Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Кроме того, так как в подвижных провод- О связи задач олектродв- никах у=,т*+ р,п, распределение плотнонавввв квеланнвв свлош гтн зарядов зав'.нсиг от движения среды, ной среды поэтому аадачн электродинамики оказываются связанными с задачами механики сплошной среды, закон ока для неводвюккых Замыкающим систему уравнений (4.3), проводников (4.4) для неподвижной проводящей среды векторным соотношением может служить закон Ома. Закон Ома устанавливает связь между плотностью тока проводимости ул и характеристиками электромагнитного поля.
Зта связь зависит от свойств проводника. Во многих важных случаях для неподвижных проводников опытный закон Ома имеет внд ,уч =--. сЕ, (4,8) Нроводвиость Коэффициент а называется коэффициентом проводимости. Для изогропных проводников проводимость 6 — скаляр, причем г л — — —, я где Л вЂ” сопротивление проводника. Для анизотропных проводников, например для кристаллов, проводимость и представляет собой тензор второго ранга, в уравнении (4.8) тенэор и свертывается с вектором Х. Проводимость П раалична для различных проводников, а для данного проводника может зависеть от его температуры Т и других термодинамнческих параметров. С ростом температуры проводимость газа растет. Например, воадух прн обычных условиях почти не ионизован и является плохим проводником, но с ростом температуры или при интенсивном облучении степень ионизации воздуха растет, число свободных электронов в воздухе увеличивается, и воздух становится хорошни проводником; для твердых тел с ростом температуры 6 может уменьшаться.
Проводимость во многих случаях рассматривается как физическая константа матернала, аналогичная коэффициентам вязкости р и Ь или коэффициенту теплопроводности к. Для подвижных проводников постулируется, что закон Ома в виде (4.8) выполняется в каждой точке среды в собственной системе координат (см. определение в й 3).
В собственной системе координат закон Ома имеет вид у* =- оЕ, (4.9) где внак — укааывает на то, что соответствующие величины 300 Гл. УД Осиоввые понятия и уравнения электродинамики рассматриваются в собственной системе координат. После перехода от собственной системы к основной инерциальной системе отсчета, относительно которой рассматривается движение среды, согласно формулам (3.25) преобразования вектора напряженности электрического поля Е получим закон Ома для подвижных проводников в виде ,у' = о (Е+ — ХН). (4.10) Опыт и более подробный теоретический анализ показывают, что законом Ома в форме (4.10) можно пользоваться не всегда.
Например, в случае сильного магнитного поля закон Ома следует брать в виде соотношения ,У*,= а(Е+ — Х Н)+ й(,у*Х П), где Й вЂ” некоторая постоянная или функция термодинамичоских параметров среды. Добавочный член я(1" х И) носит название тока Холла. Существуют среды, проводимость которых очень велика (например, медь или сильно иониаованная плазма), В связи с этим на практике часто рассматривают среды с бесконечной проводимостью, для которых проводимость и бесконечна, а сопротивление Л равно нулю.
Введение таких сред в некотором смысле аналогично введению идеальной жидкости вместо вяакой. Из закона Ома в форме (4.8) и (4.10), так как плотность тока ,4" должна быть по условию конечной, вытекает, что внутри покоящейся среды с бесконечной проводимостью должно выполняться условие Среды с бесиоиечиай про водимостью (4.11) а в среде с бесконечной проводимостью, движущейся со скоро- стью и, должно быть Е== — — ' Хл, (4.12) Таким образом, поле вектора алектрической напряженности Е в среде с бесконечной проводимостью определяется через поле магнитной напряженности Ни поле макроскопической скорости среды и.
В этом случае два уравнения Максвелла (4.3) могут служить для определения поля гг и плотности тока 1. Пондеромоторными силами называются Сила Лоренца силы, действующие на среду со стороны алектромагнитного поля. Воли среда покоится, то на бесконечно малый элемент среды Ит, имеющий ааряд с(е, согласно закону Кулона действует $4. Взаимодействие элэктромагвитвого поля с проводниками 301 пондеромоторная сила й' г(т = — — '.Е Ит =- Р,Е И г.
Если кроме заряда Не в элементе Ит есть еще токи Л, то на единицу объема среды будет действовать пондеромоторная сила К =- Р,К+ — '(4х.н'), (4.13) называемая силой Лоренца. Если имеется движущаяся среда, то можно принять, что в собственной системе координат для нондеромоторной силы верна аналогичная формула: йе=-р,йч+ ~ ц:<д), (4.14) где все векторы определены в собственной системе координат. Если воспользоваться приближенными формулами перехода от собственной системы координат К", движущейся со скоростью тг относительно инерциальной системы координат К (см.
(3.25)), эе то после отбрасывания малых порядка —, в инерциальнои системе К получим Х'=- р,(.Е+ — хЛ) -,Р— (у'хН); (4Л5) здесь принято, чтоуа =Лэ. Отсюда, сравнивая (4.15) с (4ЛЗ), получим Ье — я', т. е. сила Лоренца в нерелятивистском приближении в системе отсчета К представляется формулой (4.13), так же как и в случае пеподвилгной среды. Равенство (4ЛЗ), определяющее пондеромоторную силу, действующую на единицу объема проводящей среды, установлено на основании опытных фактов и рассматривается как один иа основных постулатов электродинамики или как одна из основ для определения злектротагнитных характеристик поля и тока. Цондеромоторные силы, действующие со топ и покдероиоторпых сан стороны электромагнитного поля на частицы проводящей среды, являются объемными силами, и их, так же как и, например, силу тяжести, нужно вводить з уравнения импульсов для матерна пгяой среды РП е еР + Х лоренца + Ра' тпиеоеи.
(4.16) Э02 Гл. 71. Основные вонятия и уравнения электродинамики Энергетические взаимодействии в поле и поля с проводящей средой Н гоС.Š— Г госН =- — — — д, + Н д, ) '— — (,у' Н). (4.17) 1 1' дхс ддп 4я В декартовой системе координат левую часть этого соотношения можно записать в виде разностей двух определителей; Я, Е д д д дхс дхс дхс Пс Нз гчз Пз д д д дх" дхэ дхе )'-а рз После перестановки строк в этих определителях можно написать д д д.
с д д д дх' дхх дхе Я Ес ~Я (Я ~н,~ где знаком ~ ~ отмечены величины, которые при раскрытии определителей не следует дифференцировать. Задача определения движения проводящей сплошной среды является в общем случае комплексной задачей, для ее решения необходимо решать уравнения механики сплошной среды совместно с уравнениями электродинамики. Подчеркнем, что выражение для пондеромоторной силы (4.13) учитывает только наличие в среде зарядов и токов и должно быть усложнено, когда среда поляризуется и намагничивается. Рассмотрим теперь энергетическое взаимодействие между электромагнитным полем и проводящей средой. Известно, чтапример, что неподвижный проводник, по которому идет электрический ток, нагревается, это нагревание связано с обменом энергией между электрическим полем и проводником.
Получим теперь из уравнений Максвелла уравнение, определяющее изменение энергии электромагнитного поля, — уравнение Умова — Пойнтинга. Вычитая из первого уравнения Максвелла (4.3), умноженного скалярно на Л', второе уравнение Максвелла (4.3), умноженное скалярно наЛ, получим 1 4. Взаимодействие электромагнитного ноля о проводниками зоз Отсюда видно, что левая часть соотношения (4 17) может быть представлена в виде одного определителя: д д д дат два деа Ю, Е, Еа Пт 71а Пз Вектор умова — Потгвтвнга Если ввести в рассмотрение вектор Е =- — „;, (Е ХО), (4,18) вводится по определению как объемная плотность (а энергии электромагнитного поля; ~(р'..Е) йт йт моятно рассматривать как элементарную работу электрического поля Е над перемещающимися при микроскопическом внутреннем движении эа счет тока г" и при макроскопическом движении эа счет р,тт заряженными частицами.
В случае неподвижного проводника ')(1 Е)йтйт == ~~Г Е) йтй == йЯя Р г (4.21) представляет собой джоулево тепло. Для неподвижного проводника уравнение (4.20) моятно написать в виде — = — ~ Яа йб —— (4.22) Джоулево тепло нааываемый вектором Умова — Пойктянга, то соотношение (4,17) втоятно записать в следующем виде: Йойнтиига й(т ®~ + (~ Е ) + д Е 0 (4 19) Это уравнение носит название уравнения Умова — Пойнтинга.
Проинтегрировав (4 19) по неподвижному конечному объему У, получим Зойб+ — -„— )(Па —,'- Еа) йт + ~Ц..Е) йт =-. О, (4.20) й р р где Х вЂ” поверхность, ограничивающая объем )г, а и — внептняя нормаль к Е. Каждый из членов интегрального соотношения (4.20) имеет физический смысл. Трехмерный скаляр — (!Х' т 1.'а) 301 Гл. Ч1 Основные понятна к уразненяя алектродкнампкк т. е. полная энергия электромагнитного поля в объеме У в этом случае меняется только за счет потока вектора Умова — Пойнтинга.
Однако это изменение отлично от нуля только в случаенестационарного электромагнитного поля. В случае стационарного электромагнитного поля (дН/д/ = дЕ/д1 = О) поток вектора Умова — Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность в пустоте в силу уравнений Максвелла всегда равен нулю. В проводниках поток вектора Умова — Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность Х отличается от нуля и в случае стационарного электромагнитного поля.
Череа незамкнутую часть поверхности 2 поток вектора Умова — Пойнтинга, вообще, отличен от нуля, если векторное произведение Ж Х лл + О. Вектор Умова— Пойнтинга характеризует обмен энергией между различными участками электромагнитного поля, т. е. поток энергии через разделяющие эти части поля поверхность Х. При наличии макроскопического движения среды все предыдущие толкования можно применять для бесконечно малых элементов среды, когда уравнение Умова — Пойнтинга написано в соответствующей инерциальной собственной системе координат. В инерциальных системах координат, движущихся относительно инерциальной собственной системы координат, ве- личина ~ (/ Ж)дтд1+ ~ (1 .Е) дтЖ, ая ап (4.23') Полная энергия Ж электромагнитного поля в объеме У неподвижного проводника изменяется аа счет потока вектора Умова— Пойнтинга через поверхность 2, ограничивающусо объем т', и за счет перехода к среде джоулева тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
