Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В системе МКЯ формулы размерности имшот внд Х вЂ”.= ЕбТ" К', (7.2) где 7ы 1, и 7«, — соответствующие показатели размерностей. Переход от формул (7.1) к соответствующим формулам (7.2) можно получить после замены символа М в формулах (7.1) через символ К по формуле М = КТЧ,-'. Формулы размерности позволяют определить численные масштабные множители для пересчета соответствующих характеристик при изменении величин первичных единиц измерения. Если вместо заданных единиц измерения длины Е, времени Т и массы М перейти к новым единицам измерения, меньшим для длины в а раз, для времени в р раэ н для массы в у раэ, то новая единица измерения для величины Х с размерностью (7.1) будет меньше первоначальной в н Р 7™ (7.3) раз.
Это позволяет легко устанавливать переходные масштабные множители для вторичных единиц измерения при изменении величин первичных единиц намерения. Число первичных единиц измерения может быть и бывает больше трех. Например, во многих вопросах газовой динамики и термодинамики, кроме метра, килограмма и секунды в качестве первичных единиц измерения, определенных опытным путем, обычно используются единицы измерения для температуры: градус Цельсия или градус Фаренгейта и т. и., а для количества тепловой энергии — одна малая или большая калория. Таким образом, можно рассматривать и пользоваться системами единиц измерения с пятью первичными единицами измерения.
Рассматриваются и применяются системы с первичными единицами измерения для электромагнитных величин и т. д. В этих случаях формулы размерностей будут представлять собой степенные одночлены вида (7.1) с большим числом аргументов. ») С более подробной теорней'равмерностей, а также с обоснованием формулы размерности(7Л) поясно оэнакомкться в цитированной канте Л.И. С од о в а «Методы подобия н раанерностн в мехавкке», б-е над., вад-во «Наука», Москва, «9б7. $7, Размерности физических величин и П-теорема О возможности увеличивать число первичных единиц измерении Мож о вв дить системы единиц измерения, вообще говоря, с любым числом первичных единиц. В частности, для длины, можно выбирать независимые единицы но в это случае формулу для скорости времени и скорости измерения из опыта, надо писать в ниде (7.4) где Й вЂ” размерная постоянная, зависящая от выбора единиц измеРения для и, оа и й.
Если принять, что Й является абсолютной численной постоднной (т. е. одинаковой во всех употребляемых системах единиц измерения), равной яли не равной единице, то получится, что в любой системс единиц измерения единицы измерения для в, о>г и сй зависимы. На практике такое условие обычно всегда и принимается. Если рассмотреть соотношение: тепловая энергия = У механическая энергия, то можно выбрать отдельные независимые единицы измерения для тепловой энергии, например калорию, и для механической энергии, например килограммометр. В этом случае в формулах и уравнениях появляется размерная постоянная 1-механический эквивалент тепла с размерностью калория килограммометр (7.5) где Š— энергия, >л — масса и с — скорость света в пустоте.
Если в уравнении (7.6) принять, что с — универсальная постоянная, которую можно приравнять единице в классе допустимых систем единиц измерения аналогично постоянной Й в формуле (7.4), то в этом случае возможные различные единицы «физическая» постоянная 1 аналогична постоянной Й в формуле (7.4). Постоянную Х можно рассматривать как О возможности меньшать число первичных единиц размерную постоянную при независимых намерении единицах измерения для тепловой и механической энергий или как масштабную, безраамерную постоянную, если единицы измерения тепловой и механической энергий различаются только как единицы намерения для одной и той же величины, например как футы и метры.
Аналогичным образом можно рассматривать фундаментальное уравнение фиаики Е =- тсз, (7.6) ЗЗЯ Гл. ЧП. О постановке аадач а механике оплошной среды намерения для энергии и массы получаются зависимыми (так же как единицы измерения для и, Иг и с)с в (7.4) при 7с =1). Такого рода соображения могут послужить основой для сокращения числа первичных единиц измерения. Если зафиксировать размерную универсальную постоянную в законе всемирного тяготения (7.7) то получится добавочная снязь между первичными единицами намерения для массы, времени и расстояния. Таким путем можно получать системы единиц измерения с различным числом первичных еднпяц измерения. В частности, можно внести систему с универсальными единицами измерения, в которой единицы измерения нсех величин навсегда фиксированы и поэтому все величины можно рассматривать как безразмерные.
Понятия раамерных и безразмерных (отОтноснтельноеть понятия влеченных) величин относительны. Вто размерных н безраамернадо понимать следующим образом. При рассмотрении данного явления или некоторой совокупности явлений нводнтся различные переменные или постоянные характеристики процессов и объектов. Для получения численных значений явно нли неявно используется в действительности или допускается потенциально некоторыйзапас — совокупность систем единиц измерения. Величины, численное значение которых зависит от выбора конкретной системы единиц измерения из допускаемой совокупности систем единиц измерения, называются размерными. Величины, численное значение которых одно и то же во всех системах единиц измерения этой совокупности систем, называются безраамерными или отвлеченными.
Например, геометрическому обьекту — углу молсно поставить в соответствие различные числа; число радиан, градусов, долей прямого угла и т. п.; поэтому прн включении во множество допускаемых систем единиц измерения систем с различными единицами измерения для угла величину угла надо рассматривать как размерную величину. Если, однако, мы ограничимся рассмотрением только таких систем единиц измерения, в которых углы измеряются только в радианах, то угол можно рассматривать как отвлеченную, безразмерную величину. Такое условие по отношению к намерению углов часто принимается на практико. Таким же путем любую другую величину (например, время или длину) можно посчитать безразмерной величиной при соответствующем выделении запаса систем единиц измерения, в З 7.
Размерностц фнзнческнх келкчнн я П-теорема ззз Пеякленне размерных фкзнческкх постоянных как аргументов кссле дугных функций которых единица намерения для этой величины одна и та же во всех используемых в данном вопросе системах единиц измерения. В приложениях условие о безразмерности угла удобно, условие о безразмерности длины неудобно. Это связано с тем, что для геометрически подобных систем соответственные углы одинаковы, а соответственные длины различны. Из дальнейшего вытекает, что в некоторых случаях, вообще говоря, выгодно увеличивать число первичных единиц измерения. Однако эта выгодность обычно аннулируется тем, что при увеличении числа первичных единиц измерения появляются существенные для рассматриваемых задач дополнительные физические постоянные типа механического эквивалента тепла 1, или скорости света, или гравитационной постоянной ~.
Подобные постоянные будут входить в уравнения процессов и другие условия задач, и их необходимо причислять к определяющим параметрам и включать в аргументы рассматриваемых функциональных связей. Ния<е мы покажем, что поэтому в общем случае не получается дополнительных упрощений от увеличения числа первичных единиц измерения. Однако существенная польза от этого получается тогда, когда из дополнительных физических соображений становится известным, что такого рода физические постоянные (типа 1 или Л несущественны в данных функциональных соотношениях.
В атом и заключается причина того, что стандартная система единиц измерения с фиксированными постоянными значениями величин Х, с и у невыгодна и не кринон ~ется на практике во многих технических и физических задачах. В некоторых вопросах в науке ясно про- О кезможней пользе нрян нонна разных свете„является тенденция к стандартизации и к единиц намерения административному введению универсальной системы единиц измерения. В ряде случаев, очевидно, это очень удобно и полезно, однако привязывание универсальной системы единиц измерения к определенкыы физическим постоянным нли условиям во многих случаях является искусственным.
Наоборот, саман возможность использования произвольных единиц измерения и независимость изучаемых законов от выбора системы единиц измерения может служить источником полезных выводов. Поэтому, наряду с внедрением единых единиц измерения, требуется развивать теорию произвочьных и разнообразных классов единиц измерения как основу плодотворных методов эксперимента и теории. В этих вопросах имеется полная аналогия между выбором систем единиц измерения и выбором систем координат и систем отсчета вообще. Можно, конечно, фиксировать вполне опре- 400 Гл.
т'11. О постановке задач в мехзииие сплошной среды деленную одну и ту же универсальную систему отсчета и исследовать все явления только в этой системе. Однако самая воаможность применения различных систем отсчета и возможность в конкретных задачах применять специальные характерные системы отсчета является основой плодотворного метода исследований в физике. Больше того, основное положение физики об 'инвариактности б изических законов относительно выбора систем координат и систем отсчета (например, инерциальных систем отсчета) является в известном смысле иным представлением таких универсальных законов физики, как закон сохранения количества движения, закон сохранения энергии и закон сохранения момента количества движения.
Универсальная инвариантность физических законов относительно групп преобразования Галилея или Лоренца в некоторых задачах (однако существенно подчеркнуть, что не во всех задачах) дополняется свойством инвариантности исследуемых функциональных зависимостей относительно группы преобразования подобия, определенной возмо>кностью сохранения всех уравнений и добавочных условий при преобразовании подобия, совпадающем с переходом от одной системы единиц измерения к другой. Рассмотрим теперь структуру функциональных зависимостей между вообще размерными величинами, выражающих собой физические закономерности, инвариавтные относительно выбора систем единиц измерения. Пусть мы имеем некоторую размерную или безразмерную величину а, которая является функцией независимых между собой, вообще, размерных величин а„аз, ..., а: а — 7(а>, ае,..., ае, ае.ы..., ае), (7.8) Некоторые из величин аы а„..., а в рассматриваемом процессе могут быть постоянными, другие переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
