Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В некоторых задачах механики сплошной Мальте возмущения ео- среды исследуолтые двиитения и процесоеиовиого движения сы имеют характер малых возмущений некоторых состояний равновесия или основного двюкения. Например, в упругих телах (деталях различных машин и сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформации, являющиеся в декартовой системе координат отвлеченными числами, имеют порядок долей процента; поэтому большое распространение получила линейная теория бесконечно малых деформаций, в г которой произведениями малых величин пренебрегают.
I В теории волн в тяжелой жидкости часто рассматривают такие движения воды, при которых свободная поверхность воды мало отличается от горизонтальной плоскости — спокойного уровня воды; в этом случае величины абсолютной скорости и соответствующих перемещений частиц воды малы. В аэродинамике часто изучается движение различных тонких тел (крыльев, снарядов и т.
п.) в воздухе в направлении их основного размера (рис. 42). Когда угол наклона скорости полета к элементам поверхности тел мал, зто движение вызывает в основной массе воздуха малые скорости возмущения, пропорциональные произведениит скорости полета на малые углы наклона поверхности тела и направлению вектора скорости полета. 348 Гл. Ч11. О постановке задач з мехавнке сплошной среды Лннсар ханнкн Лннсарнзацня граничных условий Примеров, подобных перечисленным выше, можно указать еще очень много. Указанные заключения о малости возмущений искомых функций для перемещений, скоростей, величин плотности, давления, температуры, характеристик электромагнитного поля и т. п., вообще говоря, не строгие, а в отдельных малых областях потока они всегда просто неверны.
Однако во многих случаях эти предположения хороню оправдываются в главной, практически важной области. Конечно, имеются и такие важные случаи, когда допущения о малости искомых функций совершенно неприемлемы и требуется учитывать существенные нелинейные эффекты. В тех случаях, когда допущение о малости искомых функций является приемлеснлошной среды мым, в постановке задач можно произвести линеаризацию, которая сводится к следующим существенным упрощениям: Ф 1.
Для искомых функций, принимаемых Линев рнзацня уравнений в качестве учитываемых малых первого порядка, все уравнения, дополнительные соотношения типа уравнений состояния, соотношения, выражающие начальные и граничные условия, и т. п. записываются в виде линейных уравнений после пренебрежения малыми порядка вылив, чем первый. 2. По предположению деформация границ принимается малой, поэтому граничные условия на деформированной поверхности Я, ограничивающей область Ю, сносятся по нормали к границе Яс области л1с, соответствующей основному невозмущенному состоянию, на Яс. Таким образом, искомые функции определяются как решения линейной системы уравнений в известной области л1с с линейными граничными условиями на известной поверхности Яс.
По найденным функциям для возмущенного движения в результате решения краевой задачи в первом приближении можно определить малые деформации границы Я. Например, для упругого тела перемещения его точек определяются как функции координат путем решения линейных уравнений в области недеформированного состояния с линеариэованными граничными условиями на недеформированной границе„по найденным перемещениям можно вычислить малые деформации, а также в первом приближении определить вид деформированной границы.
Например, рассматривая, в частности, задачу о малых деформациях упругого бруса с заделанным нижним основанием под действием распределенных сил, граничные условия можно писать на недеформированной поверхности Яо бруса (рис. 43). $3. Линеаризация уравнений механики сплошной средм Зрй В теории волн малой амплитуды на поверхности тяжелой жидкости граничное условие на свободной поверхности Я (условие о постоянстве давления) сносится на горизонтальную плоскость Яо, совпадающую с уровнем покоящейся жидкости (рис. 44). Посла отыскания линеаризованного поля скоростей по определенным скоростям на горизонтальном уровне 8„ можно Рис. 44.
К линеариаации постановки задач з теории воли малой амплитуды. Рис. 43. Упругий брус под действием распределенных сил. Нижнее основание бруса жестко заделано. вычислить перемещения точек свободной поверхности и таким путем найти с точностью до малых первого порядка форму свободной взволнованной поверхности. В линеаризованной аэродинамике сложная область и), аанятая возмущенным движением газа, с границами, совпадающими с поверхностью топкого крыла, заменяется внешностью плоской пластинки, к которой по предположению блиака поверхность топкого крыла. Граничные условия обтекания на поверхности обтекаемого крыла с удержанием только малых первого порядка переносится соответственно на разные стороны плоской пластинки.
После этого рассматривается движение жидкости или газа в бесконечном пространстве, а граничная плоская пластинка представляется как поверхность разрыва давления и скорости; разрыв давлений уравновешивается при этом внешними распределенными силами, действующими на жидкость или газ со стороны крыла. В приближенной постановке эти силы действуют на жидкость или газ со стороны пластинки.
При рассмотрении движения бесконечной жидкости с разрывом скоростей на поверхности разрыва, соответствующей крылу, необходимо вводить внешние распределенные силы. Замену внутренности крыла жидкостью путем введения разрывов и внешних поверхностных сил, распределенных по поверхности крыла, можно производить и в точной нелинейной постановке задачи. 350 Гл. 711. О постапоапе задач в нехавипе сплошной среды Линеаризованные постановки составляют основу теории упругости в рамках теории малых деформаций. Эта теория положена в основу великого множества методов расчета втехнических аадачах. В аэродинамике, наряду с линеаризованными теориями, получили широкое раавитие нелинейные теории, так как во многих случаях возмущения в потоке нельзя считать малыми.
Теория волн на поверхности тяжелой жидкости и многие проблемы электродинамики и других областей фиаики развиты в рамках линеаризованных постановок задач. В рамках математически трудной теории волн конечной амплитуды на по- верхности тяжелой жидкости, когда граничные условия нели- е нейны и должны удовлетворяться на искомой свободной поверхности, рассмотрено небольшое число задач. Линейные дифференциальные уравпенвя обладают аамечательным свойством суСуперпоанцня решений перпозиции решений. Сумма нескольких частных решений тоже является решением. Для нелинейных уравнений очевидно, что сумма частных решений не является решением.
С помощью образования конечных сумм, рядов или интегралов частных решений можно строить решения линейных уравнений механики сплошной среды, содержащие проиавольные функции и совокупности постоянных, с помощью выбора которых можно удовлетворять начальным, граничным и другим условиям поставленной задачи. В дальнейшем мы проиллюстрируем это положение на примерах. Среди частных решений систем линей- Стоячие залпы ных уравнений, содержащих частные производные по времени 1 от искомых функций, с коэффициентами, не аависящими от г, большое значение имеют решения следующего вида: Р = Вее1 [я (х, р, г, ш) е'"'1, (3.1) где 1 =- 7 — 1, а = ш» + йот — постоянное, вообще, комплексное число, à — искомые функции. Формула (3.1) определяет зависимость величины функций Р от времени, комплексные функции д (х, у, з, ш) характеризуют распределение амплитуд и фаз по точкам пространства.
Эти функции зависят от «частоты» ш. Поверхности агя(д) =сопзс называются фааовыми поверхностями; поверхности, на которых [ у ['= О, называются узлами, поверхности максимума модуля [д [ нааываются пучностями. Колебания (3.1) можно наавать стоячими.
При стоячих колебаниях обычно подразумевается, что в области и) имеются узлы. 1 3. Лииеариэации уравиеиий механики сплошной среды аа1 В приложениях обычно рассматривают стоячие колебания с фазой, одинаковой во всех точках пространства. В некоторых случаях, например при жестких аакреплениях в точках границы Я, граничные условия сводятся к требованию совпадения границ с узлами; в других случаях условия на свободных границах могут сводиться к требованию совпадения участков границ с пучностями.
Граничные условия накладывают, вообще говоря, ограничения на допустимые значения частот аа. Если аа =- са, действительно, то зависимость (3.1) искомых величин от времени представляет собой гармонические колебания с различными амплитудами и с, вообще говоря, сдвинутыми фазами в различных точках н для различных величин. При наличии равенства (3.1) проблема сводится к определению функций д (л, у, з, ш) и частот аа.
При шэ ч,. О происходит нарастание амплитуд, прн юэ ) Π— аатухание. Для линейных уравнений можно строить более общие решения с помощью метода Фурье, состоящего в суперпоэиции стоячих колебаний вида (3.1) с различными ш, которые в одних задачах могут принимать некоторые дискретные значения, аз других образовывать непрерывное множество. Другим важным частным видом решений линейных уравнений являются решения типа неаатухающей прогрессивной волны следующего вида: Р (и, у, з, )с, ш, Е) = Вее1 д (у, э, )с, ш) ест' "'>, (3.2) где и и ш — постоянные действительные числа, д — некоторая комплексная функция. В общем случае имеется некоторое множество допустимых значений ш и й, причем величина й может определяться в зависимости от ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
