Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 65
Текст из файла (страница 65)
У), второго закона термодинамики ((8.2), гл. ч') и общих уравнений Максвелла ((5.5), гл. У1). ЗЗ4 Гл. И1. 0 постановке задач в механике сплояаой среды Для гладких непрерывных распределений применяемых характеристик дифференциальные и интегральные формулировки эквивалентны. Однако приходится рассматривать также разрывные распределения характеристик явлений в пространстве и во времени. При наличии разрывов проявляется более общая природа интегральных формулировок, сохраняющих смысл и в этом случае. Дифференциальные формулировки сохраняют свое значение в области непрерывных явлений, но нуждаются в дополнительных условиях на разрывах.
При интегральной формулировке такие дополнительные условия в ннх уже содержатся. В следующих параграфах мы выведем соответствующие условия на разрывах из универсальных интегральных соотношений. Как было уже указано выше, для получения систем уравнений, позволяющих обратиться к подробному изучению движения данной сплошной среды, требуется всегда вводить дополнительные гипотезы — предположения, фиксирующие частные свойства и физическую природу рассматриваемой модели. Необходимо выбрать модель. Проблема выбора моделей может служить предметом специальных и обширных исследовании; во многих случаях это основная проблема физики, связанная с ндеалиаацией, схематизацией и с введением различного рода понятий и характеристик.
Выбор и построение новых моделей необходимы для описания открываемых новых эффектов и явлекнй, сущность которых уже известна или только начинает проявляться в развивающихся областях науки и техники. В предыдущих главах мы уже познакомились с рядом важных классических моделей сплошных сред: моделью идеальной жидкости и газа, моделью упругого тела, моделью вязкой жидкости, моделью проводящей жидкости в магнитной гидродинамике и др.
Этот список далеко не исчерпывает совокупность известных моделей; существует ряд других моделей, с некоторыми из них мы познакомимся дальше. В настоящее время в связи с применением новых материалов, расширением диапазонов использования уже употребляемых материалов, необходимостью учета электромагнитных свойств и эффектов в механике, применением условий большого вакуума или, наоборот, очень больших давлений, сверхнизких температур или, наоборот, очень больших температур, в связи с рассмотрением сложных явлений в живых организмах и т. д, н т.
и. проблема построения новых моделей актуальна. Теория постРоения новых моделей в физике и механике в настоящее время развивается интенсивно. Предположения о внешних воздействиях, например о внешних массовых силах ХМ, элементарных притоках энергии Ыф'~ $1 Об|див сснсвн постановки к к и Ыдео, можно вводить дополнительно в рамках каждой фиксированной модели.
В рамках заданной модели можно также ставить задачу об определении этих величин по движению, заданному гипотетически, или по результатам наблюдений и опытах. Необходимость данелии- После выбора модели для выделения оптельиых условий, ~е- ределонного явления илн класса явлелкющих отдельиме дзи- ний — движений требуется выставлять еще дополнительные условия. Это оче видно! В самом деле, в рамках теоретической модели несжимаемой идеальной жидкости можно рассматривать великое разнообразие движений воды, нефти, многих других н«кдкостей и даже воздуха и других газов, когда сжимаемостью можно пренебречь, например: разнообразнейшие течения и волновые движения воды в океанах и морях; движение воды в струях, вытекающих иа сосудов; движение воды через водосливы в плотинах; движение воды, вызванное движением кораблей и подводных лодок в море; движение воздуха, вызванное движением дирижаблей при малых дозвуковых скоростях, и т.
д. и великое множество других проблем. Во всех перечисленных случаях можпо пользоваться одной и той же замкнутой системой дифференциальных уравнений. Следовательно, системы дифференциальных уравнений, выполняющихся в каждой точке объема, аанятого жидкостью, и образующих замкнутую систему, совершенно недостаточно для решения математической задачи об определении полейскоростиидавления в объеме жидкости.
Как известно, общие решенич дифференциальных уравнений движения содержат произвольные функции и постоянные, которые нужно определять из специальных условий. Рассмотрим теперь различные типичные дополнительные условия, выделяющие отдельные движения. Решения математических задач предста- Область, занятая силою вляются в виде функций, определенных иым телом, и иитеркал в точках объема, занятого средой, и интервала времени, в течение которого движение рассматривается.
Интервал времени может быть конечным, может начинаться в некоторый характерный «начальный» момент времени « = ~е или быть «привязанньпг» к нему; рассмотрение движения и состояния сплошной среды может производиться для любых г > г или г ( ~ нли вообще для всех 8 ~» ~е. По смыслу задачи возможны требования отыскания различных характерных моментов времени. Область объема й, занятая движущейся средой, в одних случаях может быть задана, в других неизвестна заранее. Например, область У можно считать известной, когда жидкость движется в данном сосуде и полностью заполняет этот сосуд или когда жидкость занимает все пространство при двюкении около 336 Гл, Ч11. О постановке задач в механике сплошной среды различных фиксированных и заданных варанее преград внутри жидкости.
Во многих случаях область У неизвестна заранее; ее определение должно быть осуществлено, например, в процессе решения задачи о выливании воды из сосуда, при изучении деформации упругого тела под действием заданной системы внешних нагрузок и т. и. В некоторых случаях граница области л1 может состоять из известных частей, например поверхности морского дна, стенок сосудов или вообще подвижных поверхностей тел внутри жидкости, и частей, неизвестных заранее, которые нужно найти в процессе решения задачи, например поверхности волнующегося моря или границы истекающей из сосуда струи и т. п.
Область, занятая сплошной средой, й может быть конечной, например внутренностью сосуда или трубы для жидкости или объемом стержня, балки, детали машины и т. п. для деформируемого «твердого» тела. При схематизации постановки задач часто приходится иметь дело с областью Ю, содержащей бесконечно удаленную точку, когда жидкое или «твердое» деформируемое тело илн электромагнитное поле занимает все пространство или внешность некоторой системы заданных тел или когда имеются струи или полосы — ленты, уходящие в бесконечность.
При решении задач для области Ю. включаУсловия в бесконечности ющей бесконечность, на основе предположений физического характера необходимо задавать дополнительные условия в бесконечности. В качестве таких условий во многих случаях предполагается, что исследуемое явление носит характер местного возмущения и что при удалении в бесконечность состояние и движение среды заданы. Например, при изучении абсолютного движения неограниченного объема жидкости, возникающего цри дэнн<енин в нем твердого тела нонечнь«х размеров, можно принимать, что ири удалении в бесконечность скорость жидкости стремится к нулю, давление — к заданному значению, электромагнитное поле имеет заранее заданные свойства; аналогично можно предполагать, что деформируемое тело в бесконечности находится в естественном состоянии, которое определяется дополнительными физическими условиями, и т.
д. и т. и. В задаче об обтекании неподвижных тел потоком газа или жидкости необходимо принимать, что при удалении в бесконечность вверх по потону, а в некоторых случаях в любом направлении набегающий поток имеет заданные свойства: заданную скорость, заданное давление и температуру и т. и. Однако условия в бесконечности могут носить и более сложный характер, например когда при удалении в бесконечность ио разным направлениям имеет место некоторый регулярный 1 1. Общие основы постановки конкретных задач 337 Особые точки внутри среды —,, =- «(ьп х, — ') (1.1) формулируется следующим образом. Найти такое решение х(з) уравнепия (1 1), для которого при ь' =- 1о выполняются условия Г ььх Ч (х)ь ь — — х, н ( — ) =-х„ (, ьв ) ь=ь, (1.2) где ьс, хс и хс — заданные числа.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что задача Коши во многих важных случаях имеет единственное решение. Дополнительные условия (1.2) называются начальньгми данными или данными Коши. Аналогичным образом можно ввести задачу Коши для дифференциальных уравнений с частными производными и в качестве дополнительных данных для ььестациоььарвых движенИй, и, может быть, периодический процесс, имеются, вообще говоря, различные в разных направлениях волны заданного типа ит.
п. Нередно проблема формулирования дополнительных условий в бесконечности бывает связана с тонкими аффектами, обусловленнымн отсутствием или наличием притока энергии из бесконечности или какими-либо излучениями. Условия в бесконечности можно рассматривать как дополнительные условия в особой бесконечно удаленной точке.
Для учета различных воздействий на среду или поле можно вводить особые точки и в конечной части области ль. Например, можно вводить точечные источники или стоки массы жидкости, диполи и мультиполи по массовому расходу, заряды, диполи и мульти- поли в электромагнитном поле, особые точки различного, но определенного типа для учета эффекта действия концентрированных внешних сил и источников энергии и т. и. Такие особенности могут моделировать действие и присутствие других тол на далеких расстояниях от интересующей нас по смыслу задачи области поля или движения среды. Таким образом, можно вводить в области Ю особые точки, в которых асимптотическое поведение некоторых функций задано; присутствие этих особых точек может обусловливаться также наличием некоторых внешних воздействий, которые не учитываются в уравнениях движения.
В теории дифференциальных уравнений— услоеия обыкновенных и в частных производных— большое значение имеет задача Коши, которая, например, для обыкновенного дифференциального уравнения второго по- рядка 338 Гя, 711. 0 постановке задач з механике сялошяой среды в зависимости от вида уравнений, задавать искомые функции и некоторые производные от иих по времени при 1=1», Например, при решении динамической залечи для упругого тела с помощью уравнений Ламе ((2.26), гл. 1У) нужно аадать начальные перемещения и начальные скорости всех точек тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
