Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Совокупность инерциальных систем может быть получена с помощью системы преобразований из одной-единственной системы, которая выделяется по условию, основанному на опытных данных. Для отыскания соответствующих формул преобразования воспользуемся, кроме основного условия о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах, еще естественными условиями о равноправности любых двух инерциальных систем, об обратимой симметричности — изотропностн и однородности. Понятие об однородности, связанное с геометрической н кинематической равноправностью всех точен пространства, дальше будет разъяснено в более конкретной математической формулировке.
Преооразовапие коорди В качестве исхоцной инеРЦиальной сииат при переходе от од- стемы К, выбор которой связан с опытной ннерциальной еноте- ными данными, возьмем систему коормы к другой динат х', хз, х', х' = 1, в которой пространственные координаты х', хз, х' рассматриваются как декартовы координаты евклидова трехмерного пространства, а переменная 8 — как время.
Пусть рз, уз, у', р' = 1" — другая инерциальная система координат К', в которой у', уз, рз тоже декартовы координаты, а ь' — свое время. Мы рассматриваем задачу об установлении свойств и об изучении условий для определения формул преобразования ввб Гл. Ч1. Основные новнтнн и уравненнн электродннамннн В этих формулах переменные у" и хз (сз, )1 = 1, 2, 3) соответствуют друг другу согласно формулам (3.2).
Введем величины сЬ, = (са — оа) Йа == — с1хаа — ~Ьаа — дхза + са с11з, йз' = (са — нм) бра =. — Иу" — Ирз' — арса+ са~й'а. Рассмотрим движение фотона, который, как известно, двин<ется в пустоте со скоростью света как в системе К, так и в системе К'. Если одновременною = о' = с, то дз„= ~Ь;. =-.
О. Если принять Из,'. = О, то равенство (Ь"„= ( — "" бхо)'-.( — '" )х~)"-~ ('1' бх ) о ~" 1х )'=О долзкно выполняться как следствие специального вида преобразования (3.2), поэтому в общем случае при о + с должно выколняться равенство .а хз .а) ~а где к может быть произвольной функцией своих аргументов. Из симметрии пероходов К вЂ” э К" и К' — а К следует, что дз,. = к(р', в~, рз, у') сЬ;, = к(у')н(х')сЬа, отсюда х (у') к (х') == 1. (3.3) Из свойств однородности пространства вытекает условна независимости н от точек пространства, т. е. от координат.
Из постоянства н и равенства (3.3) вытекает, что к = 1. Следовательно, при преобразованиях перехода от одной инерциальной системы К к другой иперциальной системе К' величина (3.4) г)з' =- — Их' — абхаз — Ихза + са Й1з должна быть инвариантной.
Формулу (3.4) можно рассматривать как определение метрики четырехмерного пространства. Таким образом, физическое пространство можно рассматривать как пространство Минковского, а преобразования перехода от одной инерциальной системы координат к другой— как преобразования Лоренца. б Э. Преобразования Лоренца и иверцнавъные системы 287 у' ==- ~'(х', х', х', хз), — = 7ь и (~;,. )+ О, др эхе и пусть гЬз = у'.Ну'Нуу = е Нхе~Ьо, ь рд е~ '7 раз = Ыеч' (3пб) причем д'и = сопз1, дв, = сопз$ и ~д.,', =,-'- О.
Покажем, что в этом случае функции (' (х', х', х', х") — линейные функции своих аргументов. Дифференцируя равенство (3.5) по х', получим у.';/'„',(,'+ а,'Д1,', == О; (3.6) здесь р, г, д — произвольные индексы, принимающие значения т, 2, 3, 4. Очевидно, что в силу свойств симметрии д~;= двь и 7е = 7;;,. После перестановки в (3.6) индексов р — х д — ь г — р можно написать (3. 71 г,',1,'„(,' -(- К.',;Ф'„', = О.
Вычитая иэ равенства (3.6) равенство (3.7), получим у,,У у,',— у,,У,„У,=О. (3.6) Теперь выясняется, что пространство Минковского и преобразования Лоренца, введенные раньше как вспохогательные математические образы при изучении преобразований уравнений Максвелла, получают фундаментальный физический смысл. Очевидно, что очень важное значение в развитой теории имеет инвариантность векторных уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. Принятые выше допущения и полученные выводы составляют основу современной физики. Принятие такой системы постулатов в глобальных системах для конечных тел — это специальная теория относительности. Использоваппе этих постулатов только в локальных, малых элементах материальных сред или поля положено в основу построения общей теории относительности.
Изучим более подрэоно свойства пре- Свойства преобразований Лоренца образований Лореш,а, Прея1де всего покюпем, что функции ~' (хь) в формулах (3.2), определяющих преобразования Лоренца, линейны. Докажем более общее предлоязение. Пусть задано преобра- зование йдз Гл. 'Ч1, Основные понятия и уравнения злектродинамики Теперь переставим в (3.8) индексы р — > з -р д — р и вычтем результат из (3.7), получим у,',ф'„'', = 0 или А, у'„'з = О, (3.9) где р, д, г — любые индексы из 1, 2, 3, 4. Детерминант (А;,~ отличен от нуля, так как верно матричное равенство (А;,(=з,дп)(Ц~! и )у,.',.~+О, )~,'! с-О.
Так как (4,„! + О, то из системы однородных уравнений (3.9) следует дз1 .-. — =-О. дхн дх' (ЗЛО) Уравнония (3.10) верны при з, р и г произвольных; отсюда слодует, что общее решение системы уравнений (3.10) имеет вид у' = 1' (х") = г'„+ с зхз, (3.11) К„== уы = = езз — -' К узз 1 зз (ЗЛ2) д',, = с,, = 0 нри з'+ у. Условия (ЗЛ2) накладывают следующие десять алгебраических связей на 16 козффициснтов с'з'. Утер" т — -- др, или с,рс'т == бор, (3.13) Таким образом, общее преобразование Лоренца зависит от четырех постолнных 7, определяющих простую трансляцию, и от шести независимых параметров, через которые согласно (ЗЛЗ) можно выразить шестнадцать величин с'з. где )з и сз — постоянные числа. Очевидно, что доказанное предложение верно для любых я-мерных пространств. 11реобразование (ЗЛ1) соответствует однородной деформации четырехмерного псевдоевклидова пространства, зто преобразование более общее, чем преобразования Лоренца.
Для выделения среди преобразований (3.11) преобразований Лоренца необходимо заменить (3.5) более сильными условиями, вытекающими из (2.20): $3. Преобразования Лоренца я ямерцяальвые системы 291 Аналогично пусть точка Л' связана неподвижно с системой К (х' = сопз1); тогда получим о1' =, т. с. дГ) о*1. (3 18) П« "а' ' —— сс Таким образом, с точки арения наблюдателя в К собственное время у наблюдателя К' течет медленнее.
С другой стороны. для наблюдателя в К' собственное время в К тоже течет медленнее. В этом сказывается полное равноправие инерциальных систем К и Х". Подобного рода соотношения также будут иметь место для длин соответствующих отрезков, расположенных вдоль направления скорости С'. Длины отрезков, перпендикулярных к направлению скорости Г, одинаковы в К и К".
В приложениях особое значение имеет собственная система отсчета; это инерциальная система отсчета К*, которая выбрана в данной точке М среды так, чтобы скорость точки М относительно системы К" в данный момент времени равнялась нулю; скорости соседних точек и точки М в другие моменты времени в атой системе могут отличаться от нуля. Собственная система от счета 10' Относительность понятия Согласно обжим формулам (3 11) и, в времеви частности, формулам (3.16) при переходе от К к К' время 1" в «подвижной системе» отличается от времени в первоначальной, «неподвижной» системе. Кроме того, геометрические координаты и время становятся до некоторой степени равноправными. Однако о полном стирании различия между геометрическими расстояниями и промежутком времени не может быть речи.
Это различие проявляется, в частности, в том, что в определение метрики для с(Р элементы с(х'» и Ю входят с различными знаками. Из теории квадратичных форм известно, что при любых вещественных преобразованиях переменных„сохраняшмх канонический вид квадратичной формы для с1«», указанные знаки являются инвариантами. Рассмотрим связь, вытекающую из (3.16), Различие ммтервалов вземежду соответствующими интервалами времени Й" и с(1 в точке М, неподвижной в системе К" (у' = соп»1) и, следовательно, движущейся со скоростью У в системе К Имеем с(1 =, т.
е. о1)с(1'. (3.17) П« ФГ1- —. с' 292 Гл. 71. Основные понятия и уравнения электродинамики С использованием собственной системы отсчета и собственного времени мы имеем дело в наших ощущениях. Собственное время — это инвариантная характеристика старения и всевозможных внутренних процессов и внутренних взаимодействий. При движениях элементарных частиц, атомов и молекул законы для всех вяутренних взаимодействий и все характерные времена одинаковы только в собственных системах отсчета, например: периоды излучаемых световых или радиоволн, время полураспада радиоактивных ядер, времена существования неустойчивых «элементарных» частиц и т.
п. При изучении движения континуума можСобствеиное время но рассматривать в каждой точке и в каждый момент времени свою собственную систему координат и в этой системе пользоваться значениями компонент рааличных тензоров, векторов и своим собственным интервалом времени»»т, определяемым равенством с(т= — Из =- ~й~г 1 — —, (в»(с», Нз)0), (3.19) где о»1 — соответствующий интервал времени в фиксированной системе отсчета наблюдателя.
Очевидно, что собственные системы кон ющая системы коордниат ординат вообще не совпадают с сопутствующей системой координат, в которой скорости всех частиц всегда равны нулю; собственная система инерциальва, а сопутствующая система, конечно, вообще не является инерциальной. При рассмотрении различных движений Парадокс часов одной и той же точки или при рассмотрении различных движений разных точек можно вычислять конечные промежутки собственного времени с помощью интегралов вида Лт = т — тр — — — ~сЬ =- ~ 1I 1 — —, М. (3.20) О-«1 ,1 г ст Собственный интервал времени Лт является инвариантом, и поэтому выражение (3.20) дает одинаковый результат в вычислениях при использовании любой системы координат наблюдателя как инерциальной, так и не инерциальной.
В ваданной инерциальной системе координат наблюдателя интеграл (3.20) зависит от кривой х'=х«(1) в пространстве Минковского. В частности, в случае прямолинейного движения интервал йт является функционалом пути интегрирования в $3. Преобразооания Лоренца и инерциальюзе системы 293 плоскости хз, ~ (рис. 39). Значения Ьт, вычисленные по различным путям С, и С„идущим из точки О в точку 0*, различны. Для покоящегося тела на Земле, принимаемой за инерциальную систему координат, путь интегрирования совпадает с осью времени 1; для космонавта, улетающего на ракете вдоль Рис, 39. Интервал собственного времени зависит от закона движении. оси х и затем возвра1цающегося обратно на Землю, закон движения иаображается кривой вида У. Подынтегральное количество в последнем интеграле (3.20) при и + О меньше, чем при о = О; поэтому прн возвращении космонавта в точку О" промежутки собственного времени для аемного наблюдателя Лтаь = 00' и для космонавта с<о > / зз сз ыо> будут различными, причем Лтмссм ( атеем ° (3.21) Для космонавта и земного жителя — блианецов после возвращения космонавта на Землю космонавт окажется более молодым, чем его земной брат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
