Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(6.16) Аднабата Пуассона для адиабаты Пуассона и У вЂ” $~, = 1 (Р— Рм с = сопз~) -)- й(Р— Р,)в + (6 18) для адиабаты Гюгонио соответственно; коэффициент )с зависит только от $'т и Р,. Следовательно, вблизи точки Р„ут эти аДиабаты — близкие кривые (рис. 49). Из (6.17) и (6Л8) видно, что в точке Р„У, обе адиабаты имеют одинаковые касательные и одинаковые кривизны, т.
е. (6.19) Уравнение (6Л6) при заданных Р„У, определяет связь между Р и К. Соответствующая кривая в плоскости (Р, Р), проходящая через точку р„у„называется, как известно, адиабатой Пуассона. На основании (6.15) и (6.16) при малой разности Р— Р, уравнения адиабат Пуас1ч~ касавке второго парадна сона и Гюгонио моясно представить в виде У вЂ” Ут — — 7 (Р— р„г = сопзе) (6,17) 380 Гл. ЧП. 0 постановке задач в ыохаввке сплошной среды р р тт т У = е Тс( Р ) е Р + сопев = с Т+ сопз$ Ро р 1 = — рр + ~оы$ т. с.
3 — о (6.23) отсюда з'р~ О+т) рз е ( , др~ )в т'рс рз'н" / двр Ив неравенства ~ —,~ О, следует, что адиабата Пуассо~рр ~. на направлена вогнутостью вверх. Если (дИдг)р )О, то е ) з выше, а г ~ г, пня~о адиабаты Пуассона; если (дК/дг)р(0, то наоборот, з(г, выше и з) е, ниже адиабаты Пуассона (см. рис. 49, а и б). Так как на адиабате Гюгонио выполняется равенство (6.15), то очевидно, что вбливи точки р„$', адиабата Гюгонно, касаясь адиабаты Пуассона, при возрастании У переходит сверху вниз, как указано на рис. 49, а, когда (дйдг)р)0. Если (дИдг)р ( О, то расположение адиабат получается обратным.
Согласно (6.23) уравнения адиабаты ПуасУравневвв вднвбат Пувс- сана и адиабаты Гюгонио (6.8) ДлЯ совеР- сока н Гвгонво длв со- шенного газа соответственно имеют вид воршенного гввв Ф =рХ (6.24) —,(Ф' — рЛ) = ~ ( + р~)(~" — р) (6.25) Адиабата Пуассона имеет асимптоты р' = 0 и р = О. Адиабата т 6. Поверхностн разрыва в ндеальных средах 381 Гюгонио представляет собой гиперболу с асимптотами. т — 1 т — 1 — н Р.— — Рт —. у+1 -=,+ .
Общий вид этих кривых указан на рис. 50. Ясно, что адиабата и-т в+7 Р К 7 т Р= Рг Хт„' Гвс. 50. Аднабаты Пуассона н Гюгонво длв совершенного газа. Гюгонио для совершенного газа на всем протяжении обраще- на вогнутостью вверх. длн совершенного газа Для совершенного газа из (6.25) и (6Л3) внтропня возрастает мо вдоль адиабаты Гюгонио следует форнотовно вместе с ловленном влвп адвабаты Гю- мула Тдз = т+ (р — )г)е др, отсюда говно 4У~ (6.26) Для совершенного газа при движении вверх вдоль здиабаты Гюгонио, т.
е. при увеличении р, энтропия г возрастает монотонно. Можно показать, что и в общем случае для любых сред, для которых выполняется неравенство (даИдрз), ) О, на адиабате Гюгонио для р ) р, имеем г ) гыа для р ( р, з ( з,. В частности, для малых скачков р — рх эт онепосредственно видно из (6.14') и (6.19). Скачки уплотввннв реальны; Из второго закона термодинамики сле- схаткн разреженвн неосуше- дует, что физически допустимы только ствнмы такие скачки, для которых Р ) О, т. е.
энтропия частицы после прохождения через скачок ва больше, чем еепервоначальнаяэнтропия г, перед скачком. Иэ предыдущего анализа следует, что при (дхИдрз),) 0 и Уа (р, р)=У, (р, р) такое положение имеет место только для скачков уплотнения, когда рз) ры р,)р, и и„= и„,— в„,)0. 382 Гл. Ч11. О костаяовке задач э механике сплошной среды протяжении следует, что для скачков уплотнения при малых р — р, в любых рассматриваемых средах и для любых скачков уплотнения в совершенном газе имеет место неравенство 1я(3, < ' тяа.
Так как а,'=- ® — $;~ ® = У,'сд(3„ и Рис. 51. 61 — острыйугол касательной к адиабате Пуассона с осью Г, о — острый угол секущей адиабаты Гюговио с осью И к = р',— = $',Фда, е ьРи — Р~ е Р1 — Рь то отсюда следует, что для скачков уплотнения (рз > р,) имеем л)'= э,'„>аз. (6.27) Такнм образом, приходим к фундаментальному выводу в теории сильных разрывов: при наличви неравенства (дзИдрз), ) О в действительности могут осуществляться только скачки уплотнения. Скачки разрежения не могут реализоваться в действительности. Этот вывод связан существенно с принятыми допущениями: во-первых, с неравенством (дзИдр'),) О и, во-вторых, с условием Уз(р р) = Ут (р Р) Если после перехода частиц газа через иия оеущеетзияы скачок химические или физические свойства газовой смеси изменяются так, что второе из этих условий не удовлетворяется, то появляется возможность реализации в действительных движениях скачков разрежения.
В этом случае (6.8) определяет геометрическое место точек рз, ); — кривую, также называемую адиабатой Гюгонио; эта кривая, как укааывалось выше, не проходит через точку рю р,. Примерами таких осуществляющихся в действительности скачков разрежения могут служить фронты горения. Отметим еще очень важное свойство отпил скачка уплотпейия по носительных нормальных составляющих частицам среды перед скоростей на разных сторонах скачка.
екачкои езерлзетповаи Обозначим через (3, острый угол, который составляет касательная к адиабате Пуассона с осью $' (рис. 53). Из свойства вогнутости адиабаты Гюгонио для произвольных сред (прн условии (дзИдрз), ) О) в окрестности точки р,ую а для совершенного газа на всем ее $6. Новерхвоств разрыва в идеальных средах 383 Неподвижные скачки могут существовать только а сверхзвуковых потоках рассмотрим теперь адиабатуГюгонно Г„соответствующую точке рг, Рг.
Уравнение этой адиабаты имеет вид б'(р, Р) — У (рг, Рг) = —,„(р+ р ) (Р, — Р). (6.28) Легко усмотреть, что адиабаты (6.28') и (6.28) — различные кривые, но при условии (6.11) обе эти кривые проходят через точки ры гг и рг гг. 'э Гг Если для аднабаты (6.28') переход иэ р„р, в р„рг соответст- .сэ ут вует скачку уплотнения, то для адиабаты (6,28) переход из р„Кг в ры рг соответствует скачку разрежения (рис. 52).
р,,и, Дальше для простоты рассмотрим случай совершенного газа. и Общая секущая Г, и Гг — прямая, проходящая через точки Ркс. 32. Адкабата Г, соотэстстр, К и р р, из-за свойства во- сустураспсккю(6.28'), аадкаР11 1 г1 г1 бата Гг — уравнскшо (6.28). гнутости адиабат совершенного газа в промежутке р„ рг расположена выше обеих адиабат; поэтому острый угол рг наклона к оси у касательной к адиабате Гг в точке ры Рг больше, чем угол сг наклона к оси Р секущей Гг и Гг (см. рис.
52): (6.2эг) гдРг) 2дсг. г) См. сноску ка стр. 376. Можно также показать '), что для любых сред, в которых (дгр/дрг), ) О, скорость распространения скачка уплотнения с конечным перепадом давления рг — рг по частицам газа перед скачком больше скорости звука. Для неподвижного скачка нормальная составляющая и„, скорости частиц, подходящих и проходящих через неподвижный скачок, больше скорости звука. Таким образом, неподвижные скачки могут возникать только в сверхвузковых потоках.
Подвижные скачки могут, очевидно, существовать в потоках с любыми скоростями и, в частности, распространяться по покоящейся среде. разные „„б Р Выше мы рассматривали адиабату Гю вво, соответствукацкс тсч- гонно Гд, соответствующую точке рг, уг.' кам ры $'г и рг, у (~(Ф') — ('(р У ) = — 2 (р+Р ) (р — р)' (6.28') 1 384 Гл. ЧП. 0 постановке задач в механике сплошной среды Скорость чаетвц среды, прошедших через скачок уплотнения, относительно скачка — дозвуковая Отсюда непосредственно вытекает важное неравенство для скачков уплотнения Г .
( г( рз), а именно согласно (6.6) и (6.29') удем иметь гш=- Уз .. = Га 1яи(Р"заид()з, 2 $ ш Рг 3 т но, так как 1'зад 6з=~ — ! = а, (,~р / получим 2 в„з = (Ю вЂ” о„)з ( аз ~ — „(1 аз (6,29) от- ! Следовательно, нормальная составляющая скорости среды носительно скачка, равная скорости распространения скачка по частицам (Я вЂ” со), за скачком уплотнения меньше скорости звука.
При более подробном исследовании можно показать, что найденные выше свойства скачков уплотнения, установленные при (дзИдрз). ) 0 для любых сред при малых рз — р„а для совершенного газа при любых рз — р, (для совершенного газа использовано свойство вогнутости адиабаты Гюгонио на всем ее протяжении), верны в общем случае для любых рт — р, и любых сред, для которых выполняется неравенство (дзНдрз), ) О. Рассмотрим некоторые задачи об адяабатическом движении совершенного газа со скачками уплотнения. Начнем с задачи о поршне. Пусть в цилиндрической трубе, аакрытой с левой стороны порп|нем (рис. 53), находится совершенный газ. В начальный момент времени при 8 = 0 поршень и невесомый газ находятся в состоянии покоя.
Обозначим Задача о поршне с плоски ми волнами Рве. 33. Задача о движении газа, вытесняемого поршнем. череа рг и рт постоянные значения плотности и давления покоящегося газа. Рассмотрим задачу о возмущенном адиабатическом движении газа, вытесняемого поршнем приз ) О. Очевидно, что возмущенное движение газа существенно зависит от закона двия1ения поршня, который можно задавать с помощью функции ио (г), где пв — скорость поршня. В силу граничного условия на поршне скорость частиц газа, находящихся $ З.
Поверхности разрыва е идеальных средах 385 в контакте с поршнем, должна равняться во(1). В общем случае при непрерывных ускоренных движениях поршня задача о движении газа трудна и может быть решена только с помощью численных расчетов на машинах, Однако задача легко решается в частном случае, когда первоначально покоившийся поршень мгновенно начинает двигаться со скоростью ге в сторону газа н затем пРоДолжает свое Движение с ио = сопз1. Очевидно, что всем условиям задачи легко удовлетворить, если принять, что в начальный момент вревхени от поршня отделяется ударная волна, которая движется по покоящемуся газу с постоянной сверхзвуковой относительно начального состояния гааа скоростью Ю. Между ударной волной и поршнем возникает поступательное движение с известной постоянной скоростью ое, с постоянными давлением рз и плотностью р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
