство: — ~ А~И = —,~А Нт+ ~Ао„г(с, (4.5) скорости точек среды относительно К* на к Х. Нели поверхность разрыва Я внутри У неподвижна, то для производной от интеграла по неподвижному в системе Ке объему У можно написать где о„— проекция внешнюю нормаль Предел производной от интеграла по жидкому объе.
му прк стягивакил его к точке поверхности разрыва У = — ~А дт = Ь вЂ”, ~А" Ис о' Р в 1 Н д, ас си,) 11ш — — 1 А Ат = О, с-с т (4.6) где Ло — элемент поверхности Я, стягивающийся к точке М. Будем обозпачать характеристики движения и состояния на одной стороне поверхности Я индексоч 1, на другой — ицдексом 2. Выберем по условию нумерацию сторон Я так, чтобы направление нормали соответствовало переходу со стороны 2 на сторону 1. Переходя к пределу при Ь -г О, Ла -+ О, из (4.5) получим кннематическое равенство 1 с' 11ш — — 1 А огт = Агвкд — 4тнем л с г.
(4.7) где о„г и сяз — проекции скоростей точек среды с двух где А* — среднее значение функции А на соответствующем отрезке длиной Ь, перпендикулярном к поверхности Я. Очевидно, что если поверхность Я неподвижна, а величина А не зависит явно от времени, то 1 = О. При неустановившемся движении, когда функция А конечна н непрерывна вместе со своими производными по координатам и по времени с обеих сторон от неподвижной поверхности 8 (на Я могут быть разрывы), величина Х является непрерывной функцией от 8, исчезающей прн стремлении к нулю величины Ь.
Выбор системы Ке определен условием Я= О в точке М. В соседних точках поверхности Я скорость <В+ О, и поэтому поверхность Я вЂ” вообще подвижная поверхность внутри Для бесконечно малого элемента поверхностк Я вблизи точки М скорости Я соседних точек бесконечпо малы, поэтому при стягивании объема У к точке М получим 362 Гл. У11. О постановке задач в механике сплошной среды (4.8) 2.
Уравнение импульсов (см. уравнение (2.2) гл. Ш): ,', ~ р т = ~ рр 1т+ ~ ю„( . т Ф Е (4.9) 3. Уравнение моментов (см. уравнение (3.4) гл. 1П): — ~ (и Х и) р Ыт + — ~ р1с с(т = й ° т. = ~Ьрс(т+ ~В,Ыо+ ~(т Х й')р~(т+ ~(е Х 1тс)Иа. (4ЛО) в т Е 4. Уравнение энергии (см. уравнение (8Л) гл. М) ~й ~~(2 + ) т р + ~(1е„и) с(о — ~д„Ыо -)-~ ",'" рот.
(4Л1) Е Е Ъ' Здесь д„— полный внешний приток добавочной удельной энергии, как тепловой, так и не тепловой (в том числе работа поверхностных моментов и т. п.), через граничную поверхность Х, а Ыд„„,/й — полный удельный добавочный приток энергии аа счет массовых источников энергии эа единицу времени. Добавочный приток энергии означает дополнительный приток энергии по сравнению с притоком механической энергии, учтенным в (4Л1) первыми двумя членами, равными работе макроскопических массовых и поверхностных сил, входящих в уравнение импульсов. сторон поверхности Я на одно и то же положительное направление нормали к Я.
С помощью равенства (4.7) в системе отсчета К» можно выписать все универсальные динамические и термодинамические условия на сильных разрывах для материальных сред. Условия на скачках для электромагнитного поля рассмотрвм после этого. Для удобства выпишем здесь сначала универсальны~ уран"ения полученные раньше основные уравнения механики и термодинамики в интегральной форме. 1. Уравнениенеразрывности (см. уравнение (1Л) гл. 111): ЗЕ4 Гл.
т11. О постаиовке задач з механике сплошной среды где сь, йл и И' — поверхностные плотности распределения на Я соответствующих внешних для среды сил, моментов, притока энергии, а величина Й дает плотность распределения на Я изменения энтропии за счет внешних притоков тепла и необратимого роста энтропии. ~тмасс Очевидно, что если РХ, р7ь и РХ и + р — „, конечны в объеме Г, то .аь = О, (4ЛЗ) вл = О, В частности, так будет обстоять дело, когда внешние массовые силы являются силами тяжести или силами инерции при рассмотрении относительных движений и вообще для любого непрерывного поля массовых сил, в том числе и для действующих на среду пондеромоторных сил, моментов и притоков энергии, обусловленных электромагнитным полем (см.
формулы (5.14), (5.15) и (5Л6) гл. 1Ч), когда электромагнитное поле непрерывно на поверхности Я. На важном случае, когда поверхность Я является поверхностью разрыва не только механических характеристик, по и характеристик электромагнитного поля, величины гь и И' вообще отличны от нуля. В следующем параграфе мы дадим формулы для аь и И' через значения компонент векторов .Е, Н", В,.О на различных сторонах поверхности Я. В разрывах, моделирующих несущие поверхности крыльев, или в случае разрывов — активных дисков, моделирующих водяные или воздушные винты, создающие тягу, величины лъ, И' и, может быть, В отличны от нуля. На разрывах, возникающих внутри газовых потоков, в аэродинамике, в теории варыва и во многих других областях всегда имеют место равенства ль =% = И" = 0 (но 11+ О).
В связи с этим равенство нулю внешних воадействий на скачках является типичным условием, используемым в этих приложениях механики сплошной среды. Из закона сохранения масс на основании равенства (4.7) получим Условия иа полерлиостял раарыва в «собстаси иой» системе отсчета (4Л4) Ртам = Рсо а иа уравнения импульсов (4.15) + 1Эс~ Ргпг"с, = 1аса — Р ' с „, из уравнения моментов (4.16) мс+ Оо~ — Ргит"о~ = Оса — Расоаоса 1 4. Условия ва поверлиостял сильных разрывов из уравнения энергии +1оь ь Рг~ 2 + ьl "ь рж Й1 ~ оь Р ) (4Л 7) и, наконец, из уравнения для энтропии получим Ргов1гь Рьоззгь =- ьг. (4Л 8) При наличии адиабатичности (Ид<4 = 0) величина й (когда Ргг ь = Рап ь:т'= 0), вообще говоря, отлична от нуля. Так как ввцду необратимости йд' ) О, то П = Р г„„(гг — г ) ~ О.
(4Л9) При адиабатических процессах равенство (4.18) можно рассматривать как определение величины Й, которая для реально осуществимых процессов должна быть неотрицательной. Установленные соотношения (4.15), (4.16) и (4.17) при заданных или найденных из решения задач значениях скачков всех входящих в них величин могут служить для вычисления внешних воздействий ьь, % и И~. Кслн равенства (4ЛЗ) выполнены, то полученные условия показывают, что скачки раалпчных характеристик движения и состояния не могут быть проиавольнымя. Начальныо данные можно аадать произвольно, так что соотношения (4.14) — (4.18) могут не выполняться. Зто означает, что в следующие моменты времени данный раарыв не может существовать, произойдет распадение начального разрыва, вообще, на несколько разрывов, среди которых могут быть сильные и слабые разрывы.
Аналогичное положение возникает при столкновении двух или нескольких разрывов. Здесь мы не будем рассматривать важную для приложений задачу о распадении произвольного разрыва. Вид условий (4.14) — (4Л9) удобен для) приложений, когда разрывы неподвижны, в частности для установившихся движений среды. О расиадеиви яро изволь ного разрыва При неустановившихся движениях в рааловерлиоотлл ных системах координат поверхности разрыва в произвольной сираврыва могут иметь различные по величине и по направлению скорости Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
