Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(6.5) К динамическим и термодинамическим уравнениям (6Л)— (6.5) нужно еще добавить электродинамические уравнения, а именно уравнения Максвелла 1 дЛ го1К = — —— с д( а(чн =О, ()1т.Е =. 4яр, (6.6) 4а . 1 ди го1Н = — у+ —— с ' с д( и закон Ома, который в обычном варианте магнитной гидроди- намики имеет внд 1 = с(Л+ — в Х ХХ) + Р,в.
(6.7) Система уравнений (6Л) — (6.7) получается замкнутой, если заданы Ыдд,е и Хд„е. (о у а веввя магнитной Рассмотрим важный частный случай, кограввеввя гвдредкваиввв вля ™езе да можно принять, что проводящая среды е бесконечной врово- да, например ионизованный газ, имеет дикостью бесконечную проводимость о. В этом случае уравнения магнитной гидродинамики сильно упрощаются.
1Р Зсд Гл. Ч1. Основные понятия н ураввевкл электродинамики Для бесконечно проводящей среды иэ закона Ома следует, что напряженность электрического поля в собственной системе координат Ж равна нулю, так как плотность токад должна быть конечной. Поле Ж в произвольной инерциальной системе координат определяется через тс и Н по формуле Н= — — и ХН. с (6.8) Для плотности тока д согласно уравнению Максвелла можно написать . 4л 1 д т' — = го$ Н вЂ” — — (и Х Н). с с дс (6.9) В магнитной гидродинамике, как правило, пренебрегают то- ком смещения и вместо (6.9) пишут с у =- — гор Н, 4я (6.9') Плотность зарядов р, определяется с использованием (6.8) через и и Н по формуле р, == — —, 61т (н Х Н"). 1 (6ЛО) Из этой формулы видно, что р, в обычных условиях мало. В магнитной гидродинамике обычно в уравнениях движения пренебрегают членом р,Ю по сравнению с — (,у* Х Н).
Для определения поля магнитной напряженности Н'в среде с бесконечной проводимостью из уравнений Максвелла сразу вытекают следующие уравнения: — = гМ(н Х Н), 6(ч Н = О, дП дс (6.11) этому ршен- орму(6.12) р=Ср. Система динамических (6Л), (6.2), термодинамического (6Л2) и электродинамических (6Л1) уравнений с учетом соотношений (6,9) и (6,10) замкнута. к которым в этом случае, по существу, сводится вся система злектродинамнческих уравнений, джоулево тепло ('/р)ду Жс(1 равно нулю для среды с бесконечной проводимостью, так как Й = О. Если процесс адиабатнческий, то ддд1",с = О, и по а = сопэФ в частице.
Если среда представляет собой сове ный гаэ, то давление р и плотность р связаны обычной ф лой: $ Ч. Законы вморожевноств магввтвмх и вихревых внвнй 325 $7. Законы вморожениости магнитных и вихревых линий Выясним теперь общиесвойстваполявектора А (х, у, х, Ф), удовлетворяющего соотношениям вида дА — = гоь(и Х А), й)т А —.- О. (7Л) Вьппе (см. (6.11) ) было показано, что этим условиям удовлетворяет поле магнитной напряженности Н в случае среды с бесконечной проводимостью. Зтим же условиям удовлетворяет 1 поле вектора вихря скорости оз = — го1 и в случае баротропных процессов в идеальной жидкости в поле потенциальных массовых сил. В самом деле, рассмотрим уравнение импульса для идеальной непроводящей жидкости в форме Лемба— Громекн: до оЯ 1 — + Згай — + 2е Х и = — — пгай р+ хд.
(7.2) д1 ' 2 Р Предположим, что внешние массовые силы гз потенциальны и что процесс баротропный,т. е. хд = атай У ир =1(р). В этом случае можно ввести функцию давления У= ~ —,","„,, (7.3) Р. градиент которой, как легко проверить, равен лгай У = — лгай р. 1 Р Уравнение импульсов (7.2) в этих предположениях представится в виде де ьв — + огай — + 2е Х е = — дгай Зс+ Згай У. 2 Взяв теперь от обеих частей этого уравнения операцию ротора, получим — — гос(и Х е), (7.4) причем й(т е = О.
Зти уравнения действительно совпадают с уравнениями (7Л) и с уравнениями (6.11). Заметим, что уравнение (7.4) является кинематическвм по своей природе, но оно получилось как следствие из динамического уравнения импульсов. Таким образом, установив общие свойства векторного 'поля А, удовлетворяющего условиям (7Л), мы установим, 326 Гл. У1. Основные понятия и уравнения електродинамики в частности, весьма важные свойства поля магнитнойнапряженности.Н в случае среды с бесконечной проводимостью и поля вектора вихря то при баротропных процессах в идеальной жидкости в поле потенциальных массовых сил.
яфявод формулы для произ Выведем сначала формулу для производводной по временй от ной по времени от потока соленоцдальпотока соленоидального ного вектора А (х, р, х, 1) через некотовектора верее жидкую рую незаккнутую жидкую поверхность Х, поверхность ограниченную контуром С, т. е. через поверхность движущуюся вместе с частицами сплошной среды. Как известно, потоком вектора через поверхность Х называется интеграл ~ (А и) Ис = ~ А„Нс, в котором через и обозначен единичный вектор нормали к злементу Ыо поверхности Х. ~г Как и раньше, положитель- ные направления нормали и и об- С хода контура С свяжем так, чтобы с конца и обход контура С был виРис. 40. К выводу формулы дон совершающимся против часодля производной по времени вой стрелки.
Если в момент времени 1 эта от патока соленоидного вектора череа жидкую поверхность. поверхность занимала положение Х, а в момент(+ ьт( — поло>кение Х, (рис. 40), то по определению производной будем иметь 1Л (к,у,г,я+И]с — )Л (я,у,х„Вес — 1 А„4с = 1(ш . (7.5) > ш з ас в Докажем, что в силу уравнений (7А) эта производная равна нулю и, следовательно, для такого вектора А„й = сопе$. Действительно, обозначим через Х, поверхность, образованную траекториями точек контура С при его перемещении за время йг, и рассмотрим замкнутую поверхность, образованную поверхностями Х, Х и Хх. По теореме Гаусса — Остроградского с использованием второго условия (7А) будем иметь А„(х,.р,'я, Ф)с)с= ~61чААт=О, (7.6) $7. Эаионы нмороженнооти магюггиыл и вихревых линий 327 где У вЂ” объем, ограниченный замкнутой поверхностью Е + + 2'1 + 2'„а нормаль и — внешняя по отношению к К Прибавляя н вычитая ~ А„(х,у,гд+Ь|) Иск(7.6) и заменяя направ- ление нормали и к элементам поверхности 2;,на противоположное, легко получим Г) А„(х, у, г, 1+ Ы) ~Ь вЂ” ~ А„(х, у, г, Г) г1с =- Е1 н — ~ А„(х, у, г, 7+ Л1) Ас — ~ А„(х, у, г, ~) Ис+ Е, + ~ А„(х, у, г, 1) Ас.
в Отсюда для производной (7.5) получим следующее выражение: И вЂ” ~ А о (х, у, г, 1) Нс = —, ~.™ дА т à — "Ас + 1па — ~ А„(х, у, г, 7) Ис. (7.7) Векторный элемент площади тьАс боковой поверхности Х„ очевидно, равен ть ~И =.—. и Лг Х Л, где Л вЂ” элемент контура С, ограничивающего поверхность Е (см.
рис. 40), Поэтому в интеграле ~А„Асможно перейти к интегрированию по контуру С: $ (А и) сЬ = — ~ А (Л Х и) Л7 =- — ~ Л. (Ф Х 1) Ы, —,~А„Ы вЂ” — )~ хе)и- — 11ю~~ хам„ы. 1 Г Е Б Выражение (7.7) для искомой производной приводится те- перь н виду ~ ~А,~ — ~~дА — а(п Х А)~ Аа. (7.8) Е Е или, воспользовавшись теоремой Стокса, перейти к интегриро- ванию по первоначальной поверхности В, натянутой на кон- тур С: 32З Гл. у1. Основные понятия и уравнения электродинамики Это общая формула векторного анализа для производной от потока соленоидального вектора А через ясидкую поверхность Х. Ясно, что для справедливости формулы (7.8) требуется определенность значения вектора скорости и только в точках поверхности Х и ограничивающего ее контура С. Если векторное поле А удовлетворяет условиям (7А), то справа в (7.8) получается нуль, т.
е. — „, 1А Д6.=0. о' Г Таким образом, мы доказали сформулированное выше утверждение о том, что ~А„г1с =- сопзС, (7.9) где Х вЂ” поверхность, движущаяся вместе с частицами сплошной среды, в области, где поле вектора А (х, у, г, ~) удовлетворяет условиям(7А). Из доказанного свойства (7.9) рассматриваемого векторного поля А. вытекает ряд очень важных следствий. Первое следствие Векторные поверхности такого векторного поля переходят всегда во время движения также в векторные поверхности. В самом деле, рассмотрим в некоторый момент времени 1 некоторую векторную поверхность П такого векторного поля А, т. е. такую поверхность, в каждой точке которой вектор А лежит в касательной к ней плоскости.
В силу непрерывности движения поверхность П в момент времени ~ + Жперейдет в некоторую другую поверхность П', нетрудно усмотреть, что эта поверхность П' опять будет векторной поверхностью. Так как поверхность П по условию — векторная поверхность, то поток вектора А. через любую поверхность Х, принадлежащую П, равен нулю. По свойству (7.9) останется равным нулю и поток вектора А через поверхность Х', в которую перейдет за время Лг поверхность Х и которая в силу непрерывности движения будет принадлежать П', т. е.
вектор А в момент времени р + Лг будет лежать в плоскости, касательной кП'. поверхность Х, а следовательно, и поверхность 2," при этом можно взять сколь угодно малой и где угодно лежащей на поверхности П, и тогда непременно во всякой точке П' А„= О, а это значит, что поверхность П' вновь будет векторной поверхностью. $ 7. Законы вмороженнооти магнитных и вихревых ливий 329 В частности, боковая поверхность векторной трубки переходит во время движения в боковую поверхность векторной трубки. Векторные трубки переходят в векторные трубки. Второе следствие Векторные линии векторного поля А, удовлетворяющего условиям (7А), всегда во время движения переходят также в векторные линии.
Действительно, через векторную линию 1 в момент времени 1 можно провести две векторных поверхности П, и П„и 1 будет линией пересечения этих поверхностей. По непрерывности движения в момент времени 1+ Ь1 линия 1 перейдет в линию пересечения 1' поверхностей П„' и П,;, в каждую из которых перейдут соответственно поверхности П„и П, и каждая из которых (П; и П;) в силу первого следствия из (7.9) останется векторной поверхностью. Следовательно, 1' снова будет векторной линией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
