Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 55
Текст из файла (страница 55)
= 7 А~ — 7;А, =. — ' — — ~ Н г ~ ' з зч~ др (2.13) (2Л4) Преобразованные уравнения Максвелла (2.2) и (2.4) и формулу (2.5) легко написать, если рассмотреть величины Ры и А~ как компоненты тензора и вектора в пространстве Минковского, т. е. Р;, я А: в новой системе определить равенствами 220 Гл. у1. Освоввыс вовятвя в уравнения эяектродввамкяя Волновые уравнения (2.7) при соблюдении условия р'А,=О (2,15) преобразуются к виду р~у А3 = О. (2.16) дри даю ду 1 с ду' ду' ду' (2.17) Уравнение (2.13) в раскрытой форме имеет вид Из антисимметрии Рг1 и симметрии по нижним индексам Грэ сле дует, что РсюГр, — — 0; кроме этого, на основании формулы (3.6) гл.
1У имеем 1 1 ду — я Г'„„==, где д= )б„(, 1 Поэтому верна еще следующаяформа второй пары уравнений Максвелла (1.12): (2Л8) Таким образом, уравнения Максвелла можно написать в тензорной форме с помощью тензора Г;; в специально введенном по определению четырехмерном пространстве Минковского. С помощью полученных тензорных уравнений можно рассмотреть в различных системах отсчета вопрос о виде уравнений Максвелла и о компонентах магнитной и электрической напряженности Н', Н', Н' и Е„Ез, Е„исходя из равенств (2.1) и (2.3) и формул преобразования (2Л1). Эти уравнения следуют из тензорного вида уравнений (2.2), (2.4), (2.5) и (2.7) в пространстве Минковского, для которого очевидно, чтопроизводныепокоординатами по времени всистеме х', хз, х', 1 совпадают с ковариантными производными, так как в атой системе все символы Кристоффеля равны нулю.
Заметим, что ввиду антисимметрии Рм в произвольной системе координат в уравнении (2Л2) члены с символамиКристоффеля сократятся, и поэтому уравнение (2.12) в произвольной криволинейной системе координат можно написать также в виде $2. Ураанеиия Максвелла а пространстве Минковского 281 Метрическое пространство Минковского введено как вспомогательный математический образ. Это сделано попа только в связи с тем, что при преобразованиях координат в пространстве Минковского можно рассматривать тензор Еи и уравнения Максвелла в этом пространстве можно рассматривать как тснзорные уравнения.
Трактовка введенного таким образом пространства Минковского как физического пространства и в связи с этим трактовка тензора электромагнитного поля тоже как физического объекта возникают только после принятия дополнительных физических постулатов, сущность и смысл которых будут наложены в следующем параграфе. Здесь лте отметим еще следующие вывоПреобразование только пространственных координат ды, вытекающие из сделанных математических определений Возьмем частные преобразования нида у«=~«(хг„хе,х'), и=1,2, 3, ~ (2 19) 1' = у' = х' = 1, в которых преобразуются только пространственныс координаты и сохраняется неизменной координата, соответствующая времени.
Легко проверить на основании формул (2.11) и матричной формулы ') (2.1), что соответствующие формулы преобразования для величин Ет и Н' представляют собой формулы преобразования соответственно для ковариантных и контравариантных компонент трехмерных пространственных полярного и аксиального векторов.
При преобразовании (2.10) общего вида можно таклте в разных системах координат рассматривать величины Е, и Н', однако соответствующие преобразования не будут преобразованиями компонент каких-либо векторов. Рассмотрим преобразования у' = ~т (х') Прсобр ааонания Лоренца самого обюего вида, которые сохраняют вид квадратичной формы (2.9) для метрического пространства Минковского, т. е.
такие, для которых имеет место равенство сЬт = — ах" — г(ха — с(хат+ сЯгз = =- — Нута — с(уз~ — с)ус~ -(- сег((е. (2, 20) Так же как при любых преобразованиях координат, при таких преобразованиях, называемых преобразованиями Лоренца, тензорпые уравнения (2.12) и (2.13) и соответственно ') В крпаолипейной пространстаенной системе координат а матрице (2Л) вместо йп необходимо подразумевать НК У Веет))Г ) т, 3 =1, 2, 3 (см. 1 3 гл.
1У, формула (3.26)). 2зу Гл. Ы. Основные всвлтвя и уравнения электродинамики (2.17) и (2А8) в раскрытом виде отличаются только обозначениями координат и компонент Еы. Преобразования Лоренца сохраняют вид иивариаитиость вектор- также и векторных уравнений Максиых уравнений Малевал- велла (1.11) и (1.12). Однако из формул ла относительно црсобра преобразования (2.11) получится, что зеваний Лоренца векторы электрической и магнитной напряженности .Е, ЕХ в системе х' и векторы .Е', Л' в системе у' — ото разные векторы. В следующем параграфе мы укажем формулы перехода от Е, О к 7ь', Н' при преобразованиях ,1оренца.
Таким образом, уравнения Максвелла при соответствующих условиях относительно преобразования векторов Е и ХЕ инвариантны относительно нреобрааований Лоренца. Из уравнений (2.17) и (2А8) поясно усмотреть, что, кроме преобразований Лоренца, можно указать более общие классы преобразований, чем преобразования Лоренца, для которых также имеет место инвариатность уравнений Максвелла. Однако, как будет показано ниже, особенно важное физическое аначение имеют преобразования Лоренца.
Преобразования вида а «а . иа оаэ Преобразования Галилея у = х + и, (2.21) у4 Г 1 а — «4 + а гДе 1с, ас и иа — постоанные, называютсЯ пРеобРазованиими Галилея. В ншотопианской механике преобразования (2.21) соответствуют поступательному равномерному прямолинейному движению системы отсчета у" относительно системы отсчета ха, причем иа — компоненты скорости этого движения в системе х". Очевидно, что преобразования Галилея не являются преобразованиями Лоренца, тан как для преобразований Галилея не выполняется равенство (2.20).
Преобразования Галилея и формулы (2.21) можно усложнить дополнительным поворотом системы у" на фиксированный конечный угол около некоторой произвольно фиксированной оси и зеркальными отражениями относительно координатных плоскостей. Заметим, попутно, что любое вращение можно заменить совокупностью зеркальных отражений относительно неноторых плоскостей. В четырехмерном пространстве МинковТсизориые в векторные ского в связи с уравнениями Мансвелхаравтсристини в прост ла были введены тензор электромаграистве Минковского; теиаьр ввергли-импульсл нитного поля г' = Емэ'э' и векторный потенциал А = Асэ'.
При дальнейшем развитии теории вводится много других векторов и тензоров. Например, четырехмерный вектор электрическоге з 3. Преобразования Лоренца н ннерцнзльные снстемы 283 тока Х = У'э< (см. $ 4), четырехмерный вектор силы Х' (см. ~ 5), вектор четырехмерной скорости тз = и'э, = сьгйа, где Ыг = Ых'э; — четырехмерное перемещение ипдивидуалькой точки, с(з =1А'(, тензор энергии — импульса электромагнитного поля о = Ж'э'эз, (2,22) где уз 1 ~р р ' ьр и многие другие векторы и тенэоры.
Из уравнений (2Л2) и (2 т3) вытекают следу|ощпе следствия: рз5," =- О, ~ = 1, 2, 3, 4, важные (2.23) которые можно трактовать как уравнения импульсов и энергии для электромагнитного поля в пустоте. 4 3. Преобразованпн Лоренца и нкерцпальяые системы отсчета Принцип относнтельностн Основная физическая посылка — увив физике версальный принцип относительности Галилея состоит в утверждении, что все физические ваконы о взаимодействиях в материальных средах и полях формулируются одинаково и все физические процессы и явления протекают одинаково для наблюдателей в любой инерциальной системе отсчета.
Постулнруется существование совокупности ипорцпальных систем координат, которые могут двигаться друг относительно друга. Однако совокупность инерцпальных систем отсчета может быть определена в различных теориях различными способами. В ньютонианской физике предполагается, и"ерцнал"ные снстемы в что фнаическое пространство трехмерно ньютоннанской механике (евклидово трехмерное пространство), что время абсолютно, и может быть определено универсально как одно и то же время во всевозможных движущихся друг относительно друга поступательно с постоянной скоростью системах координат, образующих все множество инерциальных систем отсчета. Множество инерциальных систем определяется условием, что в этих системах изолированная материальная точка покоится или движется с постоянной скоростью.
Принцип относительности Галилея — Ньютона состоит в утверждении, что все физические уравнения и законы должны быть инвариантными относительно системы преобразований 2Ч1 Гл. 71. Основные понятия и ураавения электродинамики Галилея (2.21), определяющих собой в декартовых системах координат переход от декартовой инерциальной системы координат х', хэ, х', 1 к другой декартовой инерциальной системе координат у', уэ, у', 1 + (в. В ньютониансной физике из (2.21) и кинематического определения скорости вытекает следующий закон сложения скоростей: (3.1) где ил — скорость объекта, точки, относительно системы у, и„— скорость этого же объекта относительно системы х, а и — поступательная скорость инерциальной системы у по отношению к системе х. Как известно, скорость света в пустоте можно определить как скорость фронта электромагнитных возмущений или, более просто, как скорость движения в пустоте электромагнитной частицы — фотона.
Согласно (3.1) в ньютонианской физике должно получаться, что скорость света различна для различных наблюдателей, производящих измерения в своих иперциальных системах координат. Кроме того, иэ абсолютности времени следует, что в ньютонианской физике возможно распространение сигналов с бесконечной скоростью. Но эти выводы находятся в коренном Постулат о востоявстае противоречии с опытом. Опыт указывает, что свет распространяется в пустоте скорости света с одной и той же скоростью относительно любых движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью наблюдателей и нзотропно относительно любого наблюдателя, т. е. с одинаковой скоростью во всех направлениях. Знаменитый опыт Майкельсона и множество других опытов покааывают, что скорость света не аависит от выбора инерциальной системы координат.
Более глубокое исследование физических процессов показывает также, что невозможно движение материальных объектов и распространение энергии со скоростью, большей скорости света, которую можно рассматривать как предельно возможную скорость всякого относительного движения материальных объектов. Поэтому в основу современной фиаики положен постулат— закон о постоянстве скоростисвета во всех инерциальныхснстемах координат. При сохранении основного физического принципа относительности Галилея постулат о постоянстве скорости света служит основой для изменения понятия об инерциальных системах и для отыскания вместо преобразований Галилея (2.21) новых преобравований, определяющих переход от одной инерциальной системы к другой. 1 3. Преобразования Лоренца и пверциальные системы 2зо Об ннерциальныл аисте мах координат в спс циальной теории относи теаьности у' = /'(х', х' х' х*), з = 1, 2, 3, 4, (3.2) которые должны заменить собой формулы преобразования Галилея — Ньютона (2.21).
Пусть ззхз, ззхз, ззхл — компоненты перемещения неноторой подвижной точки М эа время з(хл = з(з в системе К и соответственно для этой же точки Иуз, Ыуз, з(уз — перемещения и Иуз = ззз' — промежуток времени в системе К'. Для соответствующих трехмерных скоростей и и и' точки М в системах К и К' имеем яхз + Лаз + еза,з Ирз + Ыр +Фаз из= змз и г'= а~' В этом случае преобразования Галилея (2.21) становятся неприемлемыми; приходится усложнить эти преобравования и отказаться от существования абсолютного времени. Обратимся теперь к условиям, налагаемым постоянством скорости света на преобразования координат при переходе от одной инерциальной системы к другой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
