Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Поэтому требуется дать вид этих соотношений в любой системе отсчета, не свяаанной с движением каких-либо точек поверхности разрыва. 3% Гл. ЧП. О постаяовке задач з мехавике свлошиой среды Для колучевия таких общих условий в различных точках поверхности Я в одной и той же системе координат достаточно во всех уравнениях заменить вектор скорости и» движения относительно системы К» через вектор скорости и = т» + +!В (е» = е — йб) относительно фиксированной системы координат К. Соответствующие условия после использования уравнения сохранения массы и уравнения импульсов можно написать в форме Ра Ф' — гж) = Ра(.~ — гьа), (4.20) (4.21) ха+ Рш+ Раааа(™»а) = Раа+ Рата»Ф заа)~ ( „а И'+2а„, а,— Д„',+Ра(Ю вЂ” и )(, ~' + ((а)= ( а = Р„а, — Ч„а+ Ра (.б — .а) (, 2 + ((а), (4.22) (4.23) = ~т„.
— 2аап а~ = Я„, — Я„а — Уа„„ааа+ йа„а'аа~ аз=О. (4.24) Следовательно, при аь = О напряжения па площадке поверхности касательного разрыва непрерывны, а работа сил пап- Ра(з.а — ~) (.а — з,) =- а. Величина И' (и) в (4.22) равна И' (в») + Ю Х). Выписанные соотношения па скачках верны в любой системе координат (ииерциалькой или пепперциальпой) и во всех точках поверхности раарыва.
Условия для моментов ие выписаны, потому что в дальнейшем рассматриваются только такие модели, для которых йуа = = Д„= (с = О во всех точках области движения. Пи»раааа и»верхи»сача раа Легко видеть, что скорости Ю вЂ” а„, и рыва относительно среды Ю вЂ” и„а можно рассматривать как скорости поверхности разрыва относительно частиц среды яа рааличпых сторонах раарыва. Если й — а„а=О и Х вЂ” и„а=О, то аангенциальный разрыв . частицы среды яе переходят с одной стороны разрыва па другую, а г„а = саа.
В етом случае, вообще говоря, возможеп разрыв касательной составляющей скорости па различных сторонах разрыва и произвольный разрыв плотностей (Р, + Ра). Такой РазРыв называетсЯ тапгепциальпым или касательным разрывом. При касательном разрыве условия (4.21), (4.22) и (4,23) принимают впд $ 4. Условия ва поверхностях сильных разрывов 367 Если г„з+ э„ы то частицы среды перекв уллотлевяя в ходят с одной стороны поверхности Я на другую, изменяя свои характеристики состояния и движения скачком (ударом). Нетрудно убедиться, что разность г„, — г„г + О не зависит от выбора системы отсчета и от способа нумерации равных сторон Я. В самом деле, перемена нумерации меняет направление нормали, т.
е. переставляет нормальные составляющие скорости и меняет их знаки. Установим нумерацию сторон поверхности Я таким образом, чтобы среда переходила через Я со стороны 1 на сторону 2. Если мы воспользуемся системой отсчета, в которой в, = О, то очевидно, что в этом случае в такой системе координат й„ ) О. При этом способе рассмотрения получим, что поверхность Я распространяется в покоящейся среде, отмеченной индексом 1. Очевидно, что если э„з — и„, ) О, то при нашем рассмотрении и„з ) О и среда за скачком Я набегает на покоящуюся среду перед скачком. Если на скачке выполняется закон сохранения массы (4.20), то для таких скачков рз ) р„т.
е. плотность среды за скачком возрастает. Скачки, для которых г„з — з„, ) О, называются скачками уплотнения. Если г„з — и„, ( О, то нормальная по отношению к Я составляющая скорости среды за скачком направлена в сторону, обратную скорости распространения скачка в неподвижной среде, "поэтому в среде за скачком возникает раарежение, т.
е. рз (р,. Такие скачки нааываются скачками разрежения. Установленные в этом параграфе условия на скачках могут служить источником получения граничных условий для решения дифференциальных уравнений в области непрерывных движений среды. В ряде случаев можно задать свойства, движение и состояние частиц среды с одной стороны поверхности разрыва, тогда соответствующие характеристики с другой стороны должны удовлетворять найденным соотношениям. В частности, таким путем можно получать граничные условия на свободных границах «нидкости, на границах твердых тел ит, п. ряжений на разности касательных (по отношению к разрыву) скоростей при Ю= О равна равности потоков энергии д„через разрыв. Для идеальной жидкости условия (4.24) при .В = О и В' = О сводятся к условиям непрерывности давления и нормальной компоненты вектора потокаэнергии на поверхности касательного разрыва. Скач разве 668 Гл.
ЧП. О постановке задач в ывхаззке сплошной среды 6 5. Сильные разрывы в электромагнитном поле Рассмотрим электромагнитное поле, вааимодействующее с материальной средой, и предположим, что в поле имеется поверхность разрыва Я. Установим соотношения, которым должны удовлетворять значения электромагнитных характеристик с разных сторон поверхности Я. Для получения этих соотношений будем исходить нз уравнений Максвелла, записанных в интегральной форме и распространенных на случай электромагнитных полей с наличием поверхности разрыва.
Для удобства выпишем этн уравнения (см. гл. ч1, (5.5)). В любой инерциальной системе имеем ~Л ас = — О, ~.0„~й =4л ~р,с(т, .Е Ь' — — — — „~ В„Но, Ф с~ (5Л) (5.2) и, как следствие этих уравнений, закон сохранения зарядов (5.3) Здесь Х вЂ” замкнутая поверхность, ограничивающая неподвижный объем У, Х, — неподвижная незамкнутая поверхность, ограниченная контуром 2',. Пусть М вЂ” некоторая точка на поверхности разрыва Я и К* — инерциальная система координат, в которой скорость й) точки М поверхности Я равна нулю.
Система К* — «собственная» система координат для точки М; соседние точки на поверхности Я могут иметь в системе Кэ скорости, отличные от нуля. Примем, что уравнения (5.1) и (5.2) написаны в системе К*. В уравнениях (5Л) и (5.3) используем объем У, ограниченный поверхностью Х и определенный так же, как и в $4. В уравнениях (5.2) в качестве поверхности Хд и контура Я возьмем сечение объема Ф' и поверхности Х плоскостью, проходящей через векторы нормали и и касательной ч к Я в точке М. Направление вектора ч, касательного в поверхности Я, может быть произвольным.
По условию направления в, ч и вектора нормали ич к Х, образуют правую систему, т. е. и* = и Х т. Рассмотрим поверхность разрыва 8, по Условия на поверхнэстзх обеим сторонам которой векторы Н', В, ,Е,Нконечны н непрерывны,но при переходе через 8 могут претерпевать разрыв. Относительно распре- $ б. Сильные разрывы в влектромагнитиом поле 369 деления зарядов р, и токов 3 допустим, что на поверхности Я могут быть .поверхностные заряды у и поверхностные токи е ~/У 7/' .Ф/ д/Г Ы~е,ю Р Пеееегеаеве Гг уежуелеем С А'ануе.К Уйрргуе" б' Рис.
47. Схемы областей интегрированна или получения условий на поверхности разрыва. (векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности 8), определяемые в точке М с помощью предельных переходов: 11ш — ~ р,с(т = т(ЛУ), ч ийс сае (5.4) 11ги — ~ ут сЬ =.. е(.Ч), ь ла мйс а с н,=аа (5.5) где Ьа -+ Π— алемент поверхности Я нлн Е„ стягивающийся в точку М, ут — векторная составляющая объемной плотности тока, параллельная касательной плоскости к Я в точке М. Из уравнений (5Л) и (5.3) с учетом (5.4) таким же путем, как в 9 4, получим В„, — Л„з = О, .17„, — 1)„е = 4иу Жч4+ 1п1 1из е дт (5.7) где Ищ 1„Л = рг1'+ чз( 1 г. с-и ~с ~ 370 Гл.
ЧН. О постановке задач в механике сплошной среди С вЂ” аамкнутый контур, стягивающийся к точке М на поверхности раарыва Е; ~„— нормальная составляющая на контуре С вектора 4; Ан — площадь элемента поверхности Я, ограниченного контуром С; 61т й — двумерная дивергенция вектора 4, определенная на поверхности Я; Р и Р— компоненты вектора 4, а Ч„ — ковариантные проиэводные в системе координат на поверхности Я.
Аналогичным путем из уравнений (5.2) после перехода к пределу при Ь -э О и затем при стягивании дуги контура Х к точке М получаем ˄— Л„= О, (5.8) и„— И„= — 4 (т4 х т). 4к Очевидно, что последнее равенство в векторном виде можно написать так: 1 ууш= (4 Х т4) 4к (5.9) йУ„й, — 4 ((Д . В)~4 У) Т 4к . ° / Я~Р ° Ȅ— Н„, + — ((В, — В,) Х У], = — ' ~ 1 — —,, (4' Х ). (5 42) Здесь и и т — нормальные и касательные направления к поверхности разрыва Я. Скорость 99 вычислена в системе К и направлена по нормали к В.
Величинау*и векторйо определены в собственной системе координат. Формула (5.7), при пренебрежении членами порядка л)'/с' при у = уо и 4 = йо сохраняет свой вид. (5Л1) где Л,„и хх',а векторные составляющие вектора Н, параллельные касательной плоскости к Я в точке М. Система условий (5.6) — (5.9) обраэует полную систему соотношений на поверхности разрыва для электромагнитных характеристик с учетом поляризации, намагничивания и токов. Эти соотношения написаны в особственной» для точки М инерцнальной системе К", в которой скорость точки М поверхности раарыва 99 = О. На основании общих формул, выполняющихся при преобрааованиях Лоренца от системы Ко, движущейся со скоростью Я относительно фиксированной онеподвижнойо ннерциальной системы отсчета К, к системе К (см.
формулы (3.22), (3.23) гл. Ч1), можно переписать условия (5.6), (5.8) и (5.9) в системе К: В„1 — В„, = О, В„,— 17„о =-4н~", (5.(О) 1 б. Сваьвые разрывы в влектромагнктвом поле ЗТ1 агах дд»г + —, и=:-1,2,3, (5.13) д.с,х дд,х ад,х дд»х д,т»а — рР =- ЧгЧ =- — + — + а»1 ахх до Р— Р,=рф, = — + а. где 8" — компоненты тензора энергии — импульса. Умножим обе части равенств (5.13) и (5Л4) на элемент объема с1т = Нххг)ххххх и проинтегрируем по неподвижному объему Ув системе Ке дляданнойточкиМ на 8 (см. рис,47). После применения формулы Гаусса — Остроградского получим рР» бт ~о' Вн с(с ~ х~ 4г(т Е н Р„(т= — ~~~.
яр (.— —" ~~; (т, В аг а = — 1, 2, 3, (5Л 5) (5Л 6) где пэ — компоненты единичного вектора и нормали к Е в трехмерной декартовой системе координат. Воспользуемся для компонент 8*г тензора энергии — импульса формулой Минковского ((5.10') гл. У1): Яы= — — (Р',О х — — дыР Н "! (517) г) В используемой системе координат с метрвкой Ь = — гмг — Ь' — а Х+»Чх=г ЬР Ь", Ь =ар и ковтраваркавтные компонввты четырехмерной силы Р» равны в пространственной декартовой свстемв коордвват комповевтам обычной трехмерной силы: = дгрвхм»» Р»трехм а =-1, 2, 3. Дкя коваркавтвых четырехмерных компонент имеем Р„= — Р"= — Р", »=1, 2, 3.
греха Здесь Р» — массовые склы. В формуле (3ЛО") гл. Ч1 даны компоненты объемной силы. Поверхностные плотпоетв рассмотрим теперь формулы для компопрвтеков еяергнн от повдеромоторных енл н нент вектора поверхностной плотности поля к е на по х- пондеромоторной силы хь и поверхностпостн разрыва ной плотности притока энергии ру к среде на поверхности о разрыва электромагнитных величин. В декартовой системе координат для компонент объемной силы ') по определению имеем Если воспользоваться матричными определениями (5.6) и (5.7) гл.
Ч1 для ~Е»4~ и ~~ХХ" 1 и учесть, что Вз ~ Е,( 3 0 — В' Вз 0 —  — Е 1 $ с Ф'4=У' а"5 = — Вз В1 Π— Ез сЕ, сЕ, сЕ, 0 то получим в декартовых координатах следующие выражения для компонент тензора о1» через компоненты векторов Я, ХХ, В Х4: Ю" = — 1 )Е"Р +Н"В 4- 2 И"е(В ° ХХ+я3 ° Ю)~, (5.18) где а, р = 1, 2, 3 и учтено, что в трехмерной декартовой системе Е Ез и Р =Ре; 5 Эа = 4 — (Х) Х Л)~ КЗЭЗ = 4 (Х Х .В)~ Л Эз=- 4нз (Л Х ХХ), ЮЗ'аз=4 — (ЛХ Л), ВЗ.= — '(Е В+ХХ.В). здесь э — векторы базиса в трехмерной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
