Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При решении задачи об определении неустановившегося движения идеальной однородной несжимаемой жидкости (система уравнений (1.10), гл. 1У) достаточно задать распределение скоростей во всей области Ю в начальный момент времени. Если область Я представляет собой безграничное пространство, то в ряде случаев начальных условий достаточно для выделения определенного решения. Число и вид начальных данных зависят от порядка системы уравнений. Однако вопрос о формулировке данных Коши и вопросы о существовании и единственности решения нужно решать в каждом конкретном случае особо.
Если область Я конечна или бесконечна, Краевые у«ловля но имеет границу Я, то, кроме начальных условий, для получения определенных решений необходимо еще выставлять и пользоваться специальными условиями на границе Я. Эти условия называются краевыми или граничными условиями. Краевые условия могут быть весьма разнообразного вида. Они выставляются на основании дополнительных физических соображений. Вот некоторые типичные и важные примеры краевых условий. Предположим, что положение и движение граняцах дяя яер ,-, всей граничной поверхности Я или какойя для скоростей либо ее части Я, известны. При подходе к граничной поверхности Я, со стороны сРеды по определению мы имеем контакт между средой и ее границей Я„поэтому перемещения индивидуальных точек среды на Я, и самой поверхности Я должны быть связаны условием сохранения контакта.
При отсутствии проскальзывания точек среды по касательной к поверхности Я» векторы перемещений точек среды «ярр,д и точек повеРхности Я« — «ягр«ц ця будут одинаковыми. Например, так может обстоять дело при закреплении упругого тела на опорах заданного типа, при внедрении внешних предметов в «твердую» деформируемую среду или при обтекании вязкой жидкостью твердого тела заданной формы и во многих других случаях. Очевидно, что при этом на поверхности Я,имеют место следующие условия: ъ» «ясредц .= «яграцицы я«»еды = яграцццы. (1.2 ) Если движение границы Я задано, то при отсутствии проскаль- 1 1.
Общие основы постановки конкретных задач 339 эывания вдоль Я, на этой границе будут иметь место условия (1.2)', в которых вектор перемещения и, ккцк($', $г, $з, 8) и 1 ~кггр. ~ вектор скорости пгоацкцк = ( Л„/ — известные функ- Ь =сспм цни лагранжевых координат б', йг, йз. Такого рода условия часто встречаются в механике зтвердых» деформируемых тел.
Условие (1.2') принимается также в теории движения вязкой жидкости и носит название условия прилипания. В теории упругости главное значение имеет условие для перомещепнй, так как перемещениями определяются тенэор деформаций и напряжения. В теории двнгкення жидких и газообразных тел перемещения частиц не входят непосредственно в уравнения движения, в ннх входят компоненты скорости, поэтому в гидродинамике основную роль играет граничное условие (1.2') для скоростей. Очевидно, что при непрерывных движениях условие для скоростей (1.2') выполняется автоматически, если удовлетворяется условие для перемещений. Воли граница 8, сместилась иэ некоторого начального по- ЛОжЕНИЯ В ДаННОЕ, тО тлгре„лцк (Ь', бз, Р)+ О; ЕСЛИ ПЕРВОНаЧаЛЬ- яо смещенная гран~ща Я, остается неподвижной, то после смещения Ь', скорость пгрьз „„будет равна нулю.
Каждое иэ векторных условий (1.2') для перемещений нли для скоростей равносильно трем скалярным равенствам. Число начальных и граничных условий зависит от порядка уравнения, н поэтому граничные условия и их число различны для разных моделей. Например, динамические уравнения двиУслокке обтекания для идеальной жалкости ткоиия Эилера для ндеальнои жидкости содержат только производные первого порядка от компонент скорости. Уравнения Навье — Стокса для вязкой жидкости содержат вторые частные производные по координатам от компонент скорости.
В обоих случаях естественно и удобно рассматривать граничное условие (1.2') для скоростей. Однако три условия прилипания (1.2') для идеальной жидкости чересчур сильны. При условии полного прилипания к стенкам не существует решения уравнений Эйлера, поэтому для идеальной жидкости и газа необходимо допускать воэможность проскальзывания частиц жидкости на границе с внешнимн твердыми илн деформируемыми телами. Для идеальной жидкости условие (1.2') на Я, ослабляется и заменяется только одним скалярным условием обтекания Лажеле = Рогрмгицы на Ьы 340 Гл. УИ. О постановке задач в мехавкке оплошкой среды где опжвзк и гп грацваы нормальные к Яг составляющие скоростей частиц жидкости и граничной поверхности. Условие (1.3) выражает собой сохранение контакта между жидкостью и заданной поверхностью Я; по этому условию жидкость не может протекать внутрь тел, соприкасающихся с ней по поверхности Я„и не может отрываться от поверхности Я,.
На поверхности Я, ограничивающей некоторые тела, соприкасающиеся с идеальной жидкостью, как правило, имеет место неравенство (1.4) в~ жидк чь в-. тела~ где индексом т отмечены касательные составляющие скоростей к поверхности Я,. В силу неравенства (1.4) имеет место проскальзывание идеальной жццкостн вдоль поверхности Я, движущейся заданным способом. Если движение идеальной жидкости потенциально в =-: = огай ~р, то условие (1.3) можно написать в следующем виде: ар вв жук — — д„— — Ра,р на Следовательно, по условию обтекания на границе Я, задаются значения нормальной производной от потенциала ~р.
Если граница Я, неподвижна, то условие (1.3) принимает вид и„м„„„= О на Яг или ~~ =О На заданных границах, кроме условия (1.2') или (1.3), для различных моделей можно ставить ряд других условий. Например, на Я„можно задавать температуру или приток тепла. При наличии в замкнутой системе уравнений, в которые входят электромагнитные характеристики, на Я задаются условия, например, для векторов .Е, Н и 1. При формулировании граничных условий следует опираться на общие условия на поверхностях разрыва, которые мы рассмотрим в следующих параграфах.
Однако уже здесь мы остановимся подробно на весьма распространенных граничных условиях, которые можно сформулировать с помощью условий на поверхностях разрыва. Во многих задачах граница Я или некоторая ее часть Я области непрерывного движения сплошной среды заранее неизвестна и должна быть определена в результате решения задачи.
На неизвестной границе Я, обычно задаются внешние $1. Общие основы постановки конкретных задач 341 нагрузки. В теории упругости и других теориях на площадках поверхности Я, могут быть иавестны плотности поверхностных сил р„р„„-,— р„. = г(61, ~), (1.5) где М вЂ” точка поверхности Яз. Условие (1.5) дает трисоотношения на Ь' . Такого рода граничные условия типичны в практике инженерных расчетов различных деталей машин. При изучении вопросов о распространении упругих, или сейсмических волн можно рассматривать поверхности„ называемые свободными, на площадках которых поверхностные напряжения могут сводиться просто к атмосферному давлению, действующему по пк этим площадкам. Вэтом случае получим условия Р„„=- — ЄЄ. — О, (1.6) где ре — величина атмосферного давления.
Граничные условия вида (1.5) или (1.6) встречаются также и в аадачах о движении вязкой жидкости, когда ее свободная поверхность является поверхностью контакта с другой вязкой или идеальной жидкостью соответственно, в которой все характеристики движения можно считать известными. В задачах о движении идеальных жидкоуелевня на евебедяей отей или газов также часто рассматрияеверхяостн в идеальной ваются свободные поверхности. Условие идеальности по определению всегда означает, что р„, = 0; поэтому на свободной границе в идеальной среде условия (1.6) сводятся только к одному равенству: (1. 7) Р =Рэ где ре — заданная величина давления во внешней среде, которая, например, на неизвестной заранее возмущенной поверхности воды может приниматься равной атмосферному давлению.
На практике встречаются случаи, когда заданное давление на свободной поверхности отличается от атмосферного, например, на свободных границах жидкости, частично заполняющей закрытые баки, давление Р, может быть любым. При определении движения и формы границ Яз через искомые компоненты поля скоростей нли перемещений требуется также пользоваться равенствами вида (1.2'). При этом надо иметь в виду, что для свободных поверхностей Я, равенства (1.2') связывают только нормальные по отношению к Я, компоненты скорости, так как скорость свободной границы обычно определяется как скорость перемещения этой границы по нормали к ней. В общем случае требуется решать задачи со смешанными граничными условиями, когда объем движущейся среды частично 342 Гл. 711.
0 постановке задач в мехаввке сплошной среды ограничен внешними неподвижными заданными стенками илн стенкамисданными условиямизакрепления, а частично — свободными поверхностями. Кроме того, могут быть части границы с иными видами условий, когда граница задается только частично, или заданные границы с болеесложнымикраевымиусловия, ми, представляющими собой некоторые линейные или нелинейные, конечные илк дифференциальные соотношения между искомыми функциями. С некоторыми из усложненных условий мы познакомимся в следующих параграфах и во втором томе книги. Здесь мы ограничиваемся только указанием на необходимость формулировки и разъяснением смысла некоторых видов краевых условий. Формулировка конкретных задач и их решения будут рассмотрены дальше в гидродинамике, теории упругости и теории пластичности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
