Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вектор называется вектором потока тепла. Этот вектор характеризует направле- Л ние передачи тепла и по в,личине равен количеству тепла, протекающему в еДиниЦУ вРемени чеРез еДиничнУю Р, ЭЯ Д р т а площадку, перпендикулярную н этому тепла (и — олпкичиьп) направлению. Количество тепла, проте- вектор аисишой порка>ощее через произзольно орнентиро- мали к 2).
ванную площадку Нп за время Ж, будет, очевидно, равно д„с)а Ж(п — нормаль к с>л), а оощий притон тепла с(~п> к объему Р мояшт быть представлен в следующем виде (рис. 38): И~ > > =- — ~ д и сЬ с)1, где и — внешняя нормаль к поверхности Х. По теореме Гаусса — Остроградского г((71' = — ~с)п до>т с>1. Количество тепла, поступающее к бесконечно малому объему с>т за время с>1, будет равно >(()1 > = — б> и д с) и с(1, а к единице массы среды— й7К> == — — с) 19 д 01.
1 (7.16') р ') Этот вывод получастс том жс путом, как и формула (2.4) гл. )П дли Ра. 9а 260 Гл. у. Основные понятия и уравпзппя термодппамякп Закон тзплопрозодпоотп Фурье !!ссн се!с! Х,, Н вЂ” = — 7'Т = — сьТ, л! о р где сьТ вЂ” оператор Лапласа от температуры. В декартовой системе координат ЕЕ!с! к 1З т Е т Ечт! — = — ',— + — + — ) ° с1С р, дзз дуч дзз ) ' уразязппе притока теп- Таким образом, уравнение притока тепла лз для зязкого теплопро для вязкой жидкости в том случае, когда водного газа приток тепла к ней обусловлен теплопроводностью по закону Фурье, будет иметь вид г11 г !1р ! ..
я — == — р — + — тз!е + — 1ьТ си й! р " р или, на основании (7.14), ез $ Н к Т вЂ” = — т"ен + — сзТ. сп р '! р Для жидкости, удовлетворяющей закону Навье — Стокса, зто уравнение согласно (7.16) может быть записано еще сле- дующим образом: Т вЂ” „= — (йрп г!)з + — Р ~ е! ен — — (йпс !!)з~+ — ЬТ.
(7.18) Это уравнение может служить для определения распреде- ления температуры в жидкости. Законы, определяющие вектор су, могут быть различными. Основным, наиболее распространенным, хорошо оправдывающимся вомногих случаях на практике законом, определяющим 11, является закон теплопроводности Фурье, который имеет вид д = — х ягай Т. Вектор потока теплаи градиенттемпературы имеют, естественно, противоположные направления, поэтому х' ь О. Коэффициент х носит название коэффициента теплопроводностп. Можно рассматривать частные важные примеры, когда коэффициент х постоянен или является функцией температуры Т. нюра,к ппе для прптояа Рассмотрим практически очень важный тепла за ечзт теплопро- простой случай, когда х = сопзс.
Тогда зоднозтп, подчиняющей- для притока тепла Ну<с! на единицу массы зя закону Фурье среды получим с!Ее! к — =- — йсу огай Т = — Уф'7!Т =.. — 7з7'Т, с1! о 1 8. 1-й и 2-й заковы термодинамики для конечных объемов 261 Внутренняя энергия Т7 или энтропия гири этом должны быть известны как функции от температуры и плотности. Например, если т7 =- ~с,йТ+ сопзе, й 8. Первый и второй законы термодинамики для конечных объемов сплошной среди. Производство эптропнп в некоторых необратпвяях процессах Первый н второй законы термодинамики для конеч. ных объемов сплошной среды Напишем теперь выражения первого н второго законов термодинамики в интегральной форме для конечных масс среды, Для простоты ограничимся допущением об аддиативностн внутренней энергии и энтропии по массам частиц конечного объема тела.
На основании теории, развитой выше, эти уравнения можно написать в следующей форме: — „", ~р~ —;; +Г) 1т:= =- ~ р(Х г)йЗ+ ~(1э„.и)т(с — ')д„'т(с+ ~ — „";"' рот (81) то в декартовой системе координат имеем ~Ш дТ / д7 д7 д7 дТ ~ — =с,— = с ~ — +и — +и — +и —. дт г дт Г'т дт дх др дт Уравнение притока тепла (7.17) з случае покоящейся среды совпадает с обычным уравнением теплопроводности дТ я / дтТ дтТ дтТ ~ — = — ~ — + — + —..
) ° Ш рс (,д ° др д:ч полная енетемя урявне- Если внешние силы заданы, то уравнения Навье — Стокса, уравнение неразкости рывности, уравнение притока тепла (7.18) и уравнения состояния представляют собой полную систему уравнений для описания движений сжимаемой вязкой (линейной изотропной) теплопроводной жидкости.
Примером модели вязкой сжимаемой среды может служить модель вязкого теплопроводного совершенного газа, в котором т7 = счТ + сопзФ, р = р Л Т. Мы подробно рассмотрели некоторые важные модели жидкостей и газов. В последующем будут так же подробно изучены некоторые наиболее важные модели твердых деформируемых тел и, в частности, упругих тел. 2Г>2 Гл.
т'. Основные понятия и уравнения термодинамики В этих равенствах >> — конечный подвижный индинидуальный объем; в притоках внешней энергии выделен приток энергии через поверхность Х, ограничивающую объем У, определяемый вектором дв. В обозначении этого вектора (ое) звездочка означает, что зто полный удельный поток энергии, не связанной с работой механических скл (как тепловой, так и не тепловой). Добавочный член в (8.$), содерксащий а>два„/М, определяет внешний массовый приток энергии, в частности, зто может быть джоулево тепло, работа внешних массовых пар и т. д.
Остальные обозначения ясны из предыдущего текста. Рассмотрим процесс теплопроводности в Тсплопроводпость как не- неподвижном теле„Как в приведенном обратимый процесс выше частном примере (см. 2 5 этой главы), примем, что в этом случае дд" = О; тогда Т с(з = Йды1 = — — й>т стс11. 1 (8.3) р Это соотношение выполняется, например, в покоящейся вязкой жидкости. В атом случае уравнение (8.2),преобразованное с помощью формулы Гаусса — Остроградского, дает — — — дИ и от = -- ~ †" сЬ + ~(1т ягад †, ) Ит. (8,4) Это равенство при условии (8.3) верно при любом теплообмене данной части среды с внешними телами.
Согласно (8.4) энтропия может возрастать или убывать эа ( тс счет интегРала — 1 т Ис пРи д„+О.Если тело теплоизолиРовано,то этозначит, что на его поверхностид„= О, но внутри тела из-за неравномерности распределения температур вектор д может быть отличен от нуля. Таким образом, для теплоизолированного тела получим ~Ы ~д нгайТ (8.5) а>с,1 о,> Величина — ' в этом случае всегда больше нуля, так как ~М 3 8. 1-й и 2-й законы термодинамики лли конечных объемов 263 энтропия ва счет тенлопроводности растет, поэтому по второму закону термодинамики скалярное произведение векторов гт и 8гаг( Т всегда отрицательно. Согласно закону Фурье и = — к ягаг( Т, и ) О.
При наличии закона Фурье равенство (8.5) принимает вид — г ~ т ~0гаг1Т~тг1т (8.6) г1.у =- И,Ь'+ 4 у, (8.7) где г)Я вЂ” дифференциал энтропии, а с(,Я и г(г8 — бесконечно малые слагаемые, причем И,Я определяет приращение антропии за счет притока энтропии иавне, происходящего за счет энергообмена с внешними телами. Величина сг,.Я по определению существенно положительна при наличии необратимости и дает рост энтропии за счет внутренних необратимых процессов. Для обраттьмых процессов г),Я может иметь любой знак, а сг,Я =О. В предыдущем примере для тела в целом имеем ггпу гг,Я ггго г Ч„г д йгай Т а,~,а т т 2 т Е выше определений необходимо поло- На основании данных жить сг йг — '" (с =- — атаги —,",— (т, чо ~ Ч о.бгаг1 Т Т' Отсюда для плотности энтропии получим И,л = — — г(1т +сг3, г1ег= — ~ ~~, с1г.
(8.8) Т * рТ' Таким образом, несмотря на отсутствие притока тепла извне к телу в целом, при условии Тс(а = ггпу(', сгд' = О получается, что энтропия тела в целом растет. 11роведенное рассуждение представляет собой обобщение примера, приведенного в б 5 атой главы.
Из проведенного рассуждения ясно, что условие с(д" = О не является достаточным условием обратимости процессов. Для получения достаточного критерия Критерий необратимости обратимости процессов можно поступать следующим путем. Положим йбй Гл. У. Основные вовк»ил и ураввсввя термодлкамккв Из формулы (8.8) следует, что в общем случае Т Йчэ + дд'. В некоторых случаях пературы, равенство , например при отсутствии градиентов темТНхе = с19' имеет место.
Обычно величины дш и Нхе определяются формулами следующего вида: й1тЯ, р — „", =- с =,~', Хчдч~О, (8.9) а Формулы для производст- ва зктроплк с'Н с,з 1 с~С р 1 дТ ЗГз а." В существухощих теориях необратимых процессов основной задачей является установление формул типа (8.9). Во многих случаях предполагается, что существуют связи между потоками )(" н «силами» Х„, Для определения этих связей выставляются различные прннципьч. В случае движения вязкой теплопроводной жидкости формула (8.9) для —,' имеет вид Лчс я Ечс 1 х ем о дгай Т сд' д ° дхсб Т ЕС р т р ' тс т Зтз В данном случае функциональные связи т" и о от е;; и дгах( Т соответственно определяют свойства вязкости и теплопроводности среды. Законы 11авье — Стокса и Фурье дают частный пример связей обобщенных потоков и термодинамнческих сснл».
11ри наличии свяаи') между у" и Хэ величину О можно рассматривать как функцию т* илн как функцию Хэ, т. е. ~', Х.у" == с(Хэ) = с(д"). Функцию о называют днссипативной функцией. В ряде теорий необратимьгх процессов дополнительные принципы сводятся к обоснованию следучощих формул (не вытекающих ') ОущоотВОЗСККС КОНЕЧНЫХ Сзяяой МЕжду Хч К Хя ЛЛя ЗСССОЗМО'КяЫХ моделей сплошных сред зе обязательно. рде Я вЂ” вектор потока энтропии, сх определяет величину необратимого роста энтропии эа счет внутренних процессов, )(" называхотся обобщенными потоками, а Х вЂ” обобщенными термодинамическими соилами». В случае теплопроводности имеем 1 8. $-й и 2-й занозы термодинамики для конечных объемов 265 непосредственно из (8ЛО)): Х,=Л вЂ” „ дХ до и К'=и —, дХ„' (8.11) где Л н и — некоторые скалярные функции, для которых на основании (8ЛО) верны формулы: Л= д (8.12) Х"— дХ" а дг т' ( + ~~(е',)'+ 2р~енен — — (е,')'~~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
