Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Третье следствие Интенсивность любой векторной трубки рассматриваемого поля вектора А во все время движения остается постоянной. В самом деле, интенсивность векторной трубки, как известно (см. гл. П, 98), определяетсяпотоком вектора А через попереченое сечение трубки (в соленоидальном векторном поле он постоянен вдоль трубки). Поэтому только что сформулированное утверждение является непосредственным следствием свойства (7. 9) рассматриваемого векторного полн А. Для полн вектора А, удовлетворяющего условиям (7Л), будем иметь ~ А „Иб =- ~ А „Иб, где Х и Х' — произвольное поперечное сечение векторной трубки в моменты времени 1 и 1'. Таким образом, в векторном поле А, удовлетворяющем условиям (7.Ф), векторные поверхности, трубки и линии сохраняются во время движения в том смысле, что они перемещаются в пространстве вместе с частицами сплошной среды,'„Векторные поверхности, линии и трубки вморожены в среду.
Как сказано выше, условиям (7Л) удовлетворяют векторные поля магнитной напряженности ха в случае среды с бесконеч- $ ной проводимостью и вектора вихря скорости е = — той э в 2 случае баротропных процессов в идеальной нпщкости и потенциальных внешних массовых сил. Поэтому поля магнитной напряженности Н' и вектора вихря е в этих случаях в указанном вылив смысле вморожены в среду. 330 Гл.
Ч1. Основные понятая в уравневня злектродпнамнкн Так, например, если в некоторой области К, занятой сплошной средой с бесконечной проводимостью, в начальный момент времени 1„ не было магнитного поля Н, то его не будет и в области Ю', в которую перейдет область Ю в произвольный момент времени 1. Магнитное поле движется вместе с частицами сплошной среды. Если на Солнце происходит извержение плазмы, представляющей собой облако раскаленного газа бесконечпой проводимости, то магнитное поле движется вместе с плазмой и вытягивается из Солнца в межпланетное пространство.
Ввиду важности свойств поля вектора вихря е» в случае баротроппых движений идеальной жидкости в поле потенциальных сил для приложений остановимся на них подробнее. Свойство (7.9) для векторного поля 1 «» = — го»»» запишется, если Х— 2 жидкая поверхность, следующим образом: Теорема Томсена е»„об = — сопзь, в (7.9') т. е. поток вектора вихря скорости м через любую поверхность Е, движущуюся вместе с частицами сплошной среды, постоянен.
С помощью теоремы Стокса свойство (7.9') можно записать в виде (и, Л) =- совзь (7.10) (где С вЂ” произвольный замкнутый контур, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости) или з виде Г = сопз$, (7.11) т. е. если внешние массовыо силы потенциальны в движение идеальной жидкости баротропно, то циркуляция скорости Г по любому замкнутому «жидкому» контуру во все время движения не изменяется. Это утверждение носит название теоремы Томсона.
Следует помнить, что постоянство цирку- замкнутых пзнтурев е ляции, как вытекает из доказательства Г + О в потенциальном теоремы Томсона, имеет место только по петене е пзверхнестямн контурам, получающимся друг из друга непрерывной деформацией. разрыва скорестн Еслижидкость находилась впокое в некоторый момент времени, то циркуляция в зтот момент времени была равна нулю $7, Заковы вморожевностн магнктвых к вихревых ливий ЗВ1 по всем контурам.
Однако при дальнейшем движении при наличии разрывов скорости в потоке вообще могут появиться замкнутые контуры вц а Т, по которым циркуляция будет Отличаться от нуля (рнс, 4$). В самом деле, если контур 2 пересекает линию раэрыва скоростей, то цир- гг7 куляция по контуру У вообще отлична от нуля, так как скорости точек лт и У на по- .8' С верхности разрыва различны; поэтому контур М, замкнутый Рвс, 41. цвркуляквя во контурам в рассматриваемый момент С равна нулю, во контуру Ы может времени, становится разомк- отличаться от куля.
нутым в следующий момент времени и был вообще незамкнут в предьгдущие моменты времени и, в частности, в начальпый момент, когда жидкость покоилась. К незамкнутым жидким контурам теорема Томсона неприменима, и циркуляция по таким контурам не сохраняется. Е1епосредственным следствием теоремы Томсона является теорема Лагранжа. Воли при соблюдении условий теоремы Теорема Лагранжа Томсона в некоторой части всндкости в некоторый данный момент времени гс нет вихрей, то их в этой части жидкости не было при г ч гс и не будет при 8 ) ~с.
Подчеркнем, что в формулировке теоремы Лагранжа речь идет не об определенной части пространства, а об определенной массе жидкости, движущейся непрерывно. Докажем теорему Лагранжа. По условию в области й при 8 = — гс нет вихрей, и, следовательно, в каждой точке этой области ю =- О. Поэтому по теореме Стокса (Г =- 2 '1 ю„4о) циркуляция по любому аамкнутому контуру, принадлежащему Й, равна нулю: ф(о л) == О, с По теореме Томсона циркуляция Г по любому замкнутому я<идиому контуру будет равна нулю и во все другие моменты времени.
Тогда вновь из теоремы Стокса вытекает, что для любой поверхности Х, целиком лежащей в области Ю жидкости, 332 Гл. Ч1. Основные понятия и уравнения электродивамикн А это может быть только тогда, когда в любой точке Ю и для любого направления и ю„= О, т. е. в любой частице жидкости в любой момент временй гз = О. Отсутствие вихрей, как известно, равносильно существованию потенциала скоростей.
Позтому теорему Лагранжа мол<но сформулировать также следующим образом. Если в некоторый момент времени 1, движение жидкости или газа было потенциальным, то при соблюдении условий теоремы Томсона оно было и будет потенциальным и во все другие моменты времени. Таким образом, в атом случае существует потенциал скоростей ~р (х, у, г, г) и и = яга4 ~р(х, у, з, 1). Из теоремы Томсона видно большое физическое значение потенциальных движений идеальной жидкости.
Наличие потенциальности сильно облегчает решение задач об определении поля скоростей. Можно сказать, что вихри в жидкости могут возникать и исчезать, вообще говоря, только в том случае, когда нарушается хотя бы одно из предположений теоремы Томсона, т. е. либо жидкость вязкая, либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не потенциальны, либо нарушается непрерыввость поля скоростей. Доказанные свойства сохраняемости векторных 1 поверхностей и линия, а также напряженностей векторных трубок для поля вектора вихря скорости баротропных движений идеальной жидкости или газа назь1ваются динамическими теоремами Гельмгольца, которые формулируются следующим образом.
Первая динамическая теорема ГельмДииамнчеекие теоремы гольца: в предположениях теоремы Томсона частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую поверхность, трубку или линию, во все время движения образуют соответственно вихревую поверхность, трубку или линию. Вторая теорема Гельмгольца: в предположениях теоремы Томсона интенсивность вихревой трубки во все время движения остается постоянной, т. е. Г = ~(в. Л) = сопев, с где С вЂ” замкнутый контур, охватывающий данную вихревую трубку. Мы используем зги теоремы о векторе вихря скорости в гл.
У1П, посвященной задачам гидродинамики. ГЛАВА ЪП О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОИ СРЕДЫ з 1. Общие основы постановки конкретных задач Модели и системы от счета ') Для отчетливости и ясности в постановке задач лучше все докущевия и условия формулировать в янном виде, При теоретическом исследовании конкретных задач в механике сплошной среды необходимо обязательно явно или неявно ') пользоваться выбором систем отсчета наблюдателя, в которых описываются движение и состояние изучаемой среды. В ньютонианской механике в качестве систем отсчета наблюдателя можно выбирагь любые «неподвижные» или движущиеся системы.
Однако требуется всегда указывать инерциальную систему отсчета, так как только на атой основе можно пользоваться данными о силах инерции. В нужных случаях требуется также иметь в виду существование системы координат Лагранжа, которая фактически позволяет индивидуализировать точки континуума сплошной среды и, по существу, всегда кладется в основу определения характеристик движении н состояния часпщ среды. В предыдущих главах были установлены и описаны универсальные уравнения механики, термодинамики и электродинамики.
Эти уравнения являются фундаментальными соотношениями, в рамках которых строится теория любых конкретных моделей сплошных сред. Они принимаются для всех моделей и в рамках определенной модели для всевозможных отдельных случаев движений и физических процессов. Как было выяснено выше, универсальные уравнения для непрерывных гладких распределений могут быть написаны в виде дифференциальных уравнений с частными производными. Наряду с дифференциальными уравнениями была указана также формулировка тех же физических положений в интегральном виде: интегральная форма уравнения неразрывности ((1.2), гл. 1П), уравнения импульсов И2.2), гл. 1П), 1-го закона термодинамики — уравнения энергии((8.1), гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
