Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Независимые переменные (напрнмер, х, у, з, З) и физические постоянные типа коэффициентов теплопроводности, вязкости, модулей упругости и т. и. необходимо включать в перечень системы определяюших параметроп, Кроме того, для данного класса задач необходимо включать в число определяющих параметров задаваемые размерные и безразмерные характеристики области л7, занятой движущейся средой. Затем необходимо охарактеризовать и включить в число определяющих параметров величины, определяющие задаваемые функции при формулировании граничных и начальных условий. Если рассматриваемая задача сформулирована как математическая задача, то всегда легко выписать полную таблицу аргументов в функциях вида (7,8) для искомых физических закономерностей. Таков общий путь получения системы определяющих параметров, когда задача поставлена матоматически.
Опрсделяющио парамстры — это все данные, которые надо задавать для вычисления искомых функций различными путями, в том числе и при расчетах на машинах. При получении нужных ответов с помощью зкспериаентов также необхозимо янно указывать и перечислять все определя1ощие параметры.
Только при этом условии опыт может быть повторен и можно произвести сравнение различных экспериментов. Указанная выше методика составления Для выделеиия таблицы таблицы определяющих параметров на р д щ р ров основании математической постановки заматеиатичеевал иостаяовиа задачи иеобязательиа дачи вообще необяаательна.
Можно выписать систему определяющих параметров и в тех случаях, когда детальныс свойства модели и система уравнений, вообще говоря, неизвестны. Достаточно опереться на предварительные данные или гипотезы о виде функций и о постоянных, которые входят или могут входить в определение модели, в начальные, граничные идругие условия, выделяющие конкретные задачи. 406 Гл.
УН. 0 постановке задач в механике спло1ппой среды Копечмал система опре- Рассматривая совокупность различных делпющвх параметров механических систем, совершающих некоторыо двиягения, всегда можно ограничить класс допустимых систем и движений так, чтобы конкретная система и ее определенное интересующее нас длил<ение определились бы конечным числом размерных и безразмерных параметров. Эти ограничения можно наложить путем фиксирования ряда отвлеченных функций или констант, задаваемых условиями задач. Теория размерности, основанная на прнСвотема определпющпл па.
менении П-теоремы, позволяет г олучать раметров должна быть выводы, вытекающие из возможности применять для описания физических закономерностей проиавольные специальные единицы измерения. В связи с зтим при перечислении параметров, определяющих класс явлений, необходимо указывать все размерные параметры, связанные с существом явления, независимо от того, постоянны они или переменны. Важпо, что параметры могут принимать различные численные значения в разных системах единиц измерения.
Например, ускорение силы тяжести д необходимо всегда включать в систему определяющих параметров, когда тяжесть существенна, несмотря на одинаковость величины ддля многих реальных движений. После того как величина д введена в качестве определяющего параметра, без всяких усложнений можно учесть искусственное расширение класса движений путем изменения величины ускорения силы тяжести д. Такой прием иногда позволяет ощутить и получить ценные качественные выводы о влиянии тех или других параметров, которые, согласно П-теореме, могут входить только в комбинациях с ускорением силы тяжести д. Система определяющих параметров должна обладать свойством полноты. Среди определяющих параметров, некоторые из которых могут быть физическими размерными постоянными, должны быть обязательно величины с размерностями, через которые могут выразиться размерности всех интересующих нас искомых величин.
Если система определяюп их параметров с точки зрения их размерности неполна и ее расширение исключается по существу постановки задачи, то это означает, что определяемая величина равна либо нулю, либо бесконечности. С таким случаем мы встречаемся часто при задании начальных условий типа. источника с помощью 6-функции Дирзка.
недостаточность теория В общем случае методы изучения функразмерпостп для решения циональпых зависимостей с помощьЮ задач П-теоремы, по существу, ограничены и недостаточны, так как с помощью них невозможно установить $8. Параметры, определяющие класс явлений 407 связей между безразмерными величинами. Все выводы теории размерности сохраняют свою силу при любых изменениях в уравнениях движения, если только нри этом ие вводится каких-лиГ>о новых задаваемых размерныхвеличин. Например, в уравнениях движения можно умножить раз',тичные члены на некоторые положительные или отрицательныс безразмерные числа или функции, зависящие от принятой системы определяющих параметров.
Подобные видоизменения, не влияющие на выводы теории размерности, могут существенно влиять на характер физических закономерно=той, Основная польза теории размерности для теоретических и экспериментальных исследований связана с возможностью записи и изучения физических закономерностей в безразмерном виде, инвариантном относительно выбора систем единиц измерения, Рассмотрим задачу о сферическом порш- ладача о сфеРическом не, который в момент г =- 0 начинает рас- поршне в газе ширяться внутри покоящегося газа с начальной плотностью р, и давлением р, от некоторого начального радиуса г„по заданному закону гв (~) = с)г,lй. Для определения возмущенного сферически симметричного адиабатического движения идеального совершенного газа необходимо интегрировать систему трех уравнений (6.30) с тремя неизвестными функциями р, р и л.
Очевидно, что в качестве задаваемых независимых переменных аргументов искомых функций мол<но принять следующие величины: у, р„рм гс, г, 7, и закон расширения поршня (8.1) где у = ср/с — безразмерный постоянный. коэффициент — показатель адиабаты. Коэффициент у входит в уравнение адиабатичности и в условия на ударной волне.
Для получения таблицы с конечным числом определяющих параметров можно выделить определенные виды законов расширения поршня лл (1), аависящие от конечного числа параметров. Например, если поршень расширяется равномерно ускоренно или, в более общем случае, если та (1) является нолиномом, то в качестве определяющих параметров следует взять коэффициенты соответствующего полинома. Рассмотрим простейший важный случай, когда поршень в момент 7 = — 0 начинает внезапно расптиряться с постоянном йсз Гл. 'т'П. О постановке задач в ыеханкке сплошной среды скоростью и„= сопз$ =- ню В атом случае систему определяющих параметров можно написать в виде Рх Рх 'е У ло или ео го т, тт Тж Р,, Ры тхл 7, —, —, —, где ах =- 1тт — (8.2) 'ат' г ' ай' ' У рт (а, — скорость звука, отвечающая невозмущенному состоянию).
На основании П-теоремы для искомого решения можно написать формулы вида те го т а, г аи)~ ео ге г Р = РА~7— те го ит' г 'арф' (8.3) В формулах (8.3) безразмерные функции /ы ~„/з выражены через четыре безразмерных параметра, два из них, — "' и — ", з,тт переменные. Уравнения (6.30) теперь можно переписать в безраамерном виде для функций ~„Д„~з. Эти уравнения останутся уравнениями с частными производными по двум независимым переменным: т и Ч=— ап тт т Р = Рхгх(7 — „, Ч~ Р = Рттз(7 —, Ч) ж л = ле1з(7, —... Ч~, (8гй) На основании формул (8.3) рассматриваемую задачу можно существенно упростить, если ввести добавочную схематизацию, приняв, что в начальный момент времени расширение поршня начинается из точки, т. е.
те = О. В этом случае в таблице (8.2) выпадает характерный линейный размер (г = О), поэтому в (8.3) выпадает один из переменных аргументов ($ = — ' = 0). Следовательно, в этом случае П-теорема приводит к выводу, что искомое решение имеет вид $8.
Параметры, определяющие класс явлевий 409 т. е. от переменных г и г искомые функции могут зависеть только через комбинацию ап ' Таким образом, рассматривая постановку задачи, на основании теории размерности мы установили, что решение рассматриваемой задачи о расширении сферического поршня из точки автомодельно. После подстановки (8.4) в уравнения (6.30) получим обыкновенные дифференциальные уравнения для функций ~„ Де и /а. Первоначальная система нелинейных уравнений с частными производными сильно упростилась, так как теперь требуется находить решение обыкновенных, хотя тоже нелинейных уравнений. Очевидно, что все предыдущие выводы сохранят свою силу и для других задач об одномерных неустановившихся движениях газа, в которых система определяющих параметров представляется таблицей (8.2) или расширенной таблицей с добавлением, например, размерного постоянного параметра о*, соответствующего удельной энергии, выделяемой на фронте волны детонации или волны горения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
