Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Так, например, обстоит дело при переходе от уравнений вязкой жидкости к уравнениям идеальной жидкости. При переходе от данной модели с разрывными решениями к усложненным моделям с непрерывными решениями усложненные модели можно вводить по-разному, брать различные ааконы диссипации, различным образом нелинейную вяакость и т. д. Возникает вопрос о независимости предельного перехода от введения вспомогательных усложненных моделей. В рамках фиксированной модели эти Разрывные решения нан вопросы решаются несколько проще для яре~'~ ~~Ре~~~~~'~ м е таких специальных систем уравнений, дени которые допускают последовательность непрерывных решений, стремящихся к данному предельному раарывному движению. Такое положение встречается для некоторых систем линейных уравнений с частными производными. Однако такое положение дел имеет место не всегда даже в случае систем линейных уравнений.
Это связано с тем, что раарывпые движения вообще необратимы и характеризуются конечными потерями механической энергии даже тогда, когда непрерывные движения вообще обратимы. Например, в' случае нелинейных уравнений газовой динамики для адиабатических процессов вообще не существует последовательности непрерывных решений, стремящихся в пределе к рассматриваемому адиабатическому необратимому разрывному решению.
Получение предельных разрывных двипределы непрерывных е "Р Р " нан жений и соответствующих условий на подходящими зиеш им разрывах возможно еще следующим пувоздейетзиями тем. Можно рассматривать последовательности непрерывных движений для данной системы уравнений, в которых в тонких слоях с непрерывным, но резким изменением характеристик движения, вводятся подходящие внешние массовые силы, внешние притоки тепла и других видов энергии.
Затем проводятся предельные переходы, в которых суммарные характеристики внешних воздействий либо стремятся к нулю, либо имеют заданное значение в зависимости от свойств раарыва по смыслу иаучаемой задачи (несущая поверхность в аэродинамике, поверхность тепловыделения при горении в тонком слое или при какой-либо другой химической реакции и т. п.). 12' 35В Гл. УП. О постановке задач в мехакнке сплошной среды О це «еккл Роль конов дели Таким образом, опираясь на уравнения процессов для данной модели, или па системы усложненных уравнений для «блиаких» моделей, или с помощью искусственных внешних воздействий, всякий раз с помощью некоторых дополнительно явно формулируемых или неявных допущений, можно вообще вводить движения с разрывами как пределы непрерывных движений и получать условия на раарывах.
Для иллюстрации смысла вопросов о разрывных рещеккй соотношениях между непрерывными и разрывными решениями рассмотрим следующую акзотическую задачу о движении в руках жестикулирующего гостя механической системы, состоящей на бокала, налитого в него вина и кусочков льда, плавающих в вине. Стенки бокала и границы раздела между льдом н вином, очевидно, целесообразно рассматривать как поверхности разрыва плотности вещества. В атом случае, даже при очень детальном механическом исследовании в рамках теории сплошных сред, вряд ли нужно вводить тонкие слои с непрерывным изменением плотности, хотя нельзя совсем исключать подобные трактовки. Как в этом примере, так и во многих других «практически более важных» случаях (задачу о бокале с вином можно заменить более актуальной задачей о движении топлива и газов, заполняющих баки ракеты, летящей в космическом пространства) о непрерывных решениях можпо говорить только с сугубо теоретической точки зрения, как об источнике получения различных критериев и дополнительных соотношепий на разрывах или как об основах для оценки реальности и пригодности фактически определяемых разрывных решений.
Если бы мы оставались только в рамках усложненных теорий с тонкими слоями, реаких, но непрерывных изменений параметров движения и состояния, то не могло бы быть и речи о получении фактических решений множества аадач, уже решенных с использованием внутри и на границах сплошной среды поверхностей разрывов. Нужда в такого рода предельных перекктеграаьныл аа ходах отпадает, когда основные фиэидля определенна моческие уравнения формулируются в интегральном виде, в котором непрерывность искомых функций, по существу, не подразумевается. Интегральная формулировка физических законов полностью аквивалентна дифференциальной для непрерывных процессов. Для разрывных процессов интегральная формулировка обладает большей общностью.
Однако при использовании для вывода условий на разрывах интегральных формулировок законов движения и состояния среды также невозможно обойтись беэ дополнительных гипотеа, в частности, необходимо расширять рамкитобратимых 9 4. Условия на позерхностах сильных разрыэов 357 или необратимых моделей, необходимо вводить и дополнительный аффект роста энтропии в частицах, проходящих через поверхности сильных разрывов.
К сказанному вьппе необходимо добавить О дополнательных услосоображения о свойствах устойчивости сильных разрывов. Дело в том, что на некоторых сильных раарывах могут выполняться все установленные ниже условия и в том числе условия, связанные с ростом энтропии. Гем не менее существуют разрывы, которые не могут реализоваться иэ-аа их неустойчивости, обусловленной видом скачка и свойствами системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерьгвное движение по обеиы сторонам от скачка. Нужно иметь также в виду, что при использовании физически допустимых раарывов (устойчивых и удовлетворяющих универсальным условиям механики и термодинамики) для обеспечения единственности и соответствия действительности искомых решений в некоторых задачах требуется устанавливать на скачках дополнительные соотношения физической природы.
В настоящее время условия устойчивости скачков и дополнительные физические соотношения, упомянутые выше, рассматриваются в магнитной гидродинамике ') и в общей математической теории усложненных моделей сплошных сред '). В теории скачков для модели совершенного гааа эти вопросы не возникают. При отыскании решений уравнений в иниусо о галдю х фу,щ.
тегральной форме в классе кусочно-глад- О решении задач э иласцвй ких функцийэраэрывные решения с учетом определяемого дополнительного роста энтропии на раарывах и других дополнительных условий получаются, вообще говоря, автоматически из постановки аадачи. Построение кусочно-гладких решений для систем дифференциальных уравненийг, путем обобщения этих уравнений с помощью соответствующих интегральных соотношений приводит к теории обобщенных решений, развитой для линейных уравнений в общей теории дифференциальных уравнений математической физики. г) А.Г.Куликовсиий, Г.А.Любимое, 0 магнэтогидро, дниамических ударных волнах, ионизирующих гаэ, ДАН СССР, т.
129, га 1, 1958. А. Г. К у л и к о э с к н й, А. А. Б а р м ил, 06 ударных волнах,ионизирующих гаэ, находящийсяэ электромагнитном поле, ДАН СССР, т. 178, М 1, 1968. э) А. Г. К у л и и о в с к о й, 0 поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными сэойстэаэщ. Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике, ПММ, гб 6, 1968.
ЗЖ Рл. ЧП. О постановке задач з механике сплошной среды Теория кусочно-гладких решений может быть построена и естественно развита при формулировке задач физики и механики с помощью вариационных принципов. Существуют поверхности слабого и сильного разрыва. Поверхности, на которых к акаьвые раа- искомые функции непрерывны, но раарывны только некоторые их проиаводные по координатам и по времени, называются слабыми раарывами; поверхности, при переходе через которые терпят разрыв сами искомые функции, называются поверхностями сильного разрыва.
Ниже мы рассмотрим условия на поверхностях сильного разрыва. Такие поверхности моькно вводить как заданные поверхности с заданными законами их движения в виде внешних связей, или как носители заданных или искомых силовых и других внепших воздействий, или как искомые поверхности без внешних воздействий, форма и движение которых заранее неизвестны и, вообще говоря, должны быть найдены в процессе решения задачи. Рассмотрим подвижную поверхность 8, Скорость точек позерхво- уравнение которой представлено в виде стн разрыва ( (х, у, з, ь) = О.
(4.1) Вследствие движения поверхность Я в различные моменты времени 1 и г + йЗ занимает различные положения 8 и 8' (рис. 45). Воаьмом на Я в момент г не- Л' которую точку М и предположим, что в точке М существует определенная нормаль к Я '). 4' Единичный вектор нормали гь в точке М к поверхности Я па- х правим в сторону вектора ЛГУ, Ркс. 45. н определению скоро- где точка )Ч является точкой стз точек подвижной поверхности. пересечения перемещенной поверхности Я' с нормалью к Я в точке М. Знак функции ~ (х, у, г, З) определим из условия ~(ЛХ, 8) = О, /(У, ~))О, и поэтому и = ь . (4,2) !ргали / ~ ' Скоростью перемещения в пространстве поверхности Я в точке М называется вектор Я, нормальный к Я и определяемый з) Овределеввая кормаль з точках поверхности 8 существует, когда вектор йтай г' определен однозначно в навоюй точке 8 далыпе иы искюочаем случаи позерхноств 8 с иааомаии в другами есобевностамн.
9 4. Условия ва яоверхяостях сильвиа разрывов 359 как следующий предел: У =п1!ш —. М1У аг Если уравнение (4.1) поверхности Ю задано, то вектор Я легко вычислить. В самом деле, обозначая через 1 д~ 1 дг и=, . —,и йгаа/~ дх ' г )бгаб! ~ ду ' ' )бгад/) дг — и — компоненты единичного вектора гь, можно написать (4.3) ~ (х+ МИП, у+ МИп„, х + МЫП, 1+ М) = О. Отсюда с точностью до малых высшего порядка получим МФ ~дгаб~~+ —, Л1= О.
дг Пользуясь этим, по определению (4.3) найдем д1 щ ~бгай1) (4.4) Очевидно, что йб = О в каждой точке М на поверхности Я, если функция / в уравнении (4.1) не зависит от времени. При преобразованиях системы координат с переходом к различно движущимся системам вектор скорости 1я) зависит от выбора системы координат. Для каждой точки М поверхности Я можно указать свою «собственную» систему координат — систему отсчета К", в которой скорость йб точки М в данный момент времени обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
