Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Решение (3.2) соответствует периодическим распределениям по синусоидам с различными фазами искомых функций — по координате х и времени П Фиксированные значения функций Г распространяются вдоль оси и со скоростью а =- ш/й. Величина а называется скоростью распространения прогрессивной волны, в данном случае синусоидальной волны. Если для различных ш или й величина а различна, т. е. а (й) + сопз1, то имеет место дисперсия волн.
Волны различной длины распространяются с рааличной скоростью. Для плоской синусоидальной прогрессивной волны, распространяющейся в направлении вектора х = х,е + хэу + хеге, верна формула вида Р = Кее1 Аец" "-"о (3.3) Прагрессивиые возим где А — постоянная, а е' — радиус-вектор. Скорость распространения волны в этом случае определена формулой а =. ш/(х ~.
352 Гл. Ч11. О постановке задач в механике сплошной среды В общем случае прогрессивной волне не синусоидальной формы с плоскими поверхностями равных фаз соответствуют решения вида )г = /(х-ю — ы1). (3.4) Если х и ю — постоянные, то плоская волна распространяется вдоль направления вектора х как твердое тело; если х и гав функции состояния частиц, то разныесостояния распространяются с различной скоростью, и поэтому форма волны на графике зависимости функции / от координат будет деформироваться.
В некоторых частных случаях ыожно лииеаэизации по" без каких-либо приближений преобразомощью специальпыл певать нелинейные уравнения к линейным путем перехода к новым специально выбранным независимым переменным. Линеаризация такого типа встречается в теори установивпгихся баротропных плоскопараллельных потенциальных двнкений гааа '). 9 4. Условия па поверхностях сильных разрывов О поверхностях разрыва До сих пор при введонии основпых понятий и при установлении систем уравнесреды нии, свяванных с моделями сплошных сред, предполагалось, что в области К, занятой средой, в точках которой долхшы выполняться соответствующие уравнения, задаваемые и искомые функции непрерывны и имеют нужное число непрерывных производных. Такое предположение является очень сильным ограничением, неприемлемым в ряде вая<ных приложений на практике.
Действительно, например, при рассмотрении задач о вибрации системы, состоящей из идеальной жидкости и погруженных в нее упругих тол, необходимо рассматривать взаимодействующие сплошные среды с реако различающимися свойствами н характеристиками движения. На поверхностях равдела этих сред такие характеристики состояний и движений, как плотность, скорость, перемещения и т. и., могут быть вообще разрывнымп функциями координат.
В этом примере при изучении непрерывных движений ж кости и п тих тел иове хности аз ела ме ними мож- ид у ру р р д жду ') Р и и а и, Распространение волн конечной амплитуды, Сочинения, Гостехиадат, 1948. Р. М о 1е п Ь г о с Й, АгсЬ1т Масьеш. ппй РЬуа1к, Огппйе Норре, серия 2, т. 9, 1890. С. А. Ч а п л ы г и к, О газовых струях, Собр. соч., т. 11, Гостехиздат, 1948. т 4. Условия на поверхностях сильных разрывов 353 но рассматривать как поверхности разрыва, на которых необходимо выставлять для искомых функций специальные условия, играющие роль краевых условий на вообще подвижных и неизвестных заранее границах. С одним подобным простым условием мы познакомились в 3 1 этой главы.
В общем случае такого рода условия на поверхностях разрывов могут иметь болсзсрложную природу, например, на поверхности взаимодействия с водой тающего или, наоборот, намерзающего льда, погруженного в воду, или на поверхности взаимодействия воздуха с продуктами горения порохового заряда, движущегося и горящего в атмосфере. Кроме поверхностей разрыва, по равным сторонам которых для описания движения сред используются разные модели, приходится также рассматривать такие подвижные поверхности разрывов плотности, скорости, давления, энтропии и т.
и., с различных сторон которых сплошная среда должна рассматриватьсн в рамках одной модели (например, модели идеального совершенного газа). В ряде задач газовой динамики для идеального совершенного газа и во многих других случаях требование непрерывности по координатам искомых решений в области й, аанятой средой, приводит к отсутствию существования решений.
Снятие требования непрерывности и допущение кусочной гладкости искомых решений обеспечивает при соответствующей постановке задачи существование и единственность решения. Получающиеся разрывные решения могут хорошо соответствовать реальным эффектам, наблюдаемым на практике. Окааывается, что на поверхностях разрыва, сохраняющихся в качестве изолированных поверхностей, отделяющих области непрерывности процессов, между характеристиками движения и состояния на различных сторонах поверхностей разрыва должны выполняться некоторые универсальные соотношения. Здесь мы укажем общие методы для получения таких соотношений и установим эти соотношения фактически. Дальнейшие выводы условий на поверхности скачков основаны на допущениях, что поверхности разрыва существуют; вопрос о действительном наличии поверхностей разрыва в искомом конкретном решении — специальный вопрос, связанный со свойствами принятой модели и с математическими особенностями рассматриваемой частной задачи.
Разрывные решения можно рассматривать в приближенных методах решения для упрощения аадач и для получения эффективных решений и в том случае, когда непрерывные решения также существуют. 12 Л. И. Седов 354 Гл. 'Ч1[, О яоставовке задач в иехаввхе сплошной среды О разрывном двлжевик Хотя на практике часто рассматриваются как пределе велрерыв движения сплошных сред с поверхностями разрыва и признается плодотворность вых уезежиекаых моделей таких подходов и решений, существует распространенная точка зрения, что при описании реальных явлений в рамках механики сплошной среды можно и, вообще говоря, нужно рассматривать только непрерывные движения. В случаях, когда непрерывное решение не существует или перестает существовать начиная с некоторого времени, для получения непрерывных решений необходимо обращаться к другой, более сложной модели, необходимо вводить в уравнения движения дополнительные члены и соотношения для учета в топких слоях внутри или на границе области :О диссипативных аффектов, возникающих за счет резких градиентов в распределении скоростей, температур, плотностей, давлений и т.
п. Например, можно указать случаи, когда нет непрерывного решения поставленной задачи для уравнений Эйлера в рамках модели идеального совершенного газа, но есть непрерывное решение с резкими изменениями параметров движения и состояния в тонких слоях для уравнений движения Навье — Стокса в рамках модели вязкого газа. Исследование непрерывных решений, отразрывов вечающих разрывам в упрощенной модели, для усложненной модели составляет проблему установления структуры скачка. Существование решения, его единственность и фактическое разрешение задачи о структуре разрывов связаны со способами введения усложненных моделей.
В случаях большого числа искомых функций или нелинейных уравнений процессов задача о структуре — вообще трудная математическая задача. Примирение теории непрерывных переходов с теорией, в которой получаются и изучаются раарывные решения, обосновь1вается допущением о возможности получения раарывных решений в рамках данной простой модели как предела непрерывных решений той же задачи для последовательности усложненных моделей при непрерывном переходе коэффициентов в уравнениях движения усложненной модели к коэффициентам уравнений упрощенной модели. Например, при устремлении козффициентов вязкости к нулю уравнения Навье — Стокса для вязкого газа переходят в уравнения Эйлера для идеального газа.
Проблема существования и единственности предельного перехода для соответствующих решений — сложная математическая проблема, так как фактическое отыскание такой последовательности решений, как правило, аффективно неосуществимо. $4. Условия иа поверхностях сильных разрмвоз 355 Усложненные модели описываются более сложными уравнениями, имеющими более высокий порядок, причем в рассматриваемом предельном переходе в дифференциальных, уравнениях с частными производными в пределе обращаются в нуль коэффициенты при старших проиаводпых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
