Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пусть отрезки ОВ и ВО" соответствуют закону движения фотона х' = с1 я х' = — от + хо, движущегося со скоростью света. Очевидно, что для фотона всегда Лт = О, т. е. собственное время фотона не течет. Теперь легко выяснить, как иаменяются Преобразование .и ~ векторы Х и Ы при переходе от одной при переходе от ое от К иК' инерциальной системы координат К к другой «подвижной~ инерциальной системе координат К' и, в частности, при переходе к собственной системе координат К' = К». 294 Гл. У1. Основные понятия и уравнения электродинамики На основании формул (2 11), (3.16) и (2.1) нетрудно установить следующие формулы: .Е1 = (Е-( — Х.Н ~ е Ег =/Е-( — хН ) 1— ет (3.22) (3.23) Здесь индексом ~~ обозначены составляющие векторов, параллельные скорости и подвижной системы К", а индексом составляющие, перпендикулярные к и. Легко видеть, что члены (в/с) х 77 и (и/с) х Е не дают вклада в выражения чля Е ( и Н";~, так что Е ~~ = Е1 и Н ~, =Н1.
Однако в формулах (3 22) и (3.23) эти члены сохранены для симметрии формул, что очень удобно для записи приближенных формул при малых о'/с'. Формулы (3.22) и(3.23) показывают, что основные обычно используемые характеристики электромагнитного поля— векторы Е и Ы зависят существенно от выбора инерциальной системы координат, и поэтому их физический смысл носит весьма ограниченный характер. В ньютонианской механике при использовании ускоренно движущихся систем координат приходится вводить силы инерции.
Таким образом, поле внегвннх сил в нерелятивпстской механике зависит от выбора подвижной системы координат. Существенно, однако, что поле сил одинаково в инерциальных системах и иаменяется только при переходе к системе координат, движущейся относительно первоначальной системы с ускорением. Злектромагнитное поле изменяется даже при переходе от однон инерциальной системы координат к другой. Отметим, кроме того, что если в некоторой системе координат К было только электрическое поле, то при переходе к системе, движущейся относительно К, обязательно появляется также и магнитное поле, и наоборот. Например, рассмотрим электрон в его собственной системе координат К"'. В этой системе координат магнитное поле отсутствует, Нв = О, а электрическое поле Е* будет кулоновским полем.
В системе координат, движущейся равномерно и прямолинейно со скоростью в относительно системы координат, в которой электрон покоится, векторы Е" и .Н"' определя- $3. Преобразования Лоренца и иверциальвые системы 295 ются как решения уравнений Максвелла с помотцьто формул (3.22) и (3.23), в которых надо положить Н = О, а вектор .Е выразить через г по формуле Н == — — 3гац г„ гс Более полное исследованиеполученного полн Н и Н можно провести на основании формул (3.22) и (3.23). Об ииварваитиьтт караи КажДый в отДельности ио вектоРов Ж и Н териствиах а™леитромагвит- зависит от выбора инерцнальпой системы ного поля координат. Тенаор электромагнитного поля Р = Гн э'э), определенный черев Е и Н матрицей (2.1), является инвариантной физической характеристикой электромагнитного поля, подобной температуре, вектору силы, тензору деформаций и т.
п. Тензор Г имеет шесть независимых компонент н только два независимых инварианта: Е н,а (3.24) ~р1нраоЕ Е (Р~аЕ )ст (Е Н)а Преобразованием Лоренца можно полностью уничтожить магнитное или алектрическое поле только при наличии равенства Х Н = О, т. е. когда векторы Н и Н вааимно перепендикулярны. Если ХХа = Еа в какой-либо одной системе координат, то это равенство выполняется в любой другой инерциальной системе координат. Если Нс — Еа= О и Ж Н =О, то векторы ЯиН равны между собой и вааимно перпендикулярны во всех системах координат, О векторах ы и ту в нрав- Па пРактике обычно пРихоДитсЯ встРе- тически обычно уиотреб- чаться с различными инерциальными сис- ляемых в техииве систе- темами координат, для которых относи- мах отсчета тельная скорость мала по сравнению со скоростью света.
Поэтому зачастую разница между векторами .Е, Н и .Е',ХХ', соответственно, мала. Из формул (3.22) и (3.23) видно, что векторы Н и Н можно рассматривать нан инвариантные физические характеристики, если пренебрегать величинами порядка и)с. Приблищевит~с формулат В Дальнейшем бУДет РасоматРиватьсЯ не- преобразования Л и В релятивистская механика сплошной сре- (з учетом малых порядка ды с учетом электромагнитных эффектов.
г/с) Поэтому будут использоваться только такие системы координат, для которых относительная скорость и мала по сравнению со скоростью света с (от/ст ~ 1). При этом, 296 Гл. ЧЪ. О«иоанне понятия и уравнения электродинамики если пренебрегать малыми второго порядка по о~с, но учитывать малые первого порядка, то переход от системы координат К к системе координат К', движущейся с постоянной скоростью т» относительно К, будет определяться преобразованиями Галилея хч гаЕ а формулы преобразования .Е и Н упрощаются и имеют вид Е' = .Е+ — («»хН), хх ' = Л вЂ” — (п ХЕ) (3.25) (величины со штрихом относятся к системе К', без штриха — к системе К). В частных задачах, например когда вектор Х мал, в формулы (3.25) можно вводить дополнительные упрощения. й 4.
Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками ение нов). в не- через ю по (4Л) Здесь и — макроскопическая скорость среды. Вектор у* представляет собой обычный «технический тока. Такой ток возникает как в неподвижных, так и в движущихся проводниках под действием электромагнитного поля и нааывается током Проводники — это тела, в которых под влиянием электрического поля возникает электрический ток. В этом параграфе мы не будем учитывать явлений, связанных с поляризацией и намагничиванием. Примером проводников могут служить металлические тела: медь, железо и т.
п.; важным примером проводящей среды является плазма — ионизованный гаа. Трвхмериый и чстырехмор- Электрический ток, возникающий в проный векторы плотности то- водниках, представляет собой движ ка Токнроаолимости заряженных частиц (электронов и ио Коли микроскопические скорости электронов и ионов котором малом объеме среды обозначить череа т»» а заряды е», то плотность тока т' можно ввести как,Я е «»о осредненну малому объему ЬУ: у = Иш — ~ч~е»т»,=,у'+ р»в. ач»с ~~ $4.
Взаимодействие алектромагнитного поля с проводниками 297 проводимости. Вектор рси представляет собой ток, связанный с переносом макроскопического заряда. Так как ~чд ~езтсз = ~ез(тст — тс) + ветс, (пе = Хе;), то вектор тока проводимости у* можно выразить через векторы потока диффуаии.Т,, введенные в гл.
111, по формуле з*=,— '" .Т,; чз сс жс ' с отношения е,(тз зависят только от сорта ионов, переносящих заряды. Наряду с трехмерным вектором у', определенным в геометрическом пространстве, вводится еще четырехмерный вектор плотности тока в пространстве Минковского, который в соозтвенной декартовой системе координат определен формулами ,Т = Рэз, ,тз сз Ез з Ез (4.2) Ез ч с)гйи ЕТ =- О, о1т Е =4пр,. В частности, в случае стационарного электромагнитного поля го1Е = О, (4 й) поэтому .Š— потенциальный вектор, а гога = —,4, 4л с (4.6) т. е. электрический ток приводит всегда к появлению вихревого поля магнитной напряженности ЕТ. Компоненты вектора Тв любой другой системе координат определяются череа компоненты в собственной системе по общим формулам преобрааования четырехмерного вектора в пространстве Минковского.
Уравнения Максвелла при наличии токов Уравнения Максвелла в и аарядов и при отсутствии поляризации и намагничивания в телах имеют вид 1 дЕТ гоЪЕ =- — — —, с дс (4.3) 4я . 1 дЯ гоьН= — у+ — — ~ с ' с дс 298 Гл. в1. Основные понятия и уравиеиии элеитродвиамиии 1 дИ Величина — — также выаывает появлев дв ние магнитного поля и называется током смещения.
На практи- 1 дхд ке во многих случаях ток смещения — — очень мал. Введение е д1 тока смещения в уравнения Максвелла произведено Максвеллом в согласии с опытом и в дополнение к существовавшим до этого опытным законам электродинамики Кулона, Ампера и Фарадея. Если от обеих частей второго уравнения Завом сохранения ислио- (4.3) взять дивергепцию и воспользоваться еще уравнениями (4.4), то получится важное следствие уравнений Максвелла: др — „'+ а,у=о, (4.6') которое можно рассматривать как уравнение неразрывности для зарядов или условие сохранения ааряда. Действительно, проинтегрировав уравнение (4.6') по некоторому неподвижному геометрическому объему, занятому сплошной средой, которая является проводником, мы получим д1 Е(т = де )Рееет = — )о1т дат = — ))ее Еео, (4.7) где Š— поверхность, ограничивающая $', а п — внешняя нормаль к Е.
Вектор тока у' переносит ааряды через поверхность Х, величина ~1" с представляет собой суммарный заряд, Е втекающий в объем У череа поверхность Х за единицу времени. Это количество равно изменению заряда в объеме У в единицу времени, т. е. величине д Г дв ')Р "'= де ) в д1 ' где е — полный заряд внутри У. Если е„= О на поверхности Х, то де/де ==- О и заряд внутри У сохраняется. Условие сохранения полного заряда является точным следствием уравнений Максвелла (4.3) и (4.4). Отметим, что закон сохранения заряда, в противоположность аакопу сохранения массы, является в настоящее время всегда выполняющимся фундаментальным законом фиаики.
Система уравнений Максвелла (4.3) и система уравнений Макс- (4.4) является незамкнутой. Число ураввелиа и ир~волиииах пений в ней равно семи, так как уравнение иезаиивутаи система йч Х7= О является непосредственным следствием первого уравнения (4.3) при соответствующих на- Э ч, Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками 209 чальных данных. Число же входящих в них неизвестных равно десяти: Х, лх,,т, р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
