Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 67
Текст из файла (страница 67)
т. Н). в 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач, связанные с уменьшекием чисва независимых переменных Математическая аадача об определении решений уравнений, описывающих движение и другие физические процессы с точки зрения Эйлера, сводится к отысканию неизвестных функций от четырех переменных х', л', л', 1, например скорости, давления, температуры, плотности, электрической и магнитной напряженностей и т. д Эта математическая задача во многих случаях очень трудна, и для ее решения требуется вводить дополнительную схематизацию, связанную с постановкой конкретных физических задач, и вносить допустимые упрощения в нх математическую постановку. Наличие большого числа (в данном случае четырех) независимых переменных сильно осложняет задачу.
В ряде задач важные упрощающие предположения, обеспечивающие успех решения, связаны с уменьшением числа независимых переменных илие допущениямио вполне определенной зависимости искомых функций от некоторых из переменных, взятых в соответствующей специально выбранной системе координат частного вида. Очевидно, что не всегда, но в некоторых практически приемлемых случаях в соУетааевввшвеея двювевкя ответствующей системе координат рассматриваемые движения и многие процессы можно считать установившимися.
Это позволяет при использовании точки зрения Эйлера сократить число независимых переменных на единицу, так как исключается время 1, Для установившихся движений начальные условия по времени 8 не нужны, так как во всех уравнениях для 3 2. Типичные упрощения в постановках некоторых задач 343 — + —, = О. д>Ч> д>~р дхв ду" (2.1) Для гармонической функции >р (х, у, 2) можно определить сопряженную гармоническую функцию >)> '(х, у, ~) согласно уравнениям Каши — Римана: дР др дх ду ' (2.2) ду дх ' установившегося движения выпадают частные производные по времени. Это обстоятельство, как правило, упрощает решение математических задач.
Движение сплошной среды называется »лэеве~ауалвевьвые двв плоскопараллельным, если можно выбрать жеввя декартову систему х, у, з так, чтобы скорости всех частиц среды оказались параллельными плоскости (х, у), причем все характеристики движения и состояния представляли бы собой функции только двух координат х, у и, может быть, времени и В этом случае движение и состояние частиц среды не зависят от координаты з, движение среды происходит параллельно плоскости (х, у), и движения во всех плоскостях, параллельных плоскости (х, у), одинаковы.
Предположение о плоскопараллельности приемлемо только в частных задачах, например в задаче аэродинамики о движении перпендикулярно к своей образующей бесконечного цилиндрического крыла в газе или жидкости, в некоторых задачах о волнах на поверхности тяжелой жидкости, в ряде задач теории упругости, например в задаче о равновесии длинной цилиндрической балки, поперечное сечение которой находится поддействием произвольно расположенных в его плоскости внешних статически равных нулю нагрузок, когда нагрузки не зависят от продольной в координаты, а перемещения в продольном направлении запрещены условиями закрепления, ит.
д. Математическая теория эффективного решения задач о плоскопараллельпьтх движениях сильно развита и положена в основу многих приближенных методов для решения пространственных задач, когда предположение о плоскопараллельной схеме для искомых полей в целом недействительно. ж'Большой успех теории плоскопараллельПвеевэваралэевьюке по ных движений несжимаемой жидкости тевцвавьвые движения век связан с тем, что для потенциальных движений потенциал скорости >р (х, у, >) является гармонической функцией: 344 Гл. з!1.
О постановке задач з механике сплошной среды т. е. оф (х, у, 1) = — — е1х + — ф. дф дф ду ' дх (2.3) Условие интегрируемости (2.3) обеспечивается уравнением (2.1). Функция ~Р (х, у, 1) называется функцией тока. Согласно (2.3) и уравнениям линий тока, ~у=- сопэ1 вдоль любой линии тока. Как известно, на основании уравнений Коши — Римана (2.2) можно ввести аналитическую функцию ю комптексной переменной г = х + 1у, где 1 =-'1/ — 1: и> (г) =- ~р (х, у, 1) + йр (х, у, 1). (2.4) Функция ш (г, 1) называется характеристической фунщией, Задачу об отыскании потенциала скоростей ~р (х, у) можно свести к задаче определения характеристической функции комплексной переменной г. Для решения этой задачи привлекается мощный аппарат и методы теории функций комплексной переменной.
Это позволяет решать много трудных задач и далеко развить гидродинамику потенциальных плоскопараллельных движений несжимаемых жидкостей. Для установившихся плоскопараллельных движений остается только одна независимая величина — комплексная переменная г = х + 1у.
Это добавочное очень сильное допущение всей теории. В несколько усложненном виде аналогичные методы решения плоских задач, основанныо на прилон1ениях теории функций комплексной переменной, развиты в теории упругости (см. т. П, гл. Х1). Важным классом задач являются задачи Псесвммет1шчесшю дзв" с наличием осевой симметрии. В осесимшеввя метрических задачах предполагается, что можно выбрать цилиндрическую систему координат, в которой существенными аргументами искомых функций будут только координаты г, г и 1, а угловая координата ~р несущественна.
Все уравнения и формулы, дающие решение, будут инвариантны относительно поворотов на любой угол вокруг оси г. В частности, многие проблемы прочности и движении тел вращения, например задачи о трубах, баках, специальных оболочках и т. д. или задачи о поступательном движении внутри жидкостей и газов тел вращения вдоль оси симметрии или их вращении относительно оси симметрии и много других задач, рассматриваются в рамках теории движения сплошных сред с осевой симметрией.
$2. Типичные упрощения з постановках некоторых задач 345 11лоскопараллельные и осесиммотричные движения — примеры, когда существенное значение имеют только две геометрические координаты. Двия«ения и процессы, в которых существенна только одна геометрическая коОдномерные иеустаиовивоРдината, «), называются одномерными двизкениями. К этому названию добавляется еще слово «неустановившиеся», когда время 1 существенно. Можно показать'), что в жидкости одномерные неустановнвшиося движения, в ноторых перемещения направлены ортогонально к координатным поверхностям «1 =- сопз«, возможны только в следу«оп«их тРех случаях. 1.
Движение с плоскими волнами, т. е. декартову систему координат так, что существенными независимыми переменными аргументами будут только координата х (дальше можно применять обозначение х = г) и время 1. В этом случае на плоскости х = сопз« (плоскость фазы волны) все характеристики движения одинаковы, т. е. все производные от искомых характеристик движения к процессов по у и з равны нулю. 2. Движение с цилиндрическими волнами, когда можно выбрать цилиндрнчесдвижение е циаиидрвчекую систему координат так, что существенными независимыми переменными аргументами будут только расстояние до оси симметрии г и время 1.
В этом случае на цилиндрических поверхностях г = сопзФ (поверхности фазы волны) все характеристикидвижения постоянны, т. е. все производные от искомых величин по г и полярному углу «р равны нулю. 3. Движение со сферическими волнами, Движение оо сферическими волнами когда можно выбрать сферическую систему координат так, что существенными независимыми переменными аргументами будут только расстояние до центра симметрии г и время 1. В этом случае на сферах г = сопз6 (поверхности фазы волны) все характеристики движения одинаковы, т. е. все производные от искомых величин по долготе 0 и широте у равны нулю.
Многие важные теоретические и практические задачи рассмотрены в рамках одномерных движений, например задачи теории распространения световых и звуковых волн, теории взрывных волн, теории детонации. з) См. Ы р з с Ь! з з, 2. 1. те1пе ппй аахен. Ма«п., т 100, 1887, стр. 89. См. также Г. А. Л ю б и и о в, О возможных видах одномерных неустаноаизшихся движений вязкого газа, сб. Уб 19 «Теор. гидромех.», зьш. 7, стр. 132, Оборон»из, 1956.
346 Гл. Ч11. О лостаковке задач в механике сплошной среды к ~а ' где и — некоторая постоянная. Для одномерных неустановившихся движений вместо двух переменных г и 1для автомодельных движений можно ввести только одну переменную Х= г/1". Очевидно,что в атом случае уравнения с частными производными по г и 1 перейдут в обыкновенные уравнения с одной независимой переменной Х. Как мы увидим дальше, наличие автомодельности для искомого решения можно установить пепосредственно, исходя нз постановки задачи, с помощью соображений теории размерностей. Для этого не требуется дан<е выписывать уравнения движения и граничные условия; достаточно знать только параметры и характеристики, входящие в зти уравнения и условия. Имея в виду эти соображения, в некоторых случаях можно заранее схематизировать явление и поставить задачу таким образом, чтобы описанные упрощения можно было применить и, в частности, чтобы искомое решение было автомодельным.
Автомодельность — весьма ценное свойство решения, так как с точки зрения теории сведение уравнений с частными производными к обыкновенньгм уравнениям — зто уже большое достижение, позволяющее получить численное решение задачи более простыми методами. й 3. Линеаризация бравнепий и задач механики сплошной среды Неаяпеяиость проблем мехаквви сплошной среды Основные уравнения механики сплошной среды, — вообще, нелинейные уравнения. Нелинейность задач механики сплошной среды связана с тем, что искомые функции входят в уравнения и граничные условия в общем случае нелинейно.
Например, з уравнения Эйлера (в выражение для ускорения) Таким образом, указанные выше упрощения сводятся к исключению одной, двух илн даже трех (в установившихся одномерных движениях существенна одна переменная г, а нуль-мерном случае для неустановившихся движений — тольо одна переменная Г) независимых переменных. Валеное значение имеют решения, в котоАвтэмедельвые двишемая рых уменьшение числа аргументов искомых функций достигается за счет существенности только некоторых комбинаций из независимых переменных. Примером таких решений являются автомодельные движения, когда вместо четырех перемонных х, у, г, 1 можно ввести только три существенных независимых аргумонта: $3. Лииеаризации уравиевий механики оплошной среды 211 Рис. 42.
Движевие топких крыльев и тел вращения. входят произведения и, (диа/дх'), а в случае движения сжимаемых сред прн сильных изменениях плотности и давления в эти 1 др уравнения входят еще нелинейные члены — — . Р дхг Уравнения Максвелла линейны для поля в пустоте; нелинейность возникает за счет взаимодействия электромагнитного поля со средой при учете усложненного закона Ома и усложненных законов для электрической поляризации и намагничивания. С нелинейпостью исходных уравнений связано наличие ряда особых физических эффектов, которые в общем случае имеют большое практическое значение. Свойство нелинейности вносит большие трудности в математические методы исследования и разрешения расслтатриваемьтх задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
