Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Например, скорость поездов, конечно, можно измерять в долях скорости света, но это неудобно, несмотря на то что свет применяется в светофорах на железных дорогах. В астрономии и в географии расстояния мелсду небесными телами или городами с, точностью до сантиметра вообще не имеют смысла, поэтому использование сантиметра как эталона для единицы астрономических или географических расстояний вполне возможно, но с практической точки зрения довольно бессмысленно. Здесь следует вспомнить, что для получения числа, характеризующего данную длину в опытах, по существу подразумевается последовательное приложение к измеряемой длине масштабной длины (единицы длины). Естественно, что физические масштабы для различных величин должны быть сравнимы по своему смыслу с измеряемыми величинами.
Вообще достигаемая польза от полной стандартизации и унификации единиц измерения во многих случаях не окупается, так как возникают различные неудобства и, в частности, потеря чувства осязания изучаемых объектов н ломка установившейся жизненной практики и традиций. На практике встречаются затруднения даже при наличии бесспорной с научной точки зрения необходимости применения только одних единиц измерения, например сантиметров или дюймов. Фиксирование физических постоянных для выбора единиц измеренжя вообще неудобно.
Скорость света имеет фундаментальное значение в физике. Однако, во многих проблемах зта величина совершенно несущественна или может быть принята равной бесконечности. Внесение в такие проблемы ограничений, связанных с величиной скорости света, является ненужным осложнением и противоестественно. Форма уравнений Максвелла (1.11) и (1,12) — «добропорядочная форма», принятая во многих учебниках, монографиях и научных работах ряда самых знаменитых авторов прошлого и нашего времени, 1 1.
Оспоэпые повятпя электролам«ммнк Здесь мы не будем отвлекаться и рассматривать различные системы единиц измерения для электромагнитных величин; этих систем много. Вопрос о единицах намерения в элентродннамике подробно изучается в элементарном и общем курсах физики. При численном решении конкретных задач знание единиц измерения абсолютно необходимо. После фиксирования уравнений (1.11) и (1.12) и других законов дальнейшее развитие общей теории в механике сплошных сред не связано с конкретным выбором систем единиц измерения.
Система уравнений (1А1) и (1.12) содерЗамкнутость и пепротпэоречпэость «темы „ровне- жит восемь уравнений для определеппй Мак«пекка и пустоте нпя только шести неизвестных характеристик электромагнитного поля: Е„ Е„ Еэ, Н„ Ню Н,. Однако эта система непротнворечива. Это связано с тем, что соотношения <11» Н = 0 и <П»Е= 0 можно рассматривать как следствия первых уравнений в (1.11) и (1.12) если начальные данные заданы соответствующим образом. Действительно, если А (х, у, т, ~) — произвольное дифференцируемое по координатам векторное поле, то <П» го« А = О. Поэтому из первого уравнения (1.11) вытекает, что —,а1»Н =О, д д< т.
е. «П<» <«не зависит от времени ~. Если <)<» Ы= 0 в некоторый начальный момент времени, то «П»Л= 0 во все другие моменты. Условие соленоидальности магнитного поля удовлетворится всегда, если начальные данные удовлетворяют этому услови<о. Таким образом, уравнение «П» Н = 0 мох<но рассматривать как ограничение на задание начальных данных. Аналогично из первого уравнения (1.12) вытекает, что й» Н вЂ” 0 д т.
е. если й» Л= 0 в некоторый определенный момент времени, то она ранна нулю и во все другие моменты времени. Условие <1<» Х = 0 можно рассматривать нак условие невозможности появления в пустоте зарядов, если их не было в какой-либо «начальныйэ момент времени, а <11» Л = 0— как условие отсутствия магнитных зарядов. 276 Гл. У1. Основные понятия н ураэнсвня электрсдпнампкн а иногда Жср и лХср остаются равными нулю и в присутствии внешнего электромагнитного поля.
Таким образом, хотя микроскопические поля в атомах и молекулах всегда существуют, из-за хаотичности движения атомов и других причин макроскопически они могут не проявляться. Вместе с этим отметим как очень важный опытный факт, что уравнения Максвелла (1.11) и (1.12) применимы для описания микроскопических полей вплоть до атомных масштабов. Переход от элементарных опытных фактов и законов, описываемых в физике при первом знакомстве с теорией электричества, к эквивалентным им уравнениям Максвелла представляет собой простую переформулировку. В буднях научной жизни укоренилось мнение, что переформулировки уже установленных предложений и представлений могут быть только тривиальны по своему существу.
Однако пркмер перехода к концентрированной формулировке зсколоэ электродинамики в виде уравнений Максвелла опровергает это мнение. Это — гениальное достижение, послужившее основой развития всей современной физики. Последовавший за формулировкой уравнений Максвелла анализ природы электромагнитного поля и свойств системы уравнений Максвелла стал источником теории относительности и соответствующего фундаментального пересмотра старых понятий об инерциальных системах отсчета, о пространстве и времени. О эпачсплл уравнений Максвелла Хотя уравнения с)(ч Л = О и о(ч Х= О не являются полностью следствиями первых уравнений, они не находятся с ними в противоречии.
Эти условия являются существеннымн ограничениями на дополнительные данные, при которых решения уравнений Максвелла имеют физический смысл. Уравнения Максвелла в виде (1.11) О ярпмспвмсстл уравясплй (1.12) годятся не только для описания Максвелла (1 11) и (1.12) э материальных телах электромагнитого поля в пустоте, но и для описания электромагнитного поля в телах.
если тела электрически и магнитно нейтральны, т. е. когда в них нет макроскопических зарядов, а под действием внешнего электромагнитного поля в них не возникают электрические токи, макроскопическая поляризация и намагничивание. Каждая из составляющих тело молекул всегда создает вокруг себя электромагнитное поле. Взаимодействие этих полей определяет силы внутренних напряжений. Однако заряды составляющих тело частиц могут быть распределены так, что в среднем собственное электромагнитное поле в каждой точке тела, как и макроскопический заряд в теле, равны нулю, ж.„=о,н~=о, $2.
лраввеккя Максвелла в пространстве Минковского 277 2 2. Уравнения Максвечча в пространстве Минковского Для более полного разъяснения физической сущности уравнений Максвелла перепишем эти уравнения в новых обозначениях. Сначала просто в качестве обозначения введем антисимметричную матрицу Р11 = — г 11 согласно следующему матричному равенству: Формулировка уравиевий Максвелла в четырехмерном пространстве 11' — 112 сЬ', ) О 11' сЕ, — П1 0 сЕ2 --сЕ2 -сЬ; 0 0 1ггз 1',з 1212 ~21 0 ~22 ~24 Ьзз 1222 О Ьзс ~ Е„1'„1,2 О 0 (2.1) ( — сЬ1 — 'Е,~ 11з 1 Ь' с 1 — Ь'з с — 11" 0 ! 1""!1:= (2.3) Оз 111 1 11 1'2 с с 1 Ез с то четыре уравнения (1А2) можно написать в следующем виде: — =0 (1=1,2,3,4), д 1 Нетрудно показать, что общее решение уравнений (2.2) можно представить в виде Истолкование вели чипы с как скорости света дА2 дА.
(2.5) и рассмотрим четырехмерное многообразие — пространство с координатами х', х', х', х' =1, причем х', хз, хз будем рассматривать как обычные ортогональные декартовы координаты в трехмерном геометрическом объеме. Легко проверить, что четыре уравнения (1А1) в проекциях на декартовы оси координат можно написать в этом случае в следующем виде: '+ — 1л + —" ,=0 (1, У, Ь=1,2, 3,4).
(2.2) Если наряду с матрицей Г11 ввести в атой же системе координат матрицу Ь21 согласно равенству 278»л, ЧП Основные панятня н ураввення электродинамики где А„Аз, Аз, А» — четыре произвольные функции от х', хз хз Свойство антисимметрии для г'»7 при этоы, очевидно, удовлетворяется. Заметим, что значения г'»7 не изменятся, если к А„Аз, Аз, А» добавить соответственно компоненты четырехмерного вектора — градиента дЧ»)дх', дЧ»)дхз, дЧЧдхз, дЧ'/дх». Пользуясь этим произволом, дальше нормируем выбор функций А» добавочным условием Вх' ' дк» -' дх' с' дт~ (2.6) Для любой заданной системы четырех функций А; можно определить функцию Ч" так, чтобы равенство (2.6) удовлетворялось.
Равенство (2.6) можно рассматривать как условие, исключающее произвол в выборе функции Ч". После замены в (2.4) г") через дА дА; дх' зт' на основании (2.6) получим для четырех функций А» следующие четыре одинаковых уравнения: Таким образом, решение уравнений Максвелла можно свести к задаче отыскания четырех функций Ао удовлетворяющих соотношению (2.6), каждая из которых удовлетворяет уравнению (2.7). Уравнение (2.7) называетсн волновым уравнением.
Более полно общие свойства решений волнового уравнения мы рассмотрим в гл. Ч1П (см. т. П). Однако здесь мы укая»ем сразу же на типичное свойство решений этого уравнения. Пусть 7' (9) — произвольная, дважды дифференцируемая по своему аргументу функция. Легко видеть, что функция А = 7" (х' — с~), (2.8) удовлетворяет волновому уравнению. Согласно этому решению данное значение А = 7 (9), соответствующее некоторому фиксированному значению 9 = х' — с», распространяется вдоль оси хз со скоростью с.
Отсюда выясняется смысл величины с как скорости света. Пространство Минковского Введем четырехмерное метрическое псевдоевклидово ') пространство Минковского, ") Пссвдоевклядовость означает, что метрккв (2.9) нс является положятельно Лефяяктной, но Ш» можно принять постоявнымн во всем пространстве.
5 2. Уравнею1л Максвелла в пространстве Мпнкозского Зтз отвечающее координатам х', хз, хз, хз = 1, в которых метрика по определению задается формулой Агз = — Ахп — сЪз' — Ахз'+ са йз =- йн г)хз йх~. (2.9) Для атой метрики для матрип дй;Д и йд $ имеем — о о,о — о о о Π— 1 ΠΠΠ— 1 О О) ΠΠ— 1О~ о о о — 1~, 1уы1,' = 5йп'~ = ΠΠ— 1 О 0 О 0 сз, Из определений(2.1) и (2.3) видно, что Р" н Рм связаны соот- ношением Рч= Р.,: р.
оао Если наряду с координатами х', хз, х', х,' = ввести произвольну|о криволинейную систему координат у', рз, уз, у', связанную с хз, хз, х', х' = 1 преобразо- ванием Гзреобразование уравнений Максвелла к произвольной криволинейной системе координат у' = ~'(хз, хз, х', ха) (з =- 1, 2, 3, 4), (2.10) то преобразованная формула для Агз будет иметь вид дх" д*с Агз = г'..Ау'Йу~, где и "и "ад- д~ д Р "' дд' ду ду' Четырехмерный тензор Р = Рц э'э называется тензором злектромагнитного поля, а четырехмерный вектор А = А;э' называется векторным потенциалом. На основании формул тензорного анализа получим рнРо+ У .д'."; + 7 Р,:. = О, (2.12) Р~Р '=-О, дА; дЛ. Р;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
