Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В рамках специальной теории относительности даже для инерциальных систем, движущихся поступательно друг относительно друга с постоянной скоростью, этот трехмерный вектор и этот трехмерный скаляр кеинвариантны '). Тем не менее в подвижных друг относительно друга иперциальпых системах отсчета эти характеристики различаются между собой мало, когда относительные скорости движения малы по сравнению со скоростью света. В приложениях в рамках яерелятивистской механики этими различиями можно пренебрегать. В общем случае в качестве естественных и удобных характеристик внутренних физических процессов в маториалькой среде можно пользоваться трехмерными векторами плотности пондеромоторкой силы и трехмерными скалярами г'е =- с'г в собственной системе координат.
Система уравнений Максвелла (5.1), (5.2) не является замкнутой. В нее входит семь О добавочных соотношеиир" кающих урввиеиия Макс- независимых уравнений и шестнадцать велла (5Л), (5.2) неизвестныхЖ, Л, Л, 1т, у', р,. Эти уравнения недостаточны для определения перечисленных характеристик электромагнитного поля. Для того чтобы замкнуть систему, необходимы по крайней мере еще три векторных соотношения, связывающих векторы Ж, 11, т'е = 1 — р,тп Л и.0. Такими соотношениями могут служить закон Ома и аакопы поляризации и намагничивания тела. Эти добавочные соотношения пе носят универсального характера, оки по своему существу различны для различных тел и процессов.
Во многих В Это общее свойство любых трехыериых векторов в специальиой теории отиосительиости. Например, так же обстоит дело с вектороы плотности тока (сы. (ЗЛ6) и (5ЛО)). 1 о. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 311 случаях используются закон Ома и законы намагничивания и поляризации тела в следующем виде: у* = а(Х+ — х И'), (5.11) (5.12) (5.13) где компоненты тензора Смгд зависят от компонент метрического тензора дп, компонент вектора четырехмерной скорости точек среды иг = ~Ь''/дг и вообще от других физических параметров, характериаующих физическое состояние частиц среды, например от температуры, компонент тензора деформаций и т.
и. В изотропном случае, когда коэффициенты )г и е в (5.12) и (5.13) — скаляры, можно проверить, что для компонент тензора Сит~ верны слсдугощис формулы: 1 Смы = о 1Р(71г7п 7п7га) + 1 + — (лыи,и, — лгвиги~ + бяпгиг — лцитиг))г, где 7;; = ип — и,ия а и1 — ковариантные компоненты вектора четырехмерной скорости. Указанную проверку удобно произвести для неподвижного тела в декартовой инерциальной где через а обозначен, как и раньше, коэффициент проводимостк, через р — коэффициент магнитной проницаемости и через е — диэлектрическая постоянная. Во многих случаях на практике о, )г и е можно считать постоянными. В пустоте а = О, р = е = 1. Величины а, 1г и е, подобно коэффициентам вязкости и теплопроводности, можно рассматривать как физические характеристики среды, они могут зависеть от температуры (при низких температурах намагничивание и поляризация тел проявляются сильнее) и быть тензорными характеристиками, как, например, в случае анизотропных тел.
Трехмерные векторные соотношения (5.12) и (5.13), написанные в собственной систеи поляривации в теивориой форме ме координат, равносильны одному четырехмерному тенаорному соотношению, которое в силу своего физического смысла инвариантно относительно выбора системы координат.
В компонентах его можно написать в виде и Р11 = СмггН Сбы = С1см .= Стяг (5 14) З12 Гл. т'а. Оспоыпме попнтнн и уравнения электродинамики системе координат, связанной с телом. В этойсистеме их=и,=-О, и=1,2,3; ие= —, и,=с. А Заметим, что закон намагничивания (5Л2) не выполняется для очень сильных магнитных полей, когда вектор намагниченр — 1 ности ЛХ = — Н достигает максимальной величины при 4я полном насыщении, тогда как величину вектора ХХ можно увеличивать за счет внешних токов.
Существуют также материалы, в которых дипольные заряды (вызванные поляризацией тела) сохраняются неизменными в отсутствии внешнего электрического поля .Е. Для таких материалов несправедлив закон поляризации (5.13). Приведенными выше законами поляризации и намагничивания тел (5.12), (5ЛЗ) можно пользоваться при решении большого класса задач в случае не слишком сильных электромагнитных полей. Приведем теперь выражение для пондероПондеромоторные силы моторных сил, т. е. сил, действующих со стороны электромагнитного поля на тела, в которых происходит поляризация и намагничивание.
Это выражение для пондеромоторных сил связано с уравнениями Максвелла (5Л), (5.2) и имеет место при любых законах Ома, законах поляризации и намагничивания. Трехмерная пондеромоторная сила, отнесенная к единице объема, при учете поляризации и намагничивания отличается от силы Лоренца и в любой криволинейной инерциальной системе координат согласно формулам (5ЛО') имеет следующий вид: Ю = Р,.Е+ — Ц х В) + + (ВаЧЕ Е 7Ва + Ва1% О ттВа) (5„15) где 7 = а"~рт — трехмерный вектор-градиент; в декартовой ортогональной системе координат д .
д д хе = — э+ — 1+ — тэ. дх ду де Легко видеть, что в последнем члене формулы (5.15) для пондеромоторной силы векторы электрической и магнитной индукции Ю и В можно заменить на векторы поляризации Ю и намагниченности й1'. Сила Х' согласно (5Л5) отличается от силы Лоренца 1 йтлоренца = РеЕ+ „0 Х УУ)' $3.
Ваакмодейстаке электромагкктвого воля с телами 343 Р~С~ -" ) а == В',7 х йа д„+ 7Уа д д ( 3 /.(5 16) дРа дМа д /ЕаР +ОаМ В самом деле, на основании (5.6), (5.7) и (5.10') имеем У4 1 /Р Нтаа 1 1Г Выа~ ~ ~+.~'х (5 17) о 41 ~ ю4 4 топ / и, кроме того, ® ооах 4я (л' Х ах). По определению дд4 дг1 дга е 4 е Ра ~ + + да дх1 дха дЯ'а Г д,га + д ) "" аг йтЯ (5 18) Б рассматриваемом случае при наличии намагниченности и по- ляризации на основании уравнений Максвелла (5.1) и (5.2) урав- нение Умова — Пойнтипга принимает несколько видоизменен- ный вид: Д Я + — (Н ° + И вЂ” ~)+ т .Е =. 0 (5.19) Подставляя К, из(5.17) и 61т Я иэ (5Л9) в (5.18), после простых выкладок придем к (5.6). Непосредственно очевидно (см.
(5.3)), что в формулу (5.16) без какого-либо влияния на величину г"а можно вместо компонент Нд вектора лх вставить компоненты Ва вектора В. Приток энергии от поля к элементу объема Ж материальной среды за время сг аа счет электрического тока, поляризации и намагниченности представится формулой вида (5.20) Нетрудно усмотреть, что последний член в скобках в (5Л5) обращается в нуль, когда имеют место законы (5Л2) и (5ЛЗ), если р и е — скаляры и одинаковы для разных частиц среды (не зависят от координат).
Этот член, вообще говоря, отличен от нуля в анизотропных средах, когда )г и е являются тензорами, и в изотропных средах, когда законы (5.12) и (5.13) не выполняются или когда )г и е являются функциями от параметров, зависящих от координат (напрвмер, температуры). Кроме силового взаимодействия, между Приток энергии от коля к телу полем и материальной средой происходит также обмен энергией. Из уравнения (5.10") в декартовой инерциальной системе координат при 1 = 4 получим 314 Гл.
т'1. Осиовиые понятия и уравнения электродинамики Эта величина войдет в правую часть уравнения притока тепла для тела как внешний макроскопический приток энергии, который можно обозначить через ~ф,~ =. ~ф~;,~+ Й3,„(ср. гл. У, $2 (2.20)).
В этом уравнении слева стоит приращение внутренней энергии ИН для рассматриваемой бесконечно малой частицы. Так как построение модели материальной среды связано с определением внутренней энергии, входящей в уравнение и определяемой на основании этого уравнения, то для неподвижного тела полный дифференциал, входящий в (5.20): (5.21) можно перевести в левую часть уравнения притока тепла и включить по определению величину я(ЕвРв + НвМв) Ит во внутреннюю энергию Н рассматриваемого элемента тела '). Такое условие аналогично переходу в уравнении энергии или уравнении притока тепла от внутренней энергии к свободной энергии или к термодинамическому потенциалу Гиббса и т.
и. (см. гл. У, $ 6). С учетом такого определения внутренней энергии материальной среды напишем теперь формулу для притока энергии от поля к телу, отнесенного к единице массы среды: ~чэл Ыд' = — „, пж = ре(т. Йл На основании формул (5.16) и (5.20) в данной точке материальной среды получим йу' = — (У Х61 + .Е И.Р + Н т)М ), Р Очевидно, что формула (5.22) для Оде тесно связана с уравнением Умова — Пойнтинга (5.19), согласно которому формулу (5.22) можно переписать еще в следующем вцде: е)о' — — — — ~Н +„+ б)тЯтИ~.
(5.23) т) В соответствии со сиаваияым выше в формуле (5.21) и в последующих компоненты Н можно вэмеиить через ВВ. Энергетические формулы (5.22) и (5.23) получены из уравнений для поля, их можно применять в любой инерциальной системе отсчета наблюдателя, в которой написаны уравнения Максвелла. Для тел, подвижных относительно системы наблюдателя, особое значение имеют собственные системы координат. $ 5. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 315 В собственной системе координат (5.24) где Й7<») — джоулево тепло, а (5.25) если процесс поляризации и намагничивания обратим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
