Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Подчеркнем, что такое разбиение о7е на Ыд' и «)»)ее справедливо в случае неподвижных сред. Если же среда движется относительно системы отсчета, то формулы (5.24) и (5.25) справедливы в каждой точке только в собственнойсистеме отсчета '). При наличии законов намагничивания и поляризации (5.12) и (5.$3) процессы поляризации и намагничивания обратимы, а электромагнитное поле затрачивает на поляризацию и намагничивание тела отличную от нуля макроскопическую энергию Е г)Р+ Н г)й«'+О. Величины «)ф'), Идее и компоненты векторов .Е, Й, .Р и Ж и их приращения в собственной системе координат можно выразить через соответствующие компоненты них приращения з сопутствующей системе координат с учетом движения сопутствующей системы координат относительно заданной инерциальной системы отсчета ').
Опыты с намагниченной стрелкой в маг~равнение моментов нитном поле показывают, что взаимодейчетырехмериой форме ствие тел и поля не сводится только к пондеромоторным силам. Опыт показывает, что это взаимодействие проявляется также за счет действия распределенных по объему пар, задаваемых своими моментами. Введем и проанализируем дифференциальное уравнение моментов для поля.
Для поля можно рассматривать трехмерное обычное уравнение моментов, в котором фигурируют только обычные моменты трехмерных сил. Однако в рамках специальной теории относительности, т. е. в рамках теории электромагнитного поля, описываемого уравнениями Максвелла, сила представляет собой четырехмерный вектор.
В связно этим требуется рассматривать ') См, (4,23'). ') Соответствующая теория развита в работе Л. И. С е д о в а «О пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом конечности деформаций», ПММ, т. 29, вып. $, $965, стр. 4 — 17. 316 Гл. Ч1. Основные понятия в уравнения электродинамики уравнение моментов в четырехмерной форме, это связано с обобщением понятия о моментах сил и о моменте импульса как для материальной среды, так и для поля.
Из четырехмерного уравнения энергии — импульса для поля (5.10"), написанного в декартовой инерциальной системе координат, как следствие вытекают следующие равенства: х~»»Юы — х г7»~Я = — (х»Р» х'Р') г', 7 =- (, 2, 3, 4, (5.26) где х' — координаты точек в объеме, занятом телом. Антисимметричный тензор с шестью независимыми компонентами х'Р— х'Р»можно рассматривать как обобщение на четырехмерный случай обычного понятия трехмерного антисимметричного тенаора, соответствующего одному аксиальному вектору — моменту трехмерной пондеромоторкой силы относительно начала координат.
Необходимо подчеркнуть, что в спепиальной теории относительности момент — двухвалентный антисимметричный тензор с шестью независимыми компонентами — в общем случае может быть сведен в декартовой системе координат к двум трехмерным векторам (одному аксиальному и другому полярному).
Легко видеть, что соотношения (5. 26) можно переписать в виде Ч» (Я~~х1 — У"х ) + бп — бд = — (х»Р» — х~Р»). (5.27) Компоненты трехвалентного тензора 8»»х1 — Яз» х' можно рассматривать как компоненты обобщенного тензора плотности момента импульса поля. Соотношения (5.27) (аналогично теореме живых сил) представляют собой простое следствие уравнений импульсоз и выполняются тождественно в силу уравнений импульсов.
В уравнения (5.27) входят обобщенные тензорные величины плотности моментов импульса полн и антисимметричные тензоры моментов пондеромоторных сил, порожденные взаимодействием с материальной средой. Уравнение энергии в термодинамике представляет собой в общем случае уравнение, независимое от теоремы живых сил. Аналогично этому можно ввести новые характеристики поля: тензоры объемных плотностей собственного внутреннего момента с компонентами ~Г'» = — (1я» и пондеромоторного момента с компонентами ЯП =ЬП вЂ” (х'Р> — х»Р'), которые могут определяться с помощью уравнения моментов для поля и уравнения моментов для среды, независимых от уравнений (5.27).
Такие независимые уравнения моментов для электромагнитного поля можно взять в виде Ч» р'»хз — ~1»л' -)- дп») = — Мп = — Ьп+ (х'Рг — лзР'). (5.28) 5. Вааимодействпе влеитромагвитиого поля с телами 317 Компоненты тензора внещнего по отношению к телу пондеромоторного момента Я~~ включают в себя, помимо компонент момента пондеромоторной силта еще компоненты добавочного ооьеиного поцдеромоторного момента — двухвалентного анти- симметричного тензора г1о, При написании уравнений (5.28) принимается, что внешние распределенные объемные моменты, действующие на электромагнитное поле, обусловлены только материальным телом.
Уравнения моментов, аналогичные уравнениям (5.28), можно написать отдельно также и для материальной среды. В уравнениях для материальной среды в правой части будут присутствовать со знаком плюс компоненты Ж' тенаора пондеромоторного момента за счет действия поля на среду. Помимо этого, в правой части уравнений моментов для среды могут присутствовать еще моментьц обусловленные внутренними взаимодействиями между частицами самой среды и другими посторонними объектами (другие тела и не электромагнитные поля).
Из (5.28) и (5.27) следуют равенства (5.29) Эти соотношения можно рассматривать как уравнения для собственных моментов (четырехмерный аналог уравнения (3.6) гл. 111). Уравнения (5.29) и соответствующие уравнения для материальной среды вместе с опытными данными, положенными в основу построения модели среды, могут служить источником для определения компонент яо, яп и ~оа. Если модель материальной среды фиксирована, а из опытов определены компоненты пондеромоторного момента Ья (например, момент, действующий на элементарную магнитнуюстрелку со стороны поля), то соотношение (5.29) можно рассматривать как связь между компонентами ЯЯ и ~па. Если по дополнительному условию, входящему в определение электромагнитного поля, эти величины не зависят от каких-либо новых существенных характеристик поля, то соотношения (5.29) и соответственно (5.28) должны удовлетворяться тождественно подобно (5.27). В соответствии с опытными данными соотношения (5.29) можно превратить в тождество с помощью различных условий.
В частности, в качестве простейших и естественных условий можно ваять следующие: 1) тензор энергии — импульса электромагнитного поля— тензор Минковского, компоненты которого определены формулами (5.10'); 318 Гл. с'д. Основные понятна и уравнения электродинамики 2) компоненты тензора внутреннего момента дгпк для точек внутри данного объема поля равны нулю, или, в более общей форме, верно равенство г к'с (5.30) Ф! 0 — Вэ Вэ 1 0 — В' с В" 0 с СЕз СЕэ 0 В' (5.32) СЕд С помощью матриц (5.7) и (5.32) на основании формул (5.31) легко написать матрицу )(Ь '(!.
Для четырехмерного антисимметричного тре™риме ироетрзнет" тензора пондеромоторного момента с компонентами Ь'д в декартовой системе коориондероноторного момента динат можно ввести два трехмерных вектора,я (Мд, .Фд„,Мэ) и я (уд, уэ, лз), входящих в матрицу ((Й1д1) (см. (3.26) гл. 1Ч), которую можно написать в форме 2,'~ с 0 которое удовлетворяется тождественно или в силу уравнений импульсов. Этидва основных условия, которые можно включить в определение модели электромагнитного поля, приводят к согласованию с опытом (см.
(5.33)). На основании (5.10') и (5.30) из (5.29) и тензор ионаероноторного условий 1), 2) получим момента электромагннг- и 1 ного ноля [ Ед Я"" — Г' Н™), (5.31) Проведем теперь выкладки в формуле (5.31). В декартовой инерциальной системе координат матрица Эдд"$ определена формулой (5.7), а матрица Рг;д(( — формулой (5.6). Так как Е' =фкЕэк и гдд= гдд = гээ = — 1, а есс = = 1/сд, Ру = 0 при д + 1, то для матрицы ))ЕД верна формула 1 б. Взаимодействие электромагнитного поля с телами 319 С помощью (5Л) и (5.32) после несложных выкладок найдем сле- дующие простые формулы: м 4 (Л Х ЕЕ) + ! (Е Х ЕЕ ) тЕ Х ЕЕ + Р Х ж (5 33) и 2' = ая (.Е Х ЕŠ— Е» Х Л) =.
Я вЂ” Я"'; (5.34) здесь Я вЂ” вектор Пойнтинга, а вектор Я* = — „(О Х Л) имеет ь аналогичную природу. В матрице тенэора Минковского компо! ненты вектора — Я образуют четвертую строку, а компоненты вектора — Я вЂ” четвертый столбец. с Трехмерный векторЕЕ представляет собой пе что иное, как обычный пондеромоторный момент. Формула(5.33) для Я хорошо соответствует опытным измерениям в рамках употребляемых на практике моделей материальных сред. Формула (5.33) является естественным обобщением формулы (1.3) на случай наличия поляризации. Очевидно, что л« = О, когда имеют место уравнения состояния (5.12) и (5 13), в которых е и р — скаляры. В общем случае при наличии связей (5 12) и (5.13) для анизотропных сред ЕЕ =/= О.
Для материальной среды уравнение моментов в специальной теории относительности представляется в компонентах шестью уравнениями: тремя «обычными» уравнениями моментов в проекциях в трехмерной формулировке, соответствующими вектоРу зу, и тремя уРавнениями в проекциях, соответствующими вектору Я . !!оследние три уравнения моментов для среды в силу определения модели намагничиваемой и поляризуемойматериальной среды могут удовлетворяться тождественно либо представлять собой существенные соотношения для определения некоторых характеристик среды. Формулы (5.33) и (5.34) установлены в инерциальной системе координат (трехмерная пространственная часть системы координат может быть пропавольной криволинейной). Их апробирование на опыте относится к неподвижным телам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
