Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Приток тепловой энергии Ыд~ т~ от поля Пряток теплокой опертнк к единице массы покоящейся проводящей от поля к покоящейся среде среды равен Ыд~'~ = ~О =- — Ц .Е) ~й. (4.23) Измепенке энергии алек- Подчеркнем, что энергия электромаг- троматпктного полн в "У нитного поля в объеме У меняется не стоте только за счет взаимодействия поля со средой.
Уравнение Умова — Пойнтинга справедливо и при наличии уравнений Максвелла (1 11), (1.12) в пустоте. В атом случае соотношение (4.22) аапнсывается в виде ",~ = — ~д.дс, 5. Взаимодействие злектроизгиитиого поля с телами З05 где знак — указывает на то, что соответствующие величины взяты в собственной системе координат. Приток энергии 1 - - р) — (1! .Е)й =.. Ндзз представляет собой джоулево тепло, т. е. приток к частице среды тепловой энергии, черпаемой в электромагнитном поле. В рассматриваемом случае вклад электромагнитного поля в Ыдч* принимается равным нулю. В следующем параграфе мы увидим, что Ыдзз необходимо, вообще говоря, учитывать, если существенны эффекты поляриаации и намагничивания.
В рамках введенных в атом параграфе соотношений для пондеромоторных сил и энергообмена между полем и средой построена магнитная гидродинамика, основные положения которой мы рассмотрим несколько позднее, а сейчас перейдем к рассмотрению вопроса о пондеромоторных силах и притоках энергии от электромагнитного ноля н среде в том случае, когда эффекты поляризации и намагничивания среды существенны. й 5. Взаимодействие электромагнптяого поля с телами с учетом поляризации н намагниченности В некоторых телах под влиянием внешнего электромагнитного поля возникают поляризация и намагниченность. Под влиянием внешнего поля внутри тел создается макроскопическое электромагнитное поле, деформирующее и изменяющее внешнее поле.
В таких телах уравнения Максвелла имеют вид гоЬХ = — —— 1 дВ с д1 41чв=о, 15.1) 4п . 1 дЛ го1Л = — ',р'+ — —,, Й1тХ> = 4яр„ (5.2) где Ю и . — векторы электрической и магнитной ицдукпии соответственно. Уразиеиия Максвелла с уче тои поляризации я иаиагии чеяиости. Векторы ззеитри чесизй и магнитной иидтв ции, измзгиичеииоетии по ляриззции т.
е. не равна джоулеву теплу. Разница равна работе пондеромоторной силы 14.13). Уравнение притона тепла для подвижной Ураяиеиие притока тепла частицы проводящей среды в собственной системе координат ааписывается в общем случае следующим обрааом: "э ие Л7 = зз + НДзззз+ — Ц зд) Й+ й1з*, (4.2*) 306 Гл. т1.
Основные понятна я уравнения злектродннамнкн Вместо вектора магнитной индукции .В можно рассматривать вектор намагниченности М', который связан с .В следующей формулои: В = ХЕ + 4яЗт . (5Л) Вектор Ж характеризует с макроскопической точки зрения упорядоченное распределение в теле магнитных диполей. Аналогично вместо вектора электрической индукции Ю можно рассматривать вектор поляриэации Р, который связан с О следующим обрааом: (5.4) Вектор поляризации Ю тела характеризует распределение электрических диполей в теле. Второе уравнение (5.1), как и раньше, является следствием первого уравнения (5.1), когда в начальный момент времени 41т .В =- О.
Систему уравнений (5.1), (5.2) можно записать в интегральной форме следующим образом: Уравнения Маясаелла н интегральной форме В„~Ь '=- О, (5.5) ~В„А = 4я~р,г~т, и их следствие — условие сохранения полного ааряда — сле- дующим образом: — — ~р,г(т — ~Ь.
1с, где .ь — эамкнутый, покоящийся в выбранной инерциальной системе координат контур, Х, — поверхносттч натянутая на этот контур, индексом и отмечены нормальные к поверхностям Х, и Х составляющие векторов, направление нормали ть к поверхности Х выбрано так, чтобы направление обхода при интегрировании по контуру Ж и направлением обрааовывалн правовинтовую систему, Х вЂ” замкнутая, покоящаяся в выбранной системе координат поверхность, ограничивающая объем У. Так же как уравнения для электромагпитУравненнн Максвелла с учетом алеатрнчесанх то- ного поля в пустоте, уравнения Максвелков, нолярнааанн н на- ла в материальных средах можно написать магйнчнаання а тенаор- в тенэорной форме в пространстве Минной форме ковского.
Для этого необходимо ввести в рассмотрение вектор четырехмерного тока 7 = Х;э,. согласно (4.2'„ а вместо ковариантных и контравариантных компонент $ Ь. Взаимодействие алектромагвитиого поля с телами з07 Рп и Р'~, тензора электромагнитного поля, введенного в ~ 2 согласно матрицам (2.1) и (2.3), надо ввести два антисимметричных тензора Р и Н, компоненты которых в «декартовой» системе координат (сЬз = — Пх'з — с(хзз — йхзз + сзй1з) определены матрицами — В' сЕь Вз сЕз сЕЗ вЂ” сЕз О Вз (5.8) Вз -Вз — сАь — с Е. О Нз — Нз — — Вз с Нз Н, (5.7) 1 — — Нз 1 Вз с 1 — Вз с 1 У11 л„(РО НФ1)' Легко проверить непосредственно, что уравнения (5.1) и (5.2) в тензорной форме в четырехмерном пространстве Минковского в любой криволинейной системе координат имеют вид (5.8) тН = —,У. га лн г (5.9) Из тензорной формы этих уравнений непосредственно видно, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Иивариантиоеть относительно преобразований Лоренца Очевидно, что при отсутствии намагниченности и поляризации, т. е. когда .Р = О и хИ' = О, матрица компонент Р„. в (2.1) совпадает с матрицей компонент Ро в (5.6), а матрйца компонент НН в (5.7) совпадает с матрицей компонент РО в (2.3). Вместо тензора Н можно ввести в рассмотрение тензор поляризации У с компонентами,У;;, определенными равенством ЗОЗ Гл. Ч1.
Основные понятия в уравввввя электродинамики цреобразоваввя основных При переходе от одной, «™еподвижной» в«второе э"е"тро"аг"втво инерциальной системы координат К к го поля ярв яереходе от оввай вверцвая»вой св другой, «подвижной» инерциальной снстеетевы отсчета в другой ме К' векторы г', .0 и .Р преобразуются по формулам (3.22), а векторы Е1, х»ил« преобразуются по формулам (3.23). Компоненты четырехмерного вектора плотности электрического тока зы преобразуются по обычным формулам преобрааования компонент вектора.
В частности, если система К' движется относите'тьно К поступательно вдоль оси х' со скоростью э, то на основании формул (3.16) получим 12 12 И э,— —,» Р 1»' » Компоненты и величина трехмерного вектора плотности тока, а также плотность заряда зависят от выбора инерциальной системы координат. Так же как для электромагнитного поля Векторный потенциал в пустоте, для электромагннтного полн в среде можно ввести векторный потенциал А = А;з', положив Рп = 7~А« — 7«А;.
После этого получим, что уравнения (5.8) удовлетворятся тождественно. Уравнения (5.9) при 5«п =- О, Х'+О и и"А = О приводятся к неоднородному волновому уравнению, которое в декартовой системе координат имеет вид д»А д»А дгА $ д»А 4я дхгз дхх» дхв «дн х Тевэор Минковского В качестве тензора энергии — импульса электромагнитного ноля при 5»„. =-~ О можно взять тензор Минковского, который вводится по определению следующим образом: Ь« =- — — ~Р,„,ЕЕ'"~ — —,Ь«Г Е1 ").
(5.10') Эта формула явлнется непосредственным обобщением формулы (2.22) для тензора энергии — импульса электромагнитного поля в пустоте. Легко проверить, что тензор Минковского вообще несимметричный: о" =,~= йд« $5. Взавмодействие электромагнитного поля о телами 309 Четырехмерный повдеромоторной В этом случае уравнения импульсов и энергии принимают вид изб'" == — Р', (5ЛО") т) Формулы (5ЛО") и (5.29) представляют собой обобщение опытных фундаментальных законов электродинамики Кулона, Лоренца, Джоуля н т.
н. на общий случай движения намагниченных и поляриаовавных материальных тел. Из дальнейшего следует, что ато обобщение связано с условиями выбора тензора энергии — импульса н собственного момента поля, которые могут быть различными. где Р' — четырехмерный вектор пондеромоторной силы. Приведенные ниже общие формулы для пондеромоторной трехмерной силы и энергообмена между полем и средой при наличии поляризации и намагничивания получены с помощью формулы (5.10").
В выражениях для Р', Рз, Рз содержатся составляющие силы Лоренца. При отсутствии поляризации и намагниченности среды, но при наличии токов трехмерная часть четырехмерной пондеромоторной силы Р дает просто силу Лоренца, а четвертая компонента — величину, равную ,1 Ж, которая в собственной системе координат равна выделенному джоулеву теплу, отнесенному к единице времени и единице объема материальной сроды. После введения тензора энергии — импульса электромагнитного полн Я = ои з;з; формулы (5.10") определяют четырехмерный вектор Х' = Е'з,.
— объемную плотность внешней по отношению к телу силы. Объемная плотность четырехмерной силы, действующей со стороны ноля на тело,— пондеромоторной силы определяется распределением характеристик поля и вводится этим путем для общего случая, когда материальная среда (тело) движется как угодно '). Для установления зависимости компонент Р' от привычных трехмерных векторных характеристик поля необходимо воспользоваться инерциальной системой координат, в которой написаны уравнения Максвелла (5.1) и (5.2).
Длядостижения этой цели можно в качестве инерциальной системы координат выбирать различные системы координат. В частности, можно взять фиксированную систему отсчета наблюдателя, в которой определяется движение среды, илн использовать совокупность собственных инерциальных систем координат в каждой точке материальной среды и в каждый момент времени. Компоненты трехмерных векторных характеристик поля, определенных указанным выше способом в собственных системах координат, можно вычислять в сопутствующей системе координат, которая вообще неннерциальна. Если, в частности, сопутствующая система координат инерциальна, то в каждой точке сопутствующая система и собственная система координат 510 Гл.
7Н Основные понятия и уравиевия электродинамики совпадают; поэтому в этом случае вваимодействие между полеы и материальной средой можно рассматривать как взаимодействие между полем и неподвижным телом в сопутствующей системе координат. В каждой системе координат три компоненты Р" (а = 1, 2, 3) и четвертая компонента гч при пространственных преобразованиях координат вида у" =у'(хд), у'=х'; х, ~=-1, 2, 3 образуют соответственно компоненты трехмерного вектора и трехмерный скаляр. Как было указано выше, эти вектор и скаляр аависят от выбора исходной системы координат х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
