Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Подчеркнем еще раз, что в формулах (5.18), (5.19) и (5.20) компоненты тензора Я" определены в четырехмерной системе координат, для которой ЗЬз = д 4 Их' о3х .— — — 43х1~ — Ыхз~ — ЗЬз~ + сз Йз. и Это замечание нужно иметь в вццу при сравнении написанных здесь формул с формулами в некоторых других книгах, в которых используются другие определения для я»я Таким образом, подынтегральные величины в (5.15) и (5.16) выражаются через Е, ХХ, Л и Х», которые по предположению на Я и в объеме У конечны. 372 Гл. ЧН. 0 постановке задач в иехзвнке оплошной среди Матрицу для К» можно написать в виде 511 513 Взз 514 С31 .ОЗЗ .ОЗЗ СМ Я31 ОЗЗ ОЗЗ,ОЗЗ ,О41 .СЗЗ ,СЗЗ О44 (5 19) (5.20) (5.21) 1 Е.
Поверхности разрыва в ядеальвых средах 373 Совершая в равенствах (5.15) и (5.16) указанные в з 4 предельные переходы к точке М на поверхности разрыва 8, получим Я" =(Б"'), и, — (Я"'),и, (5.22) и И' =- (5~в)з пз — (Я~в)„иа. (5.23) Формулы (5.22) и (5.23) на основании формул (5.18) и (5.20) приводят к следующим выражениям для Л'" и И' через .Е, Н, Ю, и Ю в системе Ка для точки М: Л" =,', ~Л",О„+Н"В„+ — ", (Е.В+Н.з)~ + + — '~Г."7~„+ и"И„-(- —",(Е.П -(- Н В)~, (5.24) И' = — '(Е~ Х На — .Ет Х Н~) ° п. 4к (5.25) Эти выражения можно подставлять в соотношения на скачках (4.14) — (4 17) для материальной среды.
Так как формулы (5 15) гл. У1 показывают, что плотности объемных пондеромоторных моментов конечны даже при наличии скачков Е, Х>, Ю, Н, то очевидно, что в условиях на разрывах для моментов поверхностные плотности пондеромоторных моментов будут равны нулю. 46 . Поверхности разрыва внутри идеальных сжимаемых сред (6.1) р" =рта Рассмотрим теперь более детально условия (и вытекающие из них следствия) на поверхностях сильных разрывов в идеальных сжимаемых средах, введенных в $ 1 гл.
1У. В этих случаях по определению внутренние напряжения могут быть только давлениями: .Р„ == — рп. Кроме того, в этом параграфе мы рассмотрим такие поверхности разрыва, на которых не происходит никаких поверхностных внешних воздействий на данную среду, т. е. примем Л = О, И' = О; будем также считать, что д„ = О на поверхности разрыва, в частности, не будем учитывать на скачке свойства теплопроводности среды.
При рассмотрении движения среды отноУааоввя иа иеиедвюввом сительно «собственной» ',системы координат Ка для данного элемента поверхности разрыва 8 можно написать условие (4.14): 374 Гл. ЧП. О поставозкс аадач з мехавпке сзлоюпой среды Дальше примем, что нормальная составляющая к Ю скорости им + О, поэтому происходит переход частиц с одной стороны поверхности разрыва на другую. Тогда из (4Л5) для идеальной среды получаем (6.2) ис» ис« ~ где и„— векторные составляющие и, параллельные касательной плоскости к Я в точке М.
С учетом (6.1) и (6.2) ив уравнения импульсов (4Л5) в проекции на нормаль к 8 получим « 2 Р»ис1 + Р» = Р»исс + Р« (6.8) Уравнение энергии с учетом (6.1) и (6.2) приводится к виду „« и« (,+ — "+ — =-5»+ — ". + —. "с1 ж »с« Р« 2 р» 2 р«' (6.4) И, наконец, равенство (4Л8) для скачка энтропии с учетом (6.1) дает р»иж(з» з») =- «» (6.5) Раепроетрапеппе раврыаа по чаетвцам среды и и, =и,»=0, где и„= и а — и„— нормальная составляющая к 8 скорости среды относительно системы К на стороне, отвечающей индексу 2. В этом случае величину й можно рассматривать как скорость распространения поверхности разрыва по частицам среды со стороны 1.
Дальше будем пользоваться так определенной величиной Ю, а для упрощения формул вместо плотности р введем удельный объем т' = 1/р. Напоминаем, что в соотношениях (6.1) — (6.5) скорости взяты относительно системы К", в которой точка М поверхности разрыва имеет скорость, равную нулю. При установившемся движении с неподвижными скачками можно принять, что К* совпадает с основной, «неподвижной» системой отсчета.
Из (6Л) видно, что и т н и„а имеют одинаковый знак. Если ввести систему отсчета К, в которой скорость перед скачком равна нулю, а Ю ) О, то можно воспольвоваться в системе К соотношениями на скачке (6Л) — (6.5), в которых надо положить "ж = — Юв исз = ис — Ю 6. Поверхности разрыва е идеальных средах 375 Легко видеть, что соотношения (6Л) и (6.3) равносильны следующим равенствам: - /р — гд ед ар' г„д — о„д = г„= Ю (( — щ 1 = ~ ~ (рд — рд) (К вЂ” К ), (6.7) Рд / Так как Ю ) О, то знак плюс в (6.7) соответствует р, <р„ а знак минус рд ) рд.
Соотношение (6.4), если из него исключить скорости, приводится к виду (7 — ~7 = ~ (р +рд)(у — ~'2) 1 (6.8) — и„д = Ю = Рд )/ Р~ Р~ , (6.6) Одно из трех неравенств в (6.9) или (6ЛО) влечет за собой выполнение двух других, Свойства (6.9) н (6ЛО) имеют весьма общий характер и являются следствиями только закона сохранения массы и уравнения количеств движения, когда на поверхности скачка нет действующих на среду внешних поверхностных сил и внешних притоков масс.
Соотношение (6.8) не содержит скоростей, 0 сначне внутренней еиервыполняется в любой системе отсчета и удобно для изучения изменения плотности и давления частиц, проходящих через скачок. Если скачок плотности задан, то в некоторых важных случаях из (6.8) мондно определить скачок давления; после этого соответствующие скорости определяются из равенств (6.6) и (6.7). В общем случае внутренняя энергия для однородной идеальной материальной среды является функцией удельного объема У (плотности р), давления р и некоторых других параметров, задающих физические и химические свойства среды; физическими параметрами в общем случае могут быть также векторы поляризации и намагничивания; эти параметры могут изменяться скачком при переходе через поверхность разрыва.
Из (6.6) видно, что если т'д ) дтх, т. е. ра) рд, то обяаательно рд) рд, и, наоборот, если рд <рд, то рд <рд. Разрывы, для которых имеют место нераСначли уплотнения и разрежения венства го) О, Р,) Рд, Рд) Рд, (6.9) называются скачками уплотнения. Скачки разрежения определены неравенствами э <О, рд<рд, рд< (6ЛО) 376 Гл. ЧИ. О постановке задач в механике сплошной среды С таким положением мы встречаемся, например, при исследовании явлений распространения фронта горения, фронта детонации, различных фронтов электромагнитных волн и т. п. Например, для совершенного газа имеем с юг=с Г+ие= — +П„ 1 с — с1 р и где ср и сг — удельные теплоемкости, а Уе — постоянная для данного гааа величина. При переходе череа скачок состав газа может меняться, и поэтому ср, сг и Уе могут претерпевать скачок.
Если гаа представляет собой смесь совершенных газов, то где р; /р — массовая доля з-й компоненты газа в смеси. При переходе через поверхность разрыва отношения р/р могут изменяться скачком, для определения этих скачков необходимо привлекать дополнительные физико-химические законы и допущения.
При повьппении температуры смеси можно рассматривать сгорание (полное или неполное), учитывать явлениядиссоцнации или ионизации и т. и. Если физико-химические свойства среды при переходе частиц через скачок не меняются, а изменяются только плотность р и давление р, то соотноптенне (6.8) при фиксированных р, и р, определяет связь между значениями давления рз и плотности р, за скачком. Если обозначать графически состояния Аднабата Гюгонио р, г = 1/р точками на плоскости (р, У), то для заданных р, $', равенство (6.8) определит кривую в этой плоскости.
Эта кривая называется адиабатой Гюгонио (рис. 48). Точка р„1'„отвечающая состоянию перед скачком, будет принадлежать адиабате Гюгонио, если П, (р„1',) — ЕУ„(р„Ф;) =- О, (6.11) т. е. если функция уз(р, р) совпадает с функцией у, (р, у). Равенство (6.11) может выполняться, если все другие параметры, кроме р и У, и постоянные, от которых может зависеть внутренняя анергия, остаются неизменными при переходе через скачок. При наличии необратимых химических реакций или других каких-либо процессов равенство (6.11) может не выполняться, и в этих случаях точка р, У, может не принадлежать адиабате Гюгонио ').
') Более полно теория адиабатм Гюгонно изложена, например, а питирозанной книге Л. И. Седова «Плоские задачи гидродинамики и аэро- динамикам 6. Поверхности разрыва в кдоальвых средах 377 Рассмотрим случай раэрывов, когда равенство (6.11) имеет место, Очевидно, что при эаданных р„1', для определения точки р, уа па адиабате Гюгонио достаточно эадать только р , '.41 Г одну иэ величин: 1 р„илк р, = —, илк У 16х-.= '- "' .—.. —, (6.12) У1 — У~ г С помощью (6 12) будем иметь Тог .—.= — (Р~ — У)г Н ~ ~ = — ()г — Р)'Ы1дп = 2 г У1 — У 2 1 1 (р рх) о 2 хне (6.14) Ивиеиеиие эитропви вдоль адиабата Гюговио при иа- вои скачке давлеиия Вдоль адиабаты Гюгонно на основании равенства 1 / Игр~ 2 ~Ырь 7р г, +о(р р) (р, Угол х определяет угло- У и вой коэффициент прямой— секущей адиабаты Гюгонио, рис.
48. Адвабата Гюгокво. соответствующей состояниям перед скачком 1 и аа скачком 2. Очевидно, что угол и характериэует скорость Й распространения скачка по частицам среды в состоянии 1. Вычислим теперь иэменение энтропии г адиабаты Гюговио вдоль адиабаты Гюгонио. Для этого меж- ду некоторым фиксированным состоянием рю )г и проиэвольным состоянием р, У, принадлежащими адиабате Гюгонио, рассмотрим некоторый обратимый процесс с притоком тепла, для которого верно равенство Т~Ь = г(67 + рНК.
(6.13) Подставим в (6 13) Наив (6.8) и при фиксированных рю г, после простых преобразований получим Т1 = — (Уг — У) ((р — ) — — (р — р.) (Ж вЂ” Р). 1 2 1 378 Гл. Ч11. О ностановке задач в ыеханнке сплошной среды где О (р — Р,) — малая величина, исчезающая вместе с р — рю из (6Л4) получим 1 3У$7 ТЫг= — (Р— Р,)' — „, ЫР+(Р— Рд)сО(Р— Р,)НР.
(6.14') Отсюда следует, что при малых р — Р, верно равенство ~~ =- — „(Р— Р,) (,—,,), „+ +малая порядка выше, чем (р — Рт)е, (6.15) где Т" — некоторое среднее значение температуры в интервале интегрирования. Из формулы (6Л5) видно, что при малых скачках давления Р— Рт изменение энтРопии пРи пеРеходе чеРез скачок 6УДет малой величиной порядка (Р— р,) '. В непрерывных адиабатических движениях при изменении состояний частицы энтропия сохраняется, т. е. вс(Р1 т) — ет (Ры 1т) = Лс = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
