Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Относительно переменных величин предположим, что либо их аначения отличны от нуля или бесконечности, либо функция (7.8) непрерывна при обрав>енин соответствующих аргументов в нуль или бесконечность. Примем, что в аргументах функциональной связи (7.8) отмечены есе размерные и безразмерные постоянныо или переменные величины, от которых зависят рассматриваемые значения величины а. Найдем теперь структуру функции 7 в (7.8) в предполо>кении, что эта функция выражает собой некоторый физический закон, не зависящий от выбора систем единиц изме.
р ения. 4 7. Реамервостз фззвческвх зелпчзв з П-теорема 401 Пусть среди размерных величин ат, а„..., а„первые й величин (й ( п) имеют неаависимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно й). Независимость размерностей означает, что формула, выражающая размерность одной из величин, не молдет быть представлена как комбинация в виде степенного одночлена формул размерности для других величин. Например, размерности длины Ь, скорости Е/Т и энергии МЕЧТ' независимы; размерности длины Е, скорости ЕдТ и ускорения ЫТе зависимы. Среди механических величин обычно имеется не более трех с независимыми размерностями.
Предположим, что й равняется наибольшему числу параметров с независимыми размерностями, поэтому размерности величин а, ад,д,..., а„можно выразить через размерности параметров а„а,..., а„. Примем й величин а, а„..., ат с независимыми размерностями за основные величины к введем для их размерностей обоз- начения [ад) — — Л„[ае) =: Л„,... [ае] == Л, Размерности остальных величин будут иметь вид [а)=А' А,'...А,„.д, [ад д) Аде Аг: Адч [а ) = Аед'А4 . Ае~. Изменим теперь единицы измерения величин а„ад,..., ае со- ответственно в ат, а„..., ае раз; численные значения зтих ве- личин и величин а, а,,„..., а„в новой системе единиц будут соответственно равны а, = ада„ а'.— л, Ъ,' сд„ха, — ".д ае„:== ад 'л.,'...
ссд 'ад, д лд —— — адат, а.. == идат а„= — -- сдд'ддд' а» 'а~. ьж ев В новой системе единиц измерения соотношение (7.8) примет вид едд 'о~ '... ае та =- ед, 'а, '... ае д/ (лы а„..., а„) = г г т„н ч* чд = 7'(сддад, ахаю..., сддад, сдд'а„... оде ае„,..., дддсдд*...
еде 'а„) . (7.9) Это равенство показывает, что функция 7' обладает свойством, однородности относительно единиц измерения величин а„а„..., а„. 40Э Гл. ЧП. О постановке задач в механике сплошной среды Воспользуемся выбором а„а„..., аг для сокращения числа независимых переменных у функции 7'. Положим а, =- —, дг 1 д, ''''' " дл П =-— д'"'д,",д' ... д е ' л д„ П1 =- д'|др д г р.
е '' е Пр-г— дч'дч-'... д " д''. г где а, а, а„..., ае — численные значения рассматриваемых величин в первоначальной системе единиц измерения. Нетрудно видеть, что значения П, П„..., П„„не зависят от выбора первоначальной системы единиц измерения, так как они имеют нулевую размерность относительно единиц измерения А„Ат,..., Ат. Очевидно также,что значения П, П„..., П„„ вообще не аависят от выбора систем тех единиц измерения, через которые выражаются 1г единиц измерения для размерно-независимых величин а„а„..., аг. Следовательно, величины П, П„..., П„» можно рассматривать как безравмерные.
Поэтому в любой системе единиц измерения соотношение (7.8) можно представить в виде и-~о,1,.... ~, и,,..., и. о, (7АО) где П и все аргументы функции 7' безразмерные. т) для простоты мы принимаем, что параметры дм д,..., дг конечны и отличны от нуля. Очевидно, что последующие выводы распространяются не случаи, когда д„д,..., дг могут обращаться в нуль или в бесконечность, если функция Г при этих значениях аргументов непрерывна. При таком выборе масштабов а„а„..., ал значения первых й аргументов в правой части соотношения (7.9) будут равны 1 независимо от численного значения величин а,, а„..., а,.'), Таким образом, используя то обстоятельство, что соотношение (7.8), согласно предположенню,не зависит от выбора системы единиц измерения, мы будем выбирать систему единиц измерения так, чтобы (с аргументов функции 1 имели фиксированные постоянные значения, равные единице.
В этой относительной системе единиц измерения численные значения параметров а, аюх,..., ад определяются формулами 1 7. Равмериооти фиаических величии и Й-теорема 403 Таким образом, связь,не зависящая от выбора системы единиц измерения, между я + 1 размерными величинами а, а„... ..., а„, из которых и имеют независимые размерности, может быть представлена в виде соотношения между и + 1 — й величинами П, П„..., П а, представляющими собой безразмерные комбинации из и + 1 размерных величин. Этот общий вывод теории размерности известен нод названием П-теоремы.
Ксли некоторая безразмерная величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция может зависеть только от безразмерных комбинаций, составленных из всех определяющих ео размерных величин. Очевидно, что в соотношении (7.10) систему безразмерных параметров П„Па,..., П, „. можно, изменяя вид функции 7, заменять другой системой безразмерных параметров, являющихся функциями п — й безразмерных параметров П„П„..., П„а Нетрудно видеть, что из и параметров а„ав,..., аа, среди которых имеется не более й параметров с независимыми размерностями, нельзя составить больше п — й независимых безразмерных комбинаций. Это непосредственно вытекает кз вывода соотношения (7.10), если за величину а мы примем любую выбранную безразмерную комбинацию, определяемую величинами а„ а„..., а„, Всякое физическое соотнотпение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.
В атом, собственно, и заключается источник полезных приложений метода теории размерности к исследованию физических задач. Чем меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, тем больше ограничена форма функциональной зависимости и тем проще вести исследование. В частности, если число используемых основных единиц измерения равно числу определяющих параметров, которые в этом случае имеют независимые раамерности, то с помощью теории размерности эта зависимость полностью определяется с точностью до постоянного множителя.
В самом деле, если л = )е, то из параметров а„а„..., ав нельзя образовать безразмерной комбинации, и поэтому функциональная зависимость (7.10) может быть представлена в виде и =- Са,'а,*... а„ где С вЂ” беаразмерная постоянная, а показатели тт, т„..., и„ легко определяются с помощью формулы размерности для а. Безразмерную постоянную С при этом можно определить либо экспериментально, либо теоретически, решая соответствующую математическую задачу. 404 Гл.
УП. О постановке задач в неханяне сплошной среды 5 8. Параметры, определяющие класс явлений, и типичные примеры приложения методов теории размерности Приложения теории размерности основаны на применениях в изучаемых проблемах П-теоремы. В связи с этим воаникает задача о перечислении аргументов— определяющих параметров в функциях вида (7.8). Б термодинамике, в гл. У1, мы иоэнакомились с понятием системы определяющих параметров, характеризующих состоя- Выяененне снстемы определяющпх параметров на оснонапнн математической постаповкн задачи Очевидно, что теория размерности должна приносить тем большую пользу, чем больше мы можем выбирать основных единиц измерения.
Выше мы видели, что число основных единиц измерения можно выбирать произвольно; однако увеличение числа основных единиц измерения связано с введением дополнительных физических постоянных, которые также должны фигурировать среди определяющих параметров. Увеличивая число основных единиц измерения, мы увеличиваем число определяющих параметров; в общем случае разность п + 1 — й, равная числу безразмерных параметров, в которых формулируется физическое соотношение, остается постоянной.
Увеличение числа основных единиц измерения может приносить пользу только в том случае, когда из дополнительных физических соображений ясно, что физические постоянные, возникающие при введении новых основных единиц измерения, несущественны. Например, если мы рассматриваем явление, в котором имеют место механические и тепловые процессы, то для измерения количества тепла и механической энергии мы мо>кем ввести две различные единицы измерения — калорию и джоуль, но при этом необходимо ввести в рассмотрение размерную постоянную 7 — механический эквивалент тепла.
Допустим теперь, что мы рассматриваем явление теплопередачи в движущейся несжимаемой идеальной жидкости. В этом случае не происходит превращения тепловой энергии в механическую и обратно, и поэтому тепловые и механические процессы будут протекать независимо от значения механического эквивалента тепла. Если бы мы располагали возможностью изменять величину механического эквивалента тепла, то это никак не сказалось бы на значениях характерных величин.
Следовательно, в рассматриваемом случае постоянная Х не войдет в физические соотношоння, и увеличение числа основных единиц измерения позволит получить с помощью теории размерности дополнительные важные сведения, 8. Параметры, определяющие класс явлений чой ние и движение малой частицы среды. Теперь необходимо ввести систему определяющих параметров, вытекающую иа постановки выделяемого класса задач н характеризующую полностью для данной среды каждую отдельно взятую глобальную задачу. Основным и первоначальным этапом в постановке задач является выбор модели или системы моделей сплошных сред и схематизация свойств искомых решений. Сюда входит учет условий симметрии и выбор подходящих систем координат. При этом фиксируется система уравнений, система и класс искомых функций и независимые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
